Divulgaciones
Matemáticas
p-ISSN 1315-2068
Maracaibo - Venezuela
Departamento de Matemática
Vol. 22 - No. 2 - 2021
Universidad
del Zulia
Facultad
Experimental
de Ciencias
e-ISSN 2731-2437
Divulgaciones Matemáticas
Revista Matemática de la Universidad del Zulia
Facultad Experimental de Ciencias
Departamento de Matemática
Revista arbitrada, publicada de forma digital, de libre acceso, indizada en Latindex, Wordcat,
Mir
@
bel, MIAR, Dialnet, EuDML, Mathematical Reviews, MathSci online/CD-ROM, Zentral-
blatt für Mathematik, Revencyt y REDIB. Se publica un volumen anual compuesto por dos
números, que aparecen en junio y diciembre.
Comité Eitorial
Dr. Vinicio Ríos (LUZ) Dr. Wilson Pacheco (LUZ)
Dr. Deivi Luzardo (LUZ)
Editor Jefe:
Dr. Tobías Rosas Soto (
trosas@demat-fecluz.org
)
Editores Asociados:
Dr. Vinicio Ríos, Dr. Wilson Pacheco
Editores Eméritos:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R., Dr. José H. Nieto S., Dr.
Genaro González, Dr. Daniel Núñez.
Editore Fundadores:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R.
Portada diseñada por Tobías Rosas Soto. Dirección Postal:
Revista Divulgaciones Matemáticas
Departamento de Matemática
Facultad Experimental de Ciencias
La Universidad del Zulia - Apartado Postal 526
Maracaibo, Estado Zulia
Venezuela
Correo electrónico:
divulgaciones@demat-fecluz.org
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Depósito Legal pp 199302ZU392
p-ISSN: 1315-2068
Depósito Legal pe ZU2021000035
e-ISSN: 2731-2437
Compuesta con L
A
T
EX y
AMS
-L
A
T
EX en el Departamento de Matemática de la Facultad Experi-
mental de ciencias, Universidad del Zulia.
c
1993 La Universidad del Zulia.
Universidad del Zulia
Maracaibo, Venezuela
DIVULGACIONES
MATEM
´
ATICAS
Vol. 22 2021 No. 2
Presentación
El Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
se complace en presentar el
Vol. 22
,
No. 2
,
2021
. Los artículos contenidos en el presente volumen fueron recibidos entre el segundo
semestre del año
2021
, los mismos fueron evaluados y aceptados para su publicación, antes de la
edición del presente volumen.
Es importante notar que, a pesar de la poca demanda de artículos por parte de autores por
diferentes razones, la revista logró recibir ocho (8) trabajos de los cuales dos (2) no aprobaron
la etapa de evaluación por los árbitros respectivos. De manera que en este número se publican
cinco (5) artículos en la sección de Artículos de Investigación, un (1) artículo en la sección de
Artículos de Divulgación e Históricos. Por otro lado, en esta edición, en la sección de Problemas
y Soluciones solo se proponen dos (2) problemas. Solo se propondrán problemas debido a la falta
de auencia de soluciones a los problemas propuestos anteriormente.
El trabajo editorial relacionado con este número es el resultado de mucho esfuerzo del Comité
Editorial y del Editor Jefe de la revista. Los Editores queremos expresar nuestro agradecimiento
a todos aquellos que hicieron posible este volumen: a los autores de los trabajos que se presentan,
que dieron su voto de conanza a la revista; a los árbitros que evaluaron los artículos, cuya labor
desinteresada permitió satisfacer los estándares de calidad de la revista y mejorar sensiblemente la
forma de los trabajos; al equipo editorial de
Divulgaciones Matemáticas
. A todos, mil gracias.
La revista está ahora en el portal de
Revistas Cientícas y Humanísticas de la Univer-
sidad del Zulia (ReviCyHLUZ)
cuyo sitio web ocial es:
produccioncientificaluz.org
.
Ahora los artículos están identicados con el membrete del
Sistema de Servicios Bibliote-
carios y de Información de LUZ (SERBILUZ)
, y la revista pasa a tener como sitio web
ocial
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
.
Es importante aclarar que la dirección web
divmat.demat-fecluz.org
continúa funcionando
para obtener los números de la revista publicados antes del año 2016, hasta que los mismos sean
trasladados en su totalidad al nuevo sitio web mencionado. Todo esto con la nalidad de darle
más expansión y reconocimiento a la revista.
Por último, el Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
pide disculpas a los autores
de los artículos aquí publicados por el notable retraso en la publicación de este número y por los
inconvenientes que esto pudo haberles causados, les agradecemos su espera. Además, invitamos
a la comunidad matemática venezolana e internacional a seguir dándonos su voto de conanza
sometiendo sus trabajos en la revista para evaluación y posible publicación.
1
Dr. Tobías Rosas Soto.
1
Editor en Jefe de
Divulgaciones Matemáticas
y editor del presente número
Presentation
The Editorial Board of
Divulgaciones Matemáticas
is pleased to present the
Vol. 22
,
No.
2
,
2022
. The articles contained in this volume are those received during the second semester of
the year
2021
, wich ones were evaluated and accepted for publication, before the edition of this
volume.
It is important to note, that despite the low demand for articles by authors by dierents
reasons, the journal could receive eight (8) works, of which two (2) did not approve the evalua-
tion stage by the respective arbitrators. So, in this number are published ve (5) articles in the
Research Articles section, one (1) articles in the Expository and Historical Articles section. By
other hand, in this edition, only two problems will be proposed in the Problems and Solutions
section. Only problems will be proposed due to the lack of inux of solutions to the problems
proporsed previously.
The editorial work related to this issue is the result of the eorts of Editorial Board and the
Chief Editor. The Editors want to express their gratitude to all of those who made this volume
possible: to the authors of the presented works, who gave their vote of condence to the journal;
to the referees, who evaluated the articles with seless work, guaranteeing the quality standards
of the journal and signicantly improving the way of working; to the editorial team of
Divulga-
ciones Matemáticas
. To all of them, thanks a lot.
The journal is now on the portal of
Revistas Cientícas y Humanísticas de la Univer-
sidad del Zulia (ReviCyHLUZ)
whose ocial website is:
produccioncientificaluz.org
.
Now the articles are identied with the letterhead of the
Sistema de Servicios Bibliotecarios
y de Información de LUZ (SERBILUZ)
, and the journal has
produccioncientificaluz.
org/index.php/divulgaciones
as its ocial website.
It is important to clarify that the web address
divmat.demat-fecluz.org
continues working
to obtain the issues of the journal published before the year 2016, until they are transferred in
their entirety to the new website mentioned. All this in order to give more expansion and recog-
nition to the journal.
Finally, the Editorial Board of
Divulgaciones Matemáticas
ask for apologize to the au-
thors of the articles published here for the remarkable delay in the publication of this issue and
for the inconvenience that this may have caused them, we thank them for the waiting. Further-
more, we invite the Venezuelan and international mathematical community to continue giving
their support by submitting their articles to our journal for evaluation and possible publication.
2
Dr. Tobías Rosas Soto.
2
Chief Editor of
Divulgaciones Matemáticas
and editor of the present volume
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS
Vol. 22, No. 2, 2021
Contenido
(Contents)
:
Artículos de Investigación
(Research papers)
Análisis de conicto en sistemas dinámicos de eventos discretos usando
redes de Petri.
Analysis of conict on discrete event dynamic systems using Petri nets.
Marcia Caicedo, Guelvis Mata, Bladismir Ruiz
19
Estructura algebraica de los autómatas nitos y lenguajes.
Algebraic structure of nite automata and languages.
Fernando Ortiz, Luz Solé
1022
Qualitative study of a mathematical model for the transmission of COVID-
19.
Estudio cualitativo de un modelo matemático para la transmisión del COVID-19.
Yuri Alcántara, Sandy Sánchez, Antonio Ruiz
2333
Matriz de adyacencia de Ramsey del grafo
KR(G,H)
con componentes
h
-
buenas y las relaciones geométricas entre lados y vértices de los grafos
G
,
H
y
KR(G,H)
.
Ramsey adjacency matrix of the graph
KR(G,H)
with
h
-good components and the
geometric relationship that exists between sides and vertices of the graphs
G
,
H
and
KR(G,H)
.
José Figueroa, Felicia Villarroel, Henry Ramírez, Tobías Rosas
3447
Notas sobre el desempeño de los estimadores fronteras de densidad con
núcleo localmente adaptable y con conjunto difuso.
Notes on the performance of the boundary locally adaptive kernel and boundary fuzzy
set density estimators.
Jesús Fajardo
4865
Artículos de Divulgación e Históricos
(Expository and Historical papers)
Divulgación de algunos teoremas de la geometría moderna entre los siglos
XVII y XIX.
Divulgation of some theorems of modern geometry between the XVII and XIX cen-
turies.
Eduardo Orellana, Tobías Rosas
6675
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
Tobías Rosas Soto.
(Editor) 7677
7
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487372
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
An´alisis de conflicto en sistemas din´amicos de
eventos discretos usando redes de Petri
Analysis of conflict on discrete event dynamic systems using Petri nets
Marcia Caicedo (rociomar82@hotmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4739-3855
Instituto de Postgrado,
Universidad ecnica de Manab´ı
Av. Urbina y Che Guevara, 130103, Ecuador.
Guelvis Mata (gematad2017@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7147-1422
Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias
Universidad de los ´
Andes
M´erida, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela
Bladismir Ruiz (bladismir@ula.ve)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7737-3847
Instituto de Ciencias asicas
Universidad ecnica de Manab´ı
Portoviejo, 130103, Ecuador.
Resumen
Este manuscrito considera al modelo de redes de Petri como una herramienta ´util para el
an´alisis de confl´ıctos en sistemas din´amicos de eventos discretos. Particularmente, tratamos
al confl´ıcto basados en la estructura de la red as all´a de su comportamiento din´amico, esta-
bleciendo para ello argumentos te´oricos centrados en la “independencia” entre eventos. Con
mayor precisi´on, la conjugaci´on entre algunas clases de redes tales como las redes seguras,
de libre decisi´on, vivas y de libre escogencia caracterizan la ausencia de confl´ıctos en la clase
de sistemas nombrada arriba.
Palabras y frases clave: Sistemas de eventos discretos, redes de Petri, conflicto.
Abstract
This manuscript considers the Petri nets model as a useful tool for conflict analysis in
dynamic systems of discrete events. In particular, we treat conflict based on the structure of
the network beyond its dynamic behavior, establishing theoretical arguments focused on the
independence between events. More precisely, the conjugation between some classes of
networks such as secure, free-choice, live, and free-choice networks characterize the absence
of conflicts in the class of systems named above.
Key words and phrases: Discrete event systems, Petri nets, conflict.
Recibido 12/06/2021. Revisado 28/08/2021. Aceptado 22/11/2021.
MSC (2010): Primary 37N35; Secondary 93C65.
Autor de correspondencia: Gelvis Mata
2 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz
1 Introducci´on
Las Redes de Petri (RP) han sido desde su inicio (1962) de gran inter´es en la teor´ıa y aplicaciones
de redes para la modelaci´on y an´alisis de sistemas concurrentes asincr´onicos, incluyendo ´areas
de aplicaci´on tales como sistemas de computaci´on con programaci´on concurrente y sistemas de
multiprocesadores, protocolos de dise˜nos y verificaci´on en redes de computaci´on [1, 2, 5].Todos
estos sistemas son caracterizados como Sistemas Din´amicos de Eventos Discretos (SDED) y
constituyen el contexto en el cual estaremos centrados.
Ahora, la complejidad resultante desde la no linealidad inherente y la dimensi´on del espacio de
estados en los SDED conducen a dificultades inusuales tanto en dise˜no como en an´alisis [3, 6, 7].
En efecto, con dise˜nos inapropiados, los SDED pueden ser conducidos a bloqueos y sobreflujos
de capacidad,entre otros rasgos indeseables, permitiendo la degradaci´on en la ejecuci´on. Por lo
tanto, es necesario contar con herramientas potenciales para detectar y corregir estos problemas.
Nuestro objetivo consiste en el an´alisis de confl´ıctos usando redes de Petri. Tempranamente, un
confl´ıcto en un SDED toma lugar cuando dos o as subsistemas est´an listos para ejecutar eventos
u acciones diferentes cuyas ocurrencias dependen directamente de la utilizaci´on de una entidad
compartida e indivisible; en consecuencia, la ausencia de confl´ıcto expresa que cualquier evento
en la evoluci´on del sistema en el tiempo solo puede ser inhabilitado por su propia ocurrencia.
Convencionalmente, tal como es expuesto en [7, 8], las herramientas para el an´alisis de SDED
usando RP est´an fundamentadas en dos t´ecnicas: el ´arbol de Alcanzabilidad y las Ecuaciones
Matriciales; y ambas son expresadas directamente en t´erminos del comportamiento din´amico de
la red. Sin embargo, la direccionalidad de los argumentos dados aqui para el an´alisis de conflicto
est´a relacionada con la estructura propia de la red y no de su din´amica. Los resultados as
resaltantes establecen, bajo ciertas condiciones, las relaciones as estrictas entre la ausencia de
conflicto y la independencia de la ocurrencia de eventos, permitiendo desde un punto de vista
te´orico algunas caracterizaciones bajo estructuras de libre decisi´on, de libre escogencia, seguras
y vivas.
La organizaci´on es como sigue: Comenzamos dando las definiciones asicas de la teor´ıa de las
RP e incluiremos su comportamiento din´amico. Luego, expresamos conceptualmente algunas de
sus propiedades; para finalmente, establecer los resultados te´oricos de an´alisis de conflicto.
2 Nociones preliminares
Con el prop´osito de incluir nuestro contexto, comenzamos con la definici´on formal de una red de
Petri, sus marcaciones y su correspondiente grafo asociado para finalmente establecer la din´amica
o el comportamiento din´amico de una red.
Una Red de Petri es un cu´adruple R= (L, T, E, S) donde L={l1, l2, . . . , ln}es un conjunto
finito cuyos elementos ser´an llamados lugares, T={t1, t2, . . . , tk}es un conjunto finito cuyos
elementos ser´an llamados transiciones, LT=,E:T Les una funci´on de entrada:
para cada tT,E(t)Les llamado multiconjunto de lugares de entrada para T(Ldenota
el conjunto de todos los multiconjuntos sobre Lpara los cuales no hay limitaci´on del umero
de ocurrencias de sus elementos); y S:T Les una funci´on de salida: para cada tT,
S(t)Les llamado multiconjunto de lugares de salida para t.
El comportamiento din´amico de la red comienza por considerar la representaci´on de estatus
de lugares: asociamos a cada lugar de la red un umero natural que expresa el significado preciso
de la condici´on o configuraci´on ogica del lugar en el tiempo. Formalmente, una RP marcada es
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
An´alisis de confl´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 3
un par M= (R, m), donde Res una RP ym:L N,N={0,1,2, . . .}, es una funci´on llamada
funci´on de marcaci´on (o marcaci´on): para cada liL, m(li)Nes llamado n´umero de fichas en
el lugar li; la cual especifica un vector m= (m1, m2, . . . , mn), n= cardL, miN,i= 1,2, . . . , n
con m(li) = mi[8].
Las RP marcadas pueden ser representadas por grafos dirigidos como sigue: los lugares son
etiquetados por c´ırculos y las transiciones por barras. Si un lugar lies un lugar de entrada para
una transici´on t; es decir liE(t), entonces hay |li, E(t)|(n´umero de veces que liest´a en el
multiconjunto de lugares de entrada E(t)) arcos dirigidos del correspondiente c´ırculo a la corres-
pondiente barra. Si un lugar ljes un lugar de salida para la transici´on t; es decir, ljS(t),
entonces hay |lj, S(t)|(n´umero de veces que ljest´a en el multiconjunto de lugares de salida S(t))
arcos dirigidos de la correspondiente barra al correspondiente c´ırculo. Finalmente, las fichas son
representadas por puntos en el interior del c´ırculo y, en consecuencia, la funci´on de marcaci´on es
representada por el n´umero de puntos en el interior de cada c´ırculo. Enfatizamos que las RP vis-
tas como una herramienta gr´afica nos proveen de un m´etodo unificado para representar Sistemas
Din´amicos de Eventos Discretos, permitiendo facilidad para modelar sus caracter´ısticas: asin-
cronizaci´on, secuencialidad, concurrencia, confl´ıcto, exclusion mutual, etc; mostrando excelente
visualizaci´on de las dependencias del sistema y focos de informaci´on local.
En cuanto al comportamiento din´amico de una RP debemos enfatizar que una marcaci´on
representa el estatus de cada uno de los lugares en la red. As´ı, ´esta especifica exactamente el
estado actual del sistema que establece las condiciones ogicas para la ocurrencia de eventos;
luego, una vez que ocurra un evento las condiciones del sistema en general var´ıan dando lugar a
una nueva marcaci´on o estado. Para ser as precisos, una transici´on tTen una RP marcada
M= (R, m) es llamada habilitada si m(li) |li, E(t)|, para todo lugar liL. En este caso
tambi´en diremos que la transici´on tes habilitada por la marcaci´on m. El conjunto de transiciones
habilitadas por la marcaci´on mes dado por E, (m) = {tT:m(li) |li, E(t)|,liL}.
Ahora, si t E (m) entonces la marcaci´on m0dada por m0(li) = m(li) |li, E(t)|+|li, S(t)|,
i= 1,2, . . . , n;n= card L, es llamada marcaci´on alcanzable desde mpor el disparo de t. Adem´as,
si t0 E (m0) y esta es disparada, obtenemos una marcaci´on m00, y as´ı sucesivamente. Por lo tanto,
se obtiene una funci´on de cambio de marcaciones, la cual puede ser extendida de manera natural;
es decir, si la funci´on de cambio de marcaciones δ:Nn×TNn, n = cardL, es dada por
δ(m, t) = m0donde m0(li) = m(li) |li, E(t)|+|li, S(t)|,i= 1,2, . . . , n; entonces su extensi´on
es la funci´on parcial b
δ:Nn×TNn, dada por b
δ(m, θ) = myb
δ(m, σt) = δ(b
δ(m, σ), t), m
Nn, t T, σ T. Aqu´ı, Tdenota el monoide libre con unidad θ:Tes el conjunto de todas
las combinaciones finitas de elementos de T[4]. Finalmente, como b
δes una extensi´on de δno
haremos distinci´on notacional entre ambas.
Note que la funci´on parcial de cambio de marcaciones δest´a definida en (m, t) s´ı, y solamente
s´ı, t E (m).
Por su parte, en una RP marcada M= (R, m0), una marcaci´on mNn, n = card L, ser´a lla-
mada alcanzable desde m0s´ı existe una sucesi´on de disparos de transiciones σ=tj1tj2. . . tjkT
tal que δ(m0, σ) = m. Luego, el conjunto de alcanzabilidad de la RP desde la marcaci´on m0es
dado por
A(R, m0) = {mN/σT, δ(m0, σ) = m}.
Ejemplo 2.1. Consideremos la RP marcada dada en la figura 1. En esta red ε(m) = {t1.t3.t4}.
Disparando t4obtenemos la nueva marcaci´on m0= (1,0,1,3,0). Ahora ε(m0) = {t1.t3}: Disparando
t1obtenemos la marcaci´on m00 = (0,1,2,5,0), en la cual ε(m00) = {t2.t3}. Este comportamiento
particular de la RP dada es ilustrado en las figuras 1, 2, 3.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
4 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz
Figura 1: Una RP marcada con m= (1,0,0,2,1) y ε(m) = {t1.t3.t4}
Figura 2: La marcaci´on resultante del disparo de la transici´on t4en la figura 1.
Figura 3: La marcaci´on resultante del disparo de la transici´on t1en la figura 2
Como se puede apreciar desde el ejemplo 2.1, el cambio de marcaci´on en una RP es producido
por el disparo de transiciones y estas marcaciones pertenecen a Nn, n =card(L).
Ejemplo 2.2. Sea M= (R, m0)una RP marcada, con L={1,2,· · · , n}y funciones de en-
trada (E)y salida (S)tomando valores en el conjunto potencia de L. Consideremos L={σ
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
An´alisis de confl´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 5
T(m0, σ)est´a definida}. Entonces,
δ(m, t) = mX
iE(t)
ei+X
jS(t)
ej,
donde eidenota la n-upla unitaria con ceros en sus componentes excepto en la i-´esima compo-
nente. Para cada σ L, sea O(σ) = (Ot1(σ),Ot2(σ),· · · ,Otk(σ)), con Otj(σ),j= 1,2,· · · , k,
denotando el umero de apariciones de tjen σ, luego
δ(m, σ) = mX
iT
Ot(σ)
X
iE(t)
eiX
jS(t)
ej
para todo mA(R, m0)y todo σ L.
En efecto, por inducci´on sobre la longitud de la sucesi´on de disparos de transiciones tenemos
que para k=2=|σ|,σ=tj1tj2 L.
δ(m, tj1tj2) =δ(δ(m, tj1), tj2)
=δ(m, tj1)X
iE(tj2)
eiX
jS(tj2)
ej
=m
X
iE(tj1)
eiX
jE(tj1)
ej
X
iE(tj2)
eiX
jE(tj2)
ej
=mX
tT
Ot(tj1tj2)
X
iE(t)
eiX
jS(t)
ej
Supongamos que
δ(m, σ) = mX
tT
Ot(σ)
X
iE(t)
eiX
jS(t)
ej
,
para k=|σ|>2, as´ı para thT,σth L.
δ(m, σth) =δ(δ(m, σ), th) = δ(m, σ)X
iE(th)
ei+X
jS(th)
ej
=mX
tT
Ot(σ)
X
iE(th)
eiX
jS(th)
ej
X
iE(th)
eiX
jS(th)
ej
=mX
tT
Ot(σth)
X
iE(t)
eiX
jS(t)
ej
.
3 Estructuras de redes
Mostraremos algunas estructuras que garantizan la representaci´on de diversas propiedades fun-
cionalmente correctas en un sistema tales como disponibilidad de recursos, ausencia de confl´ıctos
y no bloqueo.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
6 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz
Particularmente, en t´erminos de conflicto, si todo par de eventos diferentes no dependen
simult´aneamente de alguna condici´on com´un para sus ocurrencias ni conducen a una condici´on
com´un luego de sus ocurrencias, entonces esto es apropiado para decir que todo par de eventos
en el sistema son “independientes”.
Definici´on 3.1. Una RP R= (L, T, E, S) es llamada de libre decisi´on si E(ti)E(tj) = y
S(ti)S(tj) = , para cualesquiera ti, tjT, i 6=j.
Figura 4: Dos fragmentos de redes representando de izquierda a derecha dos transiciones con un lugar de entrada
com´un y con un lugar de salida com´un respectivamente.
Otra propiedad importante, relativa a la estructura de una RP, es la libre escogencia. Tal
propiedad es incluida para representar la ocurrencia de diferentes eventos “dependientes” de la
misma condici´on (ver figura 4(a)), la cual definimos como sigue.
Definici´on 3.2. Una RP R= (L, T, E, S) es llamada de libre escogencia si para todo par
ti, tjT, ti6=tj,se tiene que E(ti)E(tj) = {l}para alg´un lLoE(ti)E(tj) = .
Definici´on 3.3. Un lugar lLen una RP marcada M= (R, m0) es llamada k-acotado si existe
kNtal que m(l)k, para todo mA(R, m0). Si todos los lugares en la red son k-acotados,
entonces la red es llamada k-acotada o simplemente acotada. En particular, si la red es 1-acotada
diremos que la red es segura.
Definici´on 3.4. Una RP marcada M= (R, m0) es llamada persistente (libre de conflictos) si
para todo mA(R, m0), y todo par ti, tjT;ti6=tj;ti, tj E(m), se tiene que ti E(δ(m, tj)).
Definici´on 3.5. Una RP marcada M= (R, m0) es llamada viva (no bloqueada) si para to-
da marcaci´on mA(R, m0) y toda transici´on tiT, existe una marcaci´on m0A(R, m0)
alcanzable desde mtal que ti E(m0).
4 Resultados te´oricos
En esta secci´on ser´an dados los argumentos para el an´alisis de RP que caracterizar´an la clase
de redes persistentes mediante la estructura propia de la red, y en consecuencia la ausencia de
confl´ıctos en el sistema.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
An´alisis de confl´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 7
Proposici´on 4.1. Si R= (L, T, E, S)es una RP de libre decisi´on, entonces M= (R, m0)es
persistente.
Demostraci´on. Sea mA(R, m0), y sean t, t0 E(m) con t6=t0. Como Res de libre decisi´on,
entonces E(t)E(t0) = . Sea δi(m, t) la componente i-´esima de δ(m, t). Si li6∈ E(t), entonces
δi(m, t) = m(li) |li, E(t)|+|li, S(t)|
=m(li) + |li, S(t)| m(li) |li, E(t0)|
Finalmente, si liE(t) entonces li6∈ E(t0); de donde, |li, E(ti)|= 0. En consecuencia,
δi(m, t)0 = |li, E(t0)|= 0. Luego, δi(m, t) |li, E(t0)|para todo liL. Por lo tanto,
t0 E(δ(m, t)). Luego, Mes persistente.
Teorema 4.1. Si M= (R, m0)es una RP marcada persistente, entonces para toda marcaci´on
mA(R, m0)y todo par de transiciones t, t0, con t, t0 E(m),t6=t0se tiene la propiedad
siguiente:
lkE(t)E(t0), lk6∈ S(t)S(t0)m(lk)>1.
Demostraci´on. Sea mA(R, m0), y sean t, t0 E(m), con t6=t0, entonces m(li) |li, E(t)|para
todo liL. Sea lkE(t)E(t0), entonces en particular m(lk) |lk, E(t)| 1. Supongamos que
lk6∈ S(t)S(t0) y m(lk)=1,entonces por la persistencia de M,δk(m, t)>0, as´ı 1 |lk, E(t)|+
|lk, S(t)|>0. Luego, 1 + |lk, S(t)|>|lk, E(t)|. Ahora, si lk6∈ S(t) entonces |lk, E(t)|<1; de
donde |lk, E(t)|= 0 lo cual es contradictorio.
Finalmente, si lkS(t) entonces lk6∈ S(t0). Luego, usando el razonamiento previo tenemos
que δk(m, t0)>0, con lo cual llegamos a la contradicci´on |lk, E(t0)|= 0. Por lo tanto, m(lk)>
1.
Corolario 4.1. Dada M= (R, m0)una RP marcada segura. Mes persistente si, y solo si, Res
de libre decisi´on.
Demostraci´on. Inmediato desde el teorema 4.1.
Teorema 4.2. Dada M= (R, m0)una RP segura. Si Mes persistente, entonces para cuales-
quiera mA(R, m0);t, t0 E(m),t6=t0, se tiene la propiedad siguiente:
lE(t)E(t0)lS(t)S(t0).
Demostraci´on. Sea lE(t)E(t0) y l6∈ S(t)S(t0), entonces m(l)>1, lo cual contradice la
seguridad de M.
Corolario 4.2. Dada M= (R, m0)una RP segura, con S(t)S(t0) = ,t6=t0. Entonces, M
es persistente si, y solo si, E(t)E(t0) = ,t6=t0.
Demostraci´on. Desde el teorema 4.2 se sigue que si S(t)S(t0) = ,t6=t0, entonces E(t)E(t0) =
,t6=t0; en consecuencia, se obtiene el resultado.
Teorema 4.3. Dada M= (R, m0)una RP marcada donde EyStienen rango en el conjunto
potencia de L. Supongamos que para toda marcaci´on mA(R, m0), todo par t, t0 E(m),t6=t0,
y todo lugar lkE(t)E(t0)se tiene que m(lk)>1, entonces Mes persistente.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
8 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz
Demostraci´on. Sea mA(R, m0), y sean t, t0 E(m), con t6=t0. Si liE(t)E(t0), entonces
por hip´otesis m(li)>1; de donde
δi(m, t) = m(li) |li, E(t)|+|li, S(t)|
m(li)11 = |li, E(t0)|.
Por otro lado, si li6∈ E(t)E(t0) entonces consideramos los casos siguientes: liE(t) y
li6∈ E(t). As´ı, liE(t)li6∈ E(t0)δi(m, t)0 = |li, E(t0)|. Finalmente, li6∈ E(t)
δi(m, t) = m(li) + |li, S(t)| m(li) |li, E(t0)|.
El caso li6∈ E(t) y li6∈ E(t0) es trivial. Luego, δi(m, t) |li, E(t0)|para todo liL. Por lo
tanto, t0 E(δ(m, t)). Luego, Mes persistente.
Teorema 4.4. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, donde Res de libre escogencia.
Supongamos que las funciones de entrada y salida tienen rango en el conjunto potencia de L.
Entonces, la persistencia de Mimplica que para cualesquiera t, t0T, t 6=t0. se tiene la propiedad
siguiente:
lE(t)E(t0)lS(t)S(t0).
Demostraci´on. Supongamos que existen transiciones t, t0T,t6=t0, y lLtales que l
E(t)E(t0) y l6∈ S(t)S(t0). Como Res de libre escogencia, entonces E(t) = E(t0) = {l}.
La vivencia de Masegura que existe mA(R, m0) tal que t0 E(m); luego, m(l)>0 y en
consecuencia t E(m).
Sin p´erdida de generalidad, supongamos que lS(t0) y sea m0=δ(m, φ), donde φ=tt . . . t,
(m(l)1)-veces, entonces claramente m0A(R, m0); t, t0 E(m0) pero t06∈ E(δ(m0, t)).Por lo
tanto Mno es persistente.
Corolario 4.3. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, con Rde libre escogencia tal que
S(t)S(t0) = ,t6=t0. Entonces, Mes persistente s´ı, y solo si, E(t)E(t0) = ,t6=t0.
Demostraci´on. Si S(t)S(t0) = ,t6=t0, entonces desde el teorema 4.3 E(t)E(t0) = ,t6=t0;
de donde se sigue lo requerido.
Corolario 4.4. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, con Rde libre escogencia tal que
S(t)S(t0) = ,t6=t0. Entonces, Mes persistente si, y solo si, Res de libre decisi´on.
Demostraci´on. Inmediato desde el teorema 4.4.
5 Conclusi´on
El modelo RP verificando los argumentos te´oricos establecidos en la secci´on 4 proporcionan una
estructura para estudiar un amplio rango de SDED, donde la red es conocida. La persistencia de
una RP excluye la existencia de cualquier confl´ıcto. Por lo tanto, en la asignaci´on de recursos
compartidos, un modelo de red persistente implica que no hay confl´ıcto entre procesos. La no
persistencia de una red puede implicar cierto grado de injusticia en la asignaci´on de recursos en
un contexto de sistemas distribuidos, en especial, en un medio ambiente de manufactura.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
An´alisis de confl´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 9
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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487423
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y
lenguajes
Algebraic structure of finite automata and languages
Fernando Ortiz (fernandojavier12037@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1048-3478
Instituto de Postgrado
Universidad ecnica de Manab´ı.
Av.Urbina y Che Guevara, 130103, Ecuador.
Luz Sol´e (luzsole@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6783-1819
Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias
Universidad de los ´
Andes
M´erida 5101, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela
Resumen
Estableceremos a los aut´omatas finitos mediante un enfoque algebraico, donde todos los
argumentos y pruebas son constructivas; y donde el concepto fundamental para dicho enfo-
que esta centrado en la multiplicidad.
Palabras y frases clave: Aut´omatas finitos, comportamiento din´amico, multiplicidad.
Abstract
We will present finite automata through an algebraic approach, where all the arguments
and proofs are constructive; and where the fundamental concept for this approach is centered
on multiplicity.
Key words and phrases: Finite automata, dynamic behavior, multiplicity.
1 Introducci´on
Presentamos una estructura algebraica la cual ser´a aplicada a los aut´omatas finitos [1, 4, 5, 2, 3],
donde la noci´on asica que nos permitir´a tal extensi´on es la multiplicidad. Para ser as precisos,
sea A= (Q, Σ, E, I, T ) un aut´omata, y sea |A| su correspondiente comportamiento din´amico,
cada camino c:it,iI, t Tcon etiqueta |c|=sdetermina que s A; as a´un, si nes
el n´umero de tales caminos, entonces podemos establecer una funci´on ΣNla cual especifica
la multiplicidad de los elementos sΣ. En este caso diremos que s |A| con multiplicidad n.
Tambi´en, con abuso de lenguaje escribiremos la funci´on de multiplicidad como |A| : ΣN,
Recibido 29/06/2021. Revisado 17/09/2021. Aceptado 23/11/2021.
MSC (2010): Primary 37N35; Secondary 93C65.
Autor de correspondencia: Luz Sol´e
Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 11
|A|(s) = n, y la llamaremos el comportamiento de A. Note que de acuerdo a lo establecido,
|A|(s) = 0 significa que s / |A|. As´ı, identificamos a |A|, el cual es un subconjunto ordinario de
Σ, con la aplicaci´on |A| : ΣN. Por otro lado, sin consideraciones de multiplicidad cualquier
subconjunto Ade Σpuede ser visto como una funci´on A: Σβ, donde β={0,1}. La
identificaci´on es dada por la relaci´on: sA A(s) = 1. Finalmente, nos confrontamos con
dos clases de “Subconjuntos” de Σ(N-subconjuntos y β-subconjuntos) las cuales corresponden,
unificadamente, al concepto de un semianillo K.
2 Nociones preliminares
Nosotros asumiremos que son conocidos los conceptos y resultados asicos de las teor´ıas de
aut´omatas y lenguajes. Por su parte,
Definici´on 2.1. Un semianillo Kes un conjunto dotado de dos operaciones: suma(+) y mul-
tiplicaci´on ·; tal que (K, +) es un monoide conmutativo con elemento neutro 0 y (K, ·) es un
monoide con elemento identidad 1. Adem´as, para todo x, y, z Kse tiene que
x(y+z) = xy +xz (y+z)x=yx +zx
x0=0=0x.
Un semianillo Kes llamado conmutativo si (K, ·) es conmutativo. Claramente, todo anillo
con unidad es un semianillo. Ejemplos de algunos semianillos conmutativos.
Ejemplo 2.1. Sea β={0,1}es un semianillo, donde la suma esta dada por
1 + 1 = 1 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1 1 + 0 = 1.
Note que 0es el elemento neutro. La multiplicaci´on est´a dada por
1·1 = 1 0 ·0=0
0·1 = 0 1 ·0=0.
donde 1es el elemento identidad.
Ejemplo 2.2. El conjunto Nes el semianillo de todos los enteros n0, con la suma y la
multiplicaci´on usual.
Ejemplo 2.3. El conjunto Nes el semianillo Njunto con un elemento adicional , donde la
suma y la multiplicaci´on son extendidas por
n+= +n= +=
n· =, n 6= 0 · n=;n6= 0 ∞·∞=
· 0=0=0· .
Ejemplo 2.4. El conjunto R+es el semianillo de todos los umeros reales x0, con la suma
y la multiplicaci´on usual.
Ejemplo 2.5. El conjunto R+es el semianillo de los n´umeros R+junto con , donde las
operaciones se extienden exactamente como en el caso de NaN.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
12 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
Sea {xi}iIuna familia arbitraria de elementos de un semianillo K, donde Ies un conjunto
cualquiera de ´ındices; es decir, una aplicaci´on ϕ:I K, tal que ϕ(i) = xi,iI. Si Ies finito,
la suma
X
iI
xiK(2.1)
Esta suma tiene las siguientes propiedades:
Si I={i},entonces X
iI
xi=xi(2.2)
Si I=[
jJ
Ijes una partici´on de IyzK, entonces
X
iI
xi=X
jJ X
iIJ
xi!(2.3)
z X
iI
xi!=X
iI
zxi(2.4)
X
iI
xi!z=X
iI
xiz(2.5)
Si I=,entonces X
iI
xi= 0 (2.6)
Ahora, considerando a (2.1) en lugar de la suma x+yy tomando (2.2)-(2.6) y (K, ·) el monoide
dado como axiomas, entonces podemos definir
x1+x2=X
iI
xi,con I={1,2}y 0 = X
iI
xi,si I=.
En consecuencia, bajo esta axiom´atica, tenemos una forma equivalente para definir un semi-
anillo. En efecto, la conmutatividad y asociatividad se obtienen del hecho siguiente: si ϕ:JI
es una biyecci´on, entonces
X
iI
xi=X
jJ
xϕ(j).
Por otro lado, la distributividad a izquierda y derecha se obtienen de (2.4) y (2.5). Enfatizamos
que (2.1) es definida si Ies finito. Ahora, si para cualquier conjunto de ´ındices I, (2.1) est´a bien
definida como elemento de K, entonces bajo nuestra nueva definici´on de semianillo, se obtiene la
noci´on de semianillo completo. Finalmente, todo semianillo completo es un semianillo.
Los anillos N,R+, β son completos ya que la suma puede extenderse de manera natural para
definir (2.1), para cualquier conjunto de ´ındices I, esto es, usando el orden usual en N,R+, β
puede definirse (2.1) como la menor de las cotas superiores de los elementos X
iJ
xi, donde J
recorre todos los subconjuntos finitos de I.
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Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 13
Definici´on 2.2. Dados dos semianillos KyK0, un homomorfismo ϕ:K K0es una funci´on
que satisface:
ϕ(x1+x2) = ϕ(x1) + ϕ(x2),
ϕ(0) = 00(2.7)
ϕ(x1·x2) = ϕ(x1)·ϕ(x2),
ϕ(1) = 10.(2.8)
Notemos que si Ies finito, entonces
ϕ X
iI
xi!=X
iI
ϕ(xi) (2.9)
Observaci´on 2.1.Si KyK0son completos entonces (2.7) es reemplazado por (2.9) para Iarbi-
trario.
Definici´on 2.3. Un semianillo Kser´a llamado positivo si satisface:
1. 0 6= 1.
2. si x+y= 0, entonces x=y= 0.
3. si xy = 0, entonces x= 0 ´o y= 0.
Sea Kun semianillo y consid´erese T:Kβdada por:
T(x) = (1,six= 0
0,six6= 0
Entonces, Tes un homomorfismo si, y olo si, Kes positivo.
En lo que sigue asumiremos que Kes un semianillo no trivial (0 6= 1) y conmutativo.
Definici´on 2.4. Sea Xun conjunto. Un subconjunto Ade Xes una funci´on A:X K. Para
cada xX, el elemento A(x) ser´a llamado la multiplicidad con la cual xpertenece a ˙
A. Si los
valores que toma Ason 0 y 1, diremos que el subconjunto Ade Xes no ambiguo.
Si K=β, entonces todos los subconjuntos de Xson no ambiguos. Los subconjuntos Ade X
no ambiguos pueden ser identificados con el subconjunto {x:A(x)=1}de X(recordemos que
hemos supuesto 0 6= 1).
Ejemplo 2.6. Sea X, yx, para cada xX, dados por:
1. X(x)=1, para todo xX;(x) = 0, para todo xX;
2. x(y) = (1,si x=y
0,en otro caso,
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14 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
son subconjuntos no ambiguos. Los subconjuntos no ambiguos xser´an llamados “simples”. Si
Aes un subconjunto no ambiguo de X, las notaci´ones xAyA(x) = 1 son sin´onimos.
Finalmente, si Aes un subconjunto de Xyϕ:KK0es un homomorfismo de semianillos,
entonces la composici´on
XA
Kϕ
K0
es un subconjunto ϕ(A) de X.
La primera operaci´on que consideraremos es la suma o uni´on, denotada por P´o respecti-
vamente. Para cada familia indizada {Ai}iIde subconjuntos de X, definimos
[
iI
Ai!(x) = X
iI
Ai!(x) = X
iI
Ai(x) (2.10)
Esta definici´on no requiere comentario si Kes completo. En otro caso, se asumir´a que la
familia {Ai}iIes localmente finita; es decir, para cada xXse tiene que Ai(x) = 0 excepto
para un n´umero finito de elementos iI.
Si I={1,· · · , n}, se usar´a la notaci´on
A1A2 · · · An´o A1+A2+· · · +An
en lugar de [
iI
Ai´o X
iI
Ai, respectivamente.
La segunda operaci´on es la multiplicaci´on de kKpor un subconjunto A. El resultado es
un subconjunto kA definido por
(kA)(x) = kA(x) (2.11)
A partir de las definiciones previas, se tienen las siguientes propiedades:
1A=A, 0A=,(k1k2)A=k1(k2A), X
iI
ki!A=X
iI
kiA, k X
iI
Ai!=X
iI
kAi.
La intersecci´on ABde dos subconjuntos es definida por:
(AB)(x) = A(x)B(x).
Tambi´en, definimos la intersecci´on cuando Bes un subconjunto y Aes un subconjunto no
ambiguo con respecto a β. En este caso se tiene que:
(AB)(x) = (B(x),si xA
0,si x /A
Ahora, para cada subconjunto Ade Xse tiene que:
A=X
xX
A(x)x.
Esta suma est´a bien definida. En efecto. La familia {A(x)x}xXes localmente finita:
(A(x)x)(y) = (A(x),si x=y
0,en otro caso
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 15
AX
xX
A(x)xes llamada la expansi´on de A(en t´erminos de simples). Esta es una forma ´util
de manipular los subconjuntos. En efecto,
Ejemplo 2.7.
kA =X
xX
kA(x)x A B=X
xX
A(x)B(x)x
Sea Aun subconjunto de Xy sea X0un subconjunto no ambiguo con respecto a βde X. Si
A(x) = 0 para todo xX\X0, entonces Aes un subconjunto de X0. En este caso, escribimos
AX0. Finalmente, obtenemos que:
AX0AX0=A.
Nuestro inter´es ahora es estudiar el producto entre dos subconjuntos de S, donde (S, ·) es un
semigrupo.
Definici´on 2.5. Sean (S, ·) un semigrupo y A,Bsubconjuntos de S, con Kcompleto. El sub-
conjunto AB de Ses dado por:
(AB)(z) = X
xy=z
A(x)B(y) (2.12)
Observaci´on 2.2.1. La ormula para el producto AB, dada en la ecuaci´on (2.12), es incluida
para garantizar la bilinealidad del producto.
2. Sea zS, pueden existir infinitos pares (x, y) tales que xy =z. Por esta raz´on es necesario
que Ksea completo. Sin embargo, si S= Σ+es el semigrupo libre con base Σ (no necesa-
riamente finito), entonces el umero de factorizaciones xy =zes exactamente |z| 1. En
consecuencia, la suma en (2.12) es finita y Kpor lo tanto no tiene porque ser completo. El
mismo argumento se aplica si S= Σ.
As´ı, AB es bilineal. En efecto. Sean {Ai}iIy{Bj}jJfamilias de subconjuntos de S, entonces
X
iI
Ai!B=X
iI
AiB A
X
jJ
Bj
=X
jJ
ABj
(kA)B=k(AB) = A(kB).
Adem´as, AB es asociativa. Finalmente, si Mes un monoide, entonces KMes un semianillo (no
necesariamente conmutativo) con identidad el elemento simple θ, donde θes la identidad de M.
Sean PyQconjuntos finitos. Un subconjunto de P×Qes una matriz donde las filas y las columnas
son indizadas con elementos de PyQrespectivamente, con entradas en K. Si AKP×Q, en
lugar de escribir A(p, q), escribiremos Apq y la matriz la identificaremos como A= [Apq]. La suma
de matrices es definida usando la suma de subconjuntos. Esto es, si BKP×Q, entonces
(A+B)pq =Apq +Bpq
Una nueva operaci´on es la multiplicaci´on de matrices. Sean AKP×QyBKQ×R, el producto
AB KP×Qest´a definido por:
(A·B)pr =X
qQ
ApqBqr.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
16 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
Las propiedades usuales de la multiplicaci´on son acilmente establecidas. Si P=Q, entonces
KP×Pes un semianillo con unidad 1P, donde
(1P)qq0=(1,si q=q0
0,si q6=q0
Si AKP×QyPes unitario, entonces Aes llamado vector fila. Si Qes unitario, entonces A
es llamado vector columna.
3 Aut´omatas finitos sobre un semianillo conmutativo
Definici´on 3.1. Sean Σ un alfabeto finito y Kun semianillo conmutativo. Un K-aut´omata A
es un quintuple
A= (Q, Σ, E, I, T ),
donde Qes un conjunto finito, IyTson subconjuntos de Q, y Ees un subconjunto de Q×Σ×Q.
Sea A= (Q, Σ, E, I, T ) un K-aut´omata. Si E(p, α, q) = k6= 0, entonces diremos que existe
un arco de paqque denotaremos p
qcon etiqueta kα. En este caso, tambi´en diremos que
p
qest´a en A.
Como en el caso de los aut´omatas, se consideran los caminos o trayectorias c:pq. As´ı, si
ces un camino
pk1α1
q1
k2α2
· · · qn1
knαn
q,
entonces su etiqueta es |c|=ks, con K=k1· · · knys=α1· · · αn, y su longitud es kck=n=|s|.
Definici´on 3.2. Sea A= (Q, Σ, E, I, T ) un K-aut´omata. El comportamiento de Aes el subcon-
junto de Σ, denotado |A|, dado por:
|A| =X
p,qQX
c
I(p)|c|T(q).(3.1)
con crecorriendo todos los caminos c:pq; es decir,
|A|(s) = X
p,qQX
kC
I(p)kT (q),
donde C={kK:c:pq, |c|=ks}.
Observaci´on 3.1.1. Para cada sΣ, existe solo un umero finito de caminos con etiquetas
ks,kK. Luego, la suma (3.1) es localmente finita y en consecuencia |A| est´a bien definido
sin asumir que Ksea completo.
2. Los ´unicos caminos con longitud 0 son los triviales, es decir, los caminos
c:p p, con etiqueta |c|= 1θ.
En consecuencia,
|A|(θ) =
X
p,qQX
c
l(p)|c|T(q)
(θ) = X
pQ
I(p)T(p) = IT
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Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 17
donde IT es producto del vector fila I= (I(p1),· · · , I(pn)) por el vector columna
T(p1)
.
.
.
T(pn)
.
El subconjunto Ede Q×Σ×Qes una funci´on
E:Q×Σ×QK.
Denotaremos E(p, α, q) = Epq (α).As´ı, para todo p, q Q, Epq es un subconjunto de Σ. De esta
manera, Epuede ser vista como una matriz
E:Q×QKΣ,
llamada matriz de transici´on. Cada subconjunto de Σ puede extenderse a un subconjunto de Σ
poniendo, para p, q Q,
Epq K,
Epq(s) = (Epq (s),si sΣ
0,si s /Σ.
De manera que, Epuede ser vista como un subconjunto de Q×Q; es decir, como una matriz
Q×Qcon entradas en KΣ. Por lo tanto, como KΣes un semianillo, podemos utilizar las
operaciones correspondientes. Ahora bien, para cada nN, definimos las matrices
En:Q×Q KΣ,
E0=1Q, E1=E, . . . , En=EEn1, n 2,donde
En
pq =X
rQ
EpqEn1
rq ,con p, q Q.
Claramente, si sΣy|s| 6=n, entonces En
pq(s) = 0, con p, q Q. Luego, {En
pq}nNes localmente
finita. As´ı, podemos definir
E
pq =
X
n=0
En
pq
y en consecuencia, obtenemos la matriz
E:Q×Q KΣ
E=1Q+E+E2+· · · +En+· · ·
llamada matriz de transici´on extendida. Para cada sΣ, consideremos la matriz
E(s)=[E
pq(s)] KQ×Q.
Si s=α1· · · αn, entonces
E(s) = En(s) = E(α1)· · · E(αn) = E(α1)· · · E(αn).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
18 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
4 Resultados te´oricos
Teorema 4.1. Para cualesquiera p, q Q, el subconjunto E
pq es la suma de todas las etiquetas
de caminos c:p qen A.
Demostraci´on. Sean p, q Q, como E
pq =
X
pq=1
En
pq es suficiente comprobar que En
pq es la suma
de todas las etiquetas de los caminos de longitud n.
Si n= 0, entonces
E0
pq =(θ, si p=q
φ, si p6=q
donde θes la identidad de KΣ.
Si n= 1, entonces
E1
pq =X
rQ
Epr(1Q)rp =X
rQ
EprE0
rq .
Supongamos que el resultado es cierto para n1, n2; es decir,
En1
pq =X
r1,··· ,rn1Q
Epr1Er1r2· · · Ern1q=X
rQ
EprEn2
rq .
Entonces,
En
pq =X
rQ
EprEn1
rq =X
r1Q
Epr1
X
r2,··· ,rnQ
Er1r2Er1r3· · · Ernq
=X
r1,··· ,rnQ
Epr1Er1r2· · · Ernq=X
rQ
EprEn2
rq .
As´ı, En
pq es la suma de todas las etiquetas de los caminos con longitud n. Luego, E
pq es la
suma de todas las etiquetas de los caminos c:pqen A.
Corolario 4.1. El comportamiento de Aes |A| =IET, con Ivisto como un vector fila y T
como un vector columna.
Demostraci´on.
|A| =X
p,qQX
c
I(p)|c|T(q) = X
p,qQ
l(p)E
pqT(q) = IET.
Definici´on 4.1. Sean Kun semianillo conmutativo y Σ un alfabeto finito. Un subconjunto A
de Σes llamado regular si existe un K-aut´omata Atal que |A| =A.
Cuando consideremos dos K-aut´omatas A= (QA,Σ, EA, IA, TA) y B= (QB,Σ, EB, IB, TB),
asumiremos que QAQB=.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 19
Definici´on 4.2. Sean A,B, dos K-aut´omatas, el K-aut´omata uni´on de AyBes dado por
A∪B= (QAB,Σ, EAB, IAB, TAB)
donde, QAB=QAQB,
IAB(p) = (IA(p),si pQA
IB(p),si pQB
TAB(p) = (TA(p),si pQA
TB(p),si pQB
EAB(p, α, q) =
EA(p, α, q),si p, q QA
EB(p, α, q),si p, q QB
0,en otro casob
Observaci´on 4.1.Un camino en A∪B es un camino en Ao es un camino en B.
Proposici´on 4.1. La uni´on de dos subconjuntos regulares de Σes un subconjunto regular de
Σ.
Demostraci´on. Sean AyBdos subconjuntos regulares de Σ, y A,Bdos K-aut´omatas tales que
|A| =Ay|B| =B. Consideremos el K-aut´omata A∪B, entonces, para todo sΣ,
|A B|(s) =
X
p,qQABX
c
IAB(p)|c|TAB(q)
(s) = X
p,qQAQBX
k
IAB(p)kTAB(q),
donde kKes tal que existe un camino c:p qen A∪B con |c|=ks,
|A B|(s) = X
p,qQAX
k
IA(p)kTA(q) + X
p,qQBX
k
IB(p)kTB(q)
=|A|(s) + |B|(s) = A(s) + B(s) = (AB)(s).
As´ı, |A B| =AB.
Definici´on 4.3. Sean A,Bdos K-aut´omatas. El K-aut´omata producto (o intersecci´on) de Ay
Bes dado por A×B= (QA×B,Σ, EA×B, IA×B, TA×B), donde
QA×B=QA×QB, IA×B(p, q) = IA(p)IB(q),
TA×B(p, q) = TA(p)TB(q), EA×B((p, q), α, (p0, q0)) = EA(p, α, p0)EB(q, α, q0).
Observaci´on 4.2.Un camino c: (p, q) (p0, q0) en A×B, con etiqueta |c|=ks, puede ser visto
como un par c= (c0, c00),donde c0:p pes un camino en A, con |c0|=k1syc00 :q q0es
un camino en B, con |c00|=k2s, con k1k2=k.
Proposici´on 4.2. La intersecci´on de dos subconjuntos regulares de Σes un subconjunto regular
de Σ.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
20 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
Demostraci´on. Sean AyBdos subconjuntos regulares de ΣyA,Bdos K-aut´omatas tales que
|A| =Ay|B| =B. Consideremos el K-aut´omata A×B. Entonces, para todo sΣ,
|A × B|(s) =
X
(p,q),(p0,q0)QA×QBX
c
IA×B(p, q)|c|TA×B(p0, q0)
(s)
=
X
p,p0QA;q,q0QBX
(c0,c00 )
IA(p)IB(q)|(c0, c00)|TA(p0)TB(q0)
(s)
donde c0:p p0es un camino enAycn:q q0es un camino en B,
=X
p,p0QA;q,q0QBX
k1,k2
IA(p)k1TA(p0)IB(q)k2TB(q0)
=X
p,p0QA;q,q0QBX
k1,k2
IA(p)k1TA(p0)IB(q)k2TB(q0)
donde |c0|=k1s,|c00|=k2syk1k2=kcon ks =|c|,
=X
p,p0QAX
k1
IA(p)k1TA(p0)X
q,q0QBX
k2
IB(q)k2TB(q0)
=
X
p,p0QAX
c0
IA(p)|c0|TA(p0)
(s)
X
q,q0QBX
c00
IB(q)|c00|TB(q0)
(s)
=|A|(s)|B|(s)=(|A| |B|)(s)=(AB)(s)
Definici´on 4.4. Un K-aut´omata A= (Q, Σ, E, I, T ) es llamado normalizado si I={i}y
T={t}(o simplemente I=iyT=t) son dos subconjuntos simples distintos, y no existen arcos
q
i,t
q, con k6= 0, es decir, E(q, α, i) = E(t, α, q) = 0 para todo qQyαΣ.
Proposici´on 4.3. Para cada K-aut´omata Aexiste un K-aut´omata normalizado A0tal que
|A0|=|A| Σ.
Demostraci´on. Sea A= (Q, Σ, E, I, T ) un K-aut´omata y consideremos Q0=Qit, donde iy
tson dos nuevos estados distintos. Definimos la nueva matriz E0como sigue:
E0
pq =Epq, E0
iq =X
pQ
lpEpq, E0
pt =X
qQ
EpqTq, E0
it =X
p,qQ
lpEpqTq, E0
pi =Eti =Etq =,
donde lp=I(p) y T(q) = Tq. Un alculo simple determina que E0
it =IE+T, donde E+=
E+E2+· · · +En+· · · =EE. El K-aut´omata A0= (Q0,Σ, E0, i, t) es normalizado, y usando
el corolario 4.1 se tiene
|A0|=E0
it =IE+T=IETΣ+=|A| Σ+
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Estructura algebraica de los aut´omatas finitos y lenguajes 21
Proposici´on 4.4. Sea Aun subconjunto regular de Σy sea kK, entonces kA es un subcon-
junto regular de Σ.
Demostraci´on. Sea Aun K-aut´omata tal que |A| =A, y sea kK. Consideremos el K-aut´omata
kA= (Q, Σ, E, kI, T ), donde (kI)q=kIq(Ivisto como un vector fila), entonces
|kA| =X
p,qQ
klpE
pqTq=kX
p,qQ
lpE
pqTq=k|A| =kA.
Proposici´on 4.5. Un subconjunto Ade Σes regular si, y olo si, el subconjunto A0=AΣ+
tambi´en lo es.
Demostraci´on. Sea Aun K-aut´omata tal que |A| =A. Entonces, existe un K-aut´omata (normali-
zado) A0tal que |A0|=|A|Σ+=AΣ+=A0. Reciprocamente, supongamos que AΣ+=A0es
un subconjunto regular de Σ. Como A0(θ) = 0 (ya que Σ+(θ) = 0), podemos escribir A=kθ+A0
donde k=A(θ). Ahora, como θes un subconjunto regular de Σ, entonces por las proposiciones
4.1 y 4.4 se tiene que Aes regular.
Proposici´on 4.6. Si AyBson subconjuntos regulares de Σ, entonces AB tambi´en lo es.
Demostraci´on. Sea A=kθ +A0,B=lθ +B0, con A0=AΣ+,B0=BΣ+,k=A(θ) y
l=B(θ). Entonces, AB =klθ +kB0+lA0+A0B0. Basta probar que A0B0es regular. Para esto,
sean A= (Q1,Σ, E1, i1, t1) y B= (Q2,Σ, E2, i2, t2) dos K-aut´omatas normalizados que reconocen
aA0yB0respectivamente. Consideremos el K-aut´omata normalizado C= (Q, Σ, E, i1, t2), donde
Qes la uni´on disjunta de Q1yQ2, salvo la consideraci´on t1=i2. Luego un arco en Ces un arco
en Ao es un arco en B. As´ı, claramente
|C| =E
i1t2=E
1i1t1E
2i2t2=|A||B| =A0B0.
Teorema 4.2. Un subconjunto Ade Σ+es regular si, y olo si, existe un entero n > 1yEuna
matriz n×ncuyas entradas son subconjuntos de Σtal que A=E+
1n.
Demostraci´on. Supongamos que Aes un subconjunto regular de Σ+, y sea A= (Q, Σ, E, i, t)
un K-aut´omata normalizado que reconoce a A. Sin perdida de generalidad supongamos que
Q={1,· · · , n},con i= 1 y t=n. Como i6=tse tiene que n > 1. Ahora, por el corolario 4.1
se tiene que |A| =E
1n=E+
1n=A. Reciprocamente, si A=E+
1n, donde Ees una matriz n×n
de subconjuntos de Σ y n > 1, entonces poniendo Q={1,· · · , n},I= 1 y T=n, obtenemos un
K-aut´omata A= (Q, Σ, E, l, n) que como antes |A| =E+
1n=A.
Corolario 4.2. Si Ees una matriz n×nde subconjuntos de Σ, entonces para cualesquiera
1i, j n, los subconjuntos E
ij yE+
ij son regulares.
Demostraci´on. Inmediato desde el teorema 4.2
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
22 Fernando Ortiz - Luz Sol´e
5 Conclusi´on
Si K=NyA= (Q, Σ, E, I, T ) es un K-aut´omata, entonces Qes un conjunto finito, IyTson
dos subconjuntos de Q, y Ees un subconjunto de Q×Σ×Q; luego, si I, T yEson no ambiguos
se sigue que Aes un aut´omata finito en el sentido convencional. As´ı, los K-aut´omatas, con Kun
semianillo conmutativo, extienden naturalmente a los aut´omatas. Mas un si Aes un subconjunto
regular de Σcon respecto a N, existe un N-aut´omata no ambiguo Atal que |A| =A.
Referencias
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Massachusetts inst technol, Cambridge, Dept. Elec. Fng. And computer Sci.
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York.
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Application. J. On DEDS, Vol. 1.
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computation, Addison Wesley USA.
[5] Mata, G., Ruiz, B., Camacho, C., endez, A., Mu˜noz, S., and Zambrano, H., (2018), A
planning algorithm in a class of discrete event system. DYNA. 85(206),283-293.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 10–22
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487462
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(s)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Qualitative study of a mathematical model for
the transmission of COVID-19
Estudio cualitativo de un modelo matem´atico para la transmisi´on del COVID-19
Yuri Alc´antara Olivero (yalcantara@uo.edu.cu)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7208-4229
Department of Computer Science, Faculty of Natural and Exact Sciences
University of Oriente
Cuba.
Sandy anchez Dom´ınguez (sandys@uo.edu.cu)
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3788-8413
Mathematics Department, Faculty of Natural and Exact Sciences
University of Oriente
Cuba
Antonio Iv´an Ruiz Chaveco (iruiz2005@yahoo.es)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3473-1704
University of the State of Amazonas
Brazil
Abstract
This paper presents an analysis of the characteristics of the model to simulate the process
of infection by COVID 19 in Wuhan China, a set of observations are indicated that represent
the bases for its modification and a qualitative study is carried out.
Palabras y frases clave: Mathematical model, epidemic, qualitative analysis.
Resumen
En este trabajo se presenta un an´alisis del modelo para simular el proceso de infecci´on
por COVID-19 en Whuhan China, se indican un conjunto de observaciones que presentan
las bases para su modificaci´on y se realiza un estudio cualitativo.
Key words and phrases: Modelo matem´atico, epidemia, an´alisis cualitativo.
1 Introduction
The disease that has most affected humanity in recent years has been COVID-19. In [12] the
authors make an exhaustive analysis of the situation presented in Wuhan, China, making a
Received 06/07/2021. Revised 09/09/2021. Accepted 31/08/2022.
MSC (2010): Primary 34C60; Secondary 34C20.
Corresponding author: Sandy anchez Dom´ınguez
24 Yuri Alc´antara - Sandy anchez - Antonio Ruiz
model that corresponded exactly to the presented situation, predicting the future of the disease
in correspondence with the cases presented.
In view of the situation presented in Santigo de Cuba, the authors of [13] adapted the model
presented in [12], managing to make sure that the prognoses made corresponded to the reality of
the epidemic in that region of the Cuban East. We propose to make a qualitative analysis of this
model in order to prove the adaptability of the model to other situations and to other countries
outside the country of origin.
Due to these great affects produced by COVID-19 in the world, multiple results have been
published both from the point of view of biochemical characteristics, treatment, and from the
point of view of modeling to make predictions regarding the future of the pandemic, among others
can indicate the works [13, 10, 14, 17, 18], which represent models using ordinary differential
equations, which give conclusions regarding the future behavior of the infection process of the
population under consideration.
The qualitative study of these models is very important, as this allows us to draw conclusions
regarding the future situation of this process; allowing to determine necessary and sufficient
conditions under which a possible complication could or could not be prevented. (cf. [15, 16, 17]).
COVID-19 desease is caused by the SARS-CoV-2 coronavirus, a respiratory disease that so
many lives have claimed, there are many ideas on how to fight this disease; but the method that
most researchers agree on, is given by the method of isolating the infected to prevent possible
transmission to other people [11]. One of the treatments that has already given results is interferon
alpha-2b, in addition to others already tested in the treatment of other diseases such as AIDS,
hepatitis, among others.
Interferon alpha-2b, was developed by the Cuban Genetic Engineering and Biotechnology
Center and has already been used in different parts of the world with highly reliable results (cf.
[2]).
Today in the world vaccines are applied to raise the immune response of an individual and pro-
tect him from disease, among which have been certified are Pfizer-BioNTech, Moderna, Janssen
from Johnson & Johnson, Sputnik V and Sinovac-CoronaVac.
Currently in Cuba, they are working with five vaccine candidates against COVID-19, which
are passing through different phases of the clinical trial, Soberana 02 and Abdala that are passing
through the third phase of the trial, Soberana 01, Soberana Plus and Mambisa that are passing
through the second phase of the trial [1, 9]. In the particular case of the candidate, Mambisa
explores the intranasal route, while the remaining candidates are intramuscularly [9], particularly
Soberana Plus is studied in convalescent patients.
There are multiple works dedicated to the study of the causes and the conditions under which
an epidemic may develop, among these we can indicate [7]. The problem of epidemic modeling
has always been of great interest to researchers such as the cases of (cf. [3, 4, 6, 5, 8]).
In [15] different problems of real life are treated by means of equations and systems of differ-
ential equations, all of them only in the autonomous case; where examples are developed, and
other problems and exercises are presented for them to be developed by the reader.
The objective of this work is to make a qualitative study of the SEIR model with three
additional classes: the total population size (N), the public perception of risk (D), and the
cumulative cases number (C) reported by Lin et al. [13] which simulates through a system
ordinary differential equations, the situation presented in Wuhan China, the process of infection
of COVID-19 in such a way that it can respond to the current situation in different countries
and regions of the world; as it happened in Cuba and other countries, a possibility that had
already been indicated in [17], where in addition it was planted how to reverse this situation.This
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Qualitative study for COVID-19 transmission 25
would give a justification from the theoretical point of view of the conclusions presented in [13],
where the situation in Santiago de Cuba is precisely indicated, theoretically demonstrating the
predictions made from the adaptation of the model.
2 Initial model presented
Starting from this original system, we will place some modifications depending on the character-
istics of the problem, in response to observations that will justify each of the adaptations made,
which has the following expression.
dS
dt =µS β(t)
NSI
dE
dt =(σ+µ)E+β(t)
NSI
dI
dt =(γ+µ)I+σE
dR
dt =µR +γI
dN
dt =µN
dD
dt =λD +I
dC
dt =σE
(2.1)
with
β(t) = β0(1 α)(1 D
N)k,(2.2)
where σ1,γ1,d,λ1,β(t), β0,αand kare the mean latent period, the mean infectious period,
the proportion of severe cases, the mean duration of public reaction, the dynamic transmission
rate, the initial transmission rate, the governmental measure strength and the intensity of indi-
vidual response, respectively, in addition:
Srepresents the susceptible population, Erepresents the exposed population, Irepresents the
infected population, Rrepresents the recovered population, Nrepresents total population, D
represents the public perception of risk and Crepresents the cumulative number of cases.
1. Under the same conditions, not all susceptible people are infected.
2. The recovery time is not the same for all patients.
3. The number of infected people is not exact, as there are asymptomatic patients on the
street without being detected.
4. The unknown functions in the system are being considered with some approximation.
5. Disturbances will be introduced to bring us closer to the real situation.
6. How β(t) is a limited function with values in the range [0, β0] a constant value within that
range will be considered here.
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26 Yuri Alc´antara - Sandy anchez - Antonio Ruiz
7. To guarantee the validity of the qualitative study, we will make a distinction between the
total populations and the allowable concentrations.
3 Qualitative analysis of the modified model
For the qualitative study of the model, the system of differential equations will be modified for
which the following variables will be introduced:
˜
i1is the total infected population at the moment t.
˜s1is the total susceptible population at the moment t.
˜e1is the total exposed population at the moment t.
˜r1is the total recovered population at the moment t.
˜n1is the total population at the moment t.
˜
d1is the total of the population that have the risk at the moment t.
˜c1is the total of cases accumulated at the moment t.
In addition it will be denoted by ¯
i1, ¯r1¯s1, ¯e1, ¯n1,¯
d1and ¯c1the admissible values respectively, of
each of the populations. Here the variables will be introduced s1,e1,i1,r1,n1,d1and c1defined
as follows: s1= ˜s1¯s1,e1= ˜e1¯e1,i1=˜
i1¯
i1,r1= ˜r1¯r1,n1= ˜n1¯n1,d1=˜
d1¯
d1and
c1= ˜c1¯c1, them as s10, e10, i10, r10, n10, d10 and c10 when t ,
the following conditions would be met: ˜s1¯s1, ˜e1¯e1,˜
i1¯
i1, ˜r1¯r1, ˜n1¯n1,˜
d1¯
d1
and ˜c1¯c1which would constitute the main objective of this work.
The system (2.1) can be generalized as follows
ds1
dt =µ1β1s1i1+S1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
de1
dt =(σ+µ)e1+β1s1i1+E1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
di1
dt =(γ+µ)i1+σe1+I1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
dr1
dt =µr1+γi1+R1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
dn1
dt =µn1+N1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
dd1
dt =λd1+i1+D1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
dc1
dt =σe1+C1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
(3.1)
Where
S1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1), E1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1), I1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1),
R1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1), N1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1), D1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
C1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1)
(3.2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Qualitative study for COVID-19 transmission 27
are perturbations and from the mathematical point of view they are infinitesimals of superior
order because they constitute series of power where the inferior degree of their powers is the
second; besides that β1[0,β0
N] like this,
S1(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1) = X
|p|≥2
s(p)
1sp1
1ep2
1ip3
1rp4
1np5
1dp6
1cp7
1,
with |p|=p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7, the another series given on the equation (3.2) have a
similar development.
The characteristic equation corresponding to the matrix of the linear part of the system (3.1)
has the form,
k(k+λ)(k+µ)3(k+ (γ+µ))(k+ (µ+σ)) = 0
As it turns out, it has a zero eigenvalue and another six negatives, this is a critical case, it is
necessary to apply the analytical theory of differential equations to draw conclusions regarding
the future behavior of the infection process. For this, we will simplify the system, reducing it
to almost normal form. By means of a non-degenerate transformation X=SY , where X=
col(s1, e1, i1, r1, n1, d1, c1), Y= col(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2) and Sthe matrix of the eigenvalues of
the matrix of the linear part of the system
S=
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 µσ
σ
0 0 γ+λµ
γd 000 µσ
γσ
0 0 γλ+µ
γd 010 γ(µ+σ)
σ(γσ)
0 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 γd(µ+σ)
(γσ)(λ+µ+σ)
1 0 0 0 0 0 1
where additional satisfaction is required of additional algebraic conditions associated with the
proper subspaces to guarantee the reduction of the matrix to the diagonal form, so the system is
reduced to,
s0
2=k1s2+S2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
e0
2=k2e2+E2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
i0
2=k3i2+I2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
r0
2=k4r2+R2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
n0
2=k5n2+N2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
d0
2=k6d2+D2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
c0
2=C2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2)
(3.3)
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28 Yuri Alc´antara - Sandy anchez - Antonio Ruiz
Theorem 3.1. The exchange of variables
s2=s3+h1(c3)
e2=e3+h2(c3)
i2=i3+h3(c3)
r2=r3+h4(c3)
n2=n3+h5(c3)
d2=d3+h6(c3)
c2=c3+h7(c3) + ˜
h(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
(3.4)
transforms the system (3.3) into almost normal form,
s0
3=k1s3+S3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
e0
3=k2e3+E3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
i0
3=k3i3+I3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
r0
3=k4r3+R3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
n0
3=k5n3+N3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
d0
3=k6d3+D3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
c0
3=C3(c3)
(3.5)
where
h1(c3), h2(c3), h3(c3), h4(c3), h5(c3), h6(c3), h7(c3),˜
h(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
S3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), E3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), I3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
R3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), N3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), D3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
C3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
admit a similar development
S2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2), E2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2), I2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2),
R2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2), N2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2), D2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2),
C2(s2, e2, i2, r2, n2, d2, c2),
besides that
˜
h(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), S3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), E3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
I3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), R3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), N3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
D3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
are canceled when s3=e3=i3=r3=n3=d3= 0.
Proof. Deriving the transformation (3.3) along the trajectories of the systems (3.3) and (3.5) the
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Qualitative study for COVID-19 transmission 29
system of equations is obtained,
S3=S2dh1
dc3
C3(c3)
E3=E2dh2
dc3
C3(c3)
I3=I2dh3
dc3
C3(c3)
R3=R2dh4
dc3
C3(c3)
N3=N2dh5
dc3
C3(c3)
D3=D2dh6
dc3
C3(c3)
C3=C2(c3)dh7
dc3
C3(c3)˜
h
s3
(k1s3+S3)˜
h
e3
(k2e3+E3)˜
h
i3
(k3i3+I3)
˜
h
r3
(k4r3+R3)˜
h
n3
(k5n3+N3)˜
h
d3
(k6d3+D3)˜
h
c3
C3(c3)
(3.6)
As the ˜
hseries has the form
˜
h=X
|p|≥2
˜
h(p)sp1
3ep2
3ip3
3rp4
3np5
3dp6
3cp6
3,then ˜
h
s3
s3=p1s3X
|p|≥2
˜
h(p)sp11
3ep2
3ip3
3rp4
3np5
3dp6
3cp6
3=p1˜
h.
Similarly, the expressions ˜
h
e3
e3=p2˜
h,˜
h
i3
i3=p3˜
h,˜
h
r3
r3=p4˜
h,˜
h
n3
n3=p5˜
h,˜
h
d3
d3=p6˜
h
and ˜
h
c3
c3=p7˜
h. Substituting these expressions in the equation (3.6), we obtain
S3=S2dh1
dc3
C3(c3)
E3=E2dh2
dc3
C3(c3)
I3=I2dh3
dc3
C3(c3)
R3=R2dh4
dc3
C3(c3)
N3=N2dh5
dc3
C3(c3)
D3=D2dh6
dc3
C3(c3)
C3+
6
X
i=1
piki˜
h=C2(c3)dh7
dc3
C3(c3)˜
h
s3
S3˜
h
e3
E3˜
h
i3
I3
˜
h
r3
R3˜
h
n3
N3˜
h
d3
D3˜
h
c3
C3(c3)
(3.7)
To determine the series that intervene in the systems and the transformation, we will separate
the coefficients from the powers of degree p= (p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7) in the following two cases.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
30 Yuri Alc´antara - Sandy anchez - Antonio Ruiz
Case I: Doing s3=e3=i3=r3=n3=d3= 0 in the system (3.7) results the system,
S2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh1
dc3
C3(c3)
E2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh2
dc3
C3(c3)
I2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh3
dc3
C3(c3)
R2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh4
dc3
C3(c3)
N2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh5
dc3
C3(c3)
D2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7) = dh6
dc3
C3(c3)
C2(h1, h2, h3, h4, h5, h6, c3+h7)C3(c3) = dh7
dc3
C3(c3)
(3.8)
The system (3.8) allows the determination of the series coefficients h1(c3), h2(c3), h3(c3), h4(c3),
h5(c3), h6(c3) and C3(c3) where for being the resonant case h7= 0, and the remaining series are
determined in a unique way.
Case II For the case when s36= 0, e36= 0, i36= 0, r36= 0, n36= 0 and d36= 0 of the system
(3.7) it follows that,
S3=S2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
E3=E2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
I3=I2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
R3=R2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
N3=N2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
D3=D2(s3+h1, e3+h2, i3+h3, r3+h4, n3+h5, d3+h6, c3+h7+˜
h)
6
X
i=1
pihi!˜
h=C2(s3, h1, e3, h2, i3, h3, r3, h4, n3, h5, d3, h6, c3+h7+˜
h)˜
h
s3
S3
˜
h
e3
E3˜
h
i3
I3˜
h
r3
R3˜
h
n3
N3˜
h
d3
D3˜
h
c3
C3
(3.9)
Because the series of the system (3.5) are known expressions, the system (3.9) allows calculating
the series ˜
h(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), S3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), E3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3),
I3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), R3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3), N3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3) and
D3(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3). This proves the existence of variable exchange.
In the system (3.5) the function C3(c3) admits the following development in power series:
C3(c3) = αcn
3+. . .
Where αis the first non-zero coefficient and nis the corresponding power.
Theorem 3.2. If α < 0and nis odd, so the trajectories of the system (3.5) are asymptotically
stable, otherwise they are unstable.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Qualitative study for COVID-19 transmission 31
Proof. Consider the Lyapunov funtion defined positive,
V(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3) = 1
2(s2
3+e2
3+i2
3+r2
3+n2
3+d2
3+c2
3)
whose derivative along the trajectories of the system (3.5) has the following expression,
dV
dt =k1s2
3+k2e2
3+k3i2
3+k4r2
3+k5n2
3+k6d2
3+αcn+1
3+R(s3, e3, i3, r3, n3, d3, c3)
As in Rappear the powers of degrees greater than the second with respect to s3,e3,i3,r3,n3and
d3and higher degree n+ 1 with respect to c3, the expression of the derivative of Vis negative
definite, this allows us to affirm that the equilibrium position is asymptotically stable. This
result suggests that the limited progression of the COVID-19 epidemic may be due to opportune
epidemiological investigations and effective control measures in each source of infection.
4 Acknowledgments
The authors appreciate the technical support and invaluable feedback provided by Luis Eugenio
Vald´es Garc´ıa, Adriana Rodr´ıguez Vald´es, Manuel de Jes´us Salvador ´
Alvarez and Hilda Moran-
deira Padr´on. We also thank to Universidad de Oriente, Direcci´on de DATYS-Santiago de Cuba,
Direcci´on Provincial de Salud P´ublica and managers of the provincial government of Santiago de
Cuba.
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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Qualitative study for COVID-19 transmission 33
[19] Primer-Apellido Inicial-Segundo-Apellido.(opcional), Primer-Nombre; T´ıtulo del art´ıculo,
Revista, Volumen(N´umero) (A˜no), agina inicial - agina final.
[20] Primer-Apellido Inicial-Segundo-Apellido.(opcional), Primer Nombre; T´ıtulo de disertaci´on,
Tipo de sisertaci´on, Instituci´on, A˜no.
[21] Primer-Apellido, Primer-Nombre; T´ıtulo del libro, Editorial, Numero-de-Edici´on,vLugar-de-
edici´on, no.
[22] Primer-Apellido Inicial-Segundo-Apellido.(opcional), Primer Nombre; T´ıtulo del art´ıculo.
En: T´ıtulo del libro o proceeding (nombre de los editores), Editorial, (a˜no), agina-inicial
agina-final.
[23] Primer-Apellido Inicial-Segundo-Apellido.(opional), Primer Nombre; T´ıtulo del art´ıculo,
preprint, nombre del repositorio or intituci´on, (a˜no)
[24] Nombre del sitio web, opico consultado, a˜no-elaboraci´on-sitio-web, feche-´ultima-
modificaci´on-sitio-web, direccin-electrnica-sitio-web.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 23–33
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487440
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Matriz de adyacencia de Ramsey del grafo
KR(G,H)con componentes h-buenas y las
relaciones geom´etricas entre lados y v´ertices de
los grafos G,HyKR(G,H)
Ramsey adjacency matrix of the graph KR(G,H)with h-good components and the
geometric relationship that exists between sides and vertices of the graphs G,H
and KR(G,H).
Jos´e Figueroa (jose3765@gmail.com)
Departamento de Qu´ımica
Universidad Clodosbaldo Russi´an
Cuman´a, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Felicia Villarroel (feliciavillarroel@gmail.com)
Departamento de Matem´atica
Universidad de Oriente
Cuman´a, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Henry Ram´ırez (hlramirez6@hotmail.com)
Departamento de Higiene y Seguridad Laboral
Universidad Clodosbaldo Russi´an
Cuman´a, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Tob´ıas Rosas (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matem´atica, Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia
Maracaibo, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Resumen
Sean GyHdos grafos simples, finitos, y no vac´ıos. El n´umero de Ramsey R(G, H), se
define como el menor entero positivo n, tal que hay un grafo Fde orden nque contiene un
subgrafo G0copia monocrom´atica isomorfa a G, o el complemento de F(denotado por F)
contiene un subgrafo H0copia monocrom´atica isomorfa a H. Se dice que el grafo completo Kn
contiene componentes h-buena, si para toda secuencia si, con i= 1,· · · , m + 1, donde mes la
talla de cada secuencia que colorean los lados del grafo completo Kn=FF, tal que se pueda
extraer de F, al menos una copia monocrom´atica G
0isomorfa a G, o Fcontenga al menos
una copia monocrom´atica H
0isomorfa a H. En este manuscrito se presentan dos resultados
principales, a saber: 1) Se determinan los lados incidentes de cada ertices v1,...,vndel grafo
Recibido 10/09/2021. Revisado 20/10/2021. Aceptado 15/06/2022.
MSC (2010): Primary 05C55; Secondary 05C15.
Autor de correspondencia: Jos´e Figueroa
Matriz de adyacencia Ramsey 35
Gde orden n, a traes de su matriz de adyacencia A(G), obteniendo la ormula T raz(M) =
Pn
i=1 d(vi) = 2|E(G)|, donde M= (A(G))2es una matriz de orden n×n,T raz(M) es la
traza de la matriz M, y d(vi) es el grado del ertice vipara i= 1,...,n. 2) Se determina la
matriz de adyacencia Ramsey del menor grafo completo KR(G,H)con componentes h-buena.
Se determina a traes de los elementos mij de M, las relaciones existentes entre los lados
y los v´ertices de los grafos GyH, con respecto a KR(G,H)y se obtuvieron las siguientes
propiedades:
1) X
i>j
mij =X
i<j
mij =mij |E(KR(G,H))|=k|E(KR(G,H))|, con k=mij M.
2) Existen r, s Z+, dependientes de E(G), E(H) y E(KR(G,H)), tal que E(KR(G,H))
r=
E(G)
s.
3) Existen p, q Z+, dependientes de V(G), V(H) y V(KR(G,H)), tal que, V(KR(G,H))
p=
V(H)
q.
4) T raz(M) =
n
X
i=1
d(vi) = 2|E(Kn)|.
Palabras y frases clave: Teor´ıa Combinatoria, N´umeros de Ramsey, Grafos con com-
ponentes h-buena, Matriz de adyacencia, Producto de Matrices, Matriz diagonal, Matrices
triangulares.
Abstract
Let be Gand Htwo simple graphs, finite and non-empty. The Ramsey R(G, H) number,
is defined as the smallest positive integer n, such that there is a graph F, that contains
a monochrome copy G
0isomorphic to Gor the complement of F(denote by F), contains
a monochrome copy H
0isomorphic to H. It is said that the complete graph Kncontains
components h-good, if for every sequence siof size m, with i= 1,· · · , m + 1, that colors
the sides of the complete graph Kn=FF, such that can be extracted from F, at least
one G
0monochrome copy isomorphic to G´or Fcontains at least one H
0monochrome copy
isomorphic to H. Two main results are presented in this manuscript, these are: 1) The
incident sides of each vertex v1,...,vnof the graph Gare determined, through an adjacency
matrix A(G), getting the formula T raz(M) = Pn
i=1 d(vi) = 2|E(G)|, where M= (A(G))2
is a square matrix of order n×n,T raz(M) is the trace of the matrix M, and d(vi) is the
degree of the vifor i= 1,...,n. 2) The Ramsey adjacency matrix of the least complete graph
KR(G,H)with components h-good is determined. It is determined through the elements mij
of M, the relationships between the sides and the vertices of the graphs Gand H, with
respect to KR(G,H)and the following properties were obtained:
1) X
i>j
mij =X
i<j
mij =mij |E(Kn)|=k|E(Kn)|, with k=mij M.
2) There exist r, s Z+, dependent on E(G), E(H) and E(KR(G,H)), such that E(Kn)
r=
E(G)
s.
3) There exist p, q Z+, dependent on V(G), V(H) and V(KR(G,H)), such that V(KR(G,H))
p=
V(H)
q.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
36 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
4) T raz(M) =
n
X
i=1
d(vi) = 2|E(KR(G,H))|.
Key words and phrases: Combinatorial Theory, Ramsey Numbers, Graph with com-
ponents h-good, Adjacency Matrix, Product of Matrices, Diagonal Matrix, Triangular Ma-
trices.
1 Introducci´on
En este trabajo se consideran todos los grafos simples, finitos, sin lazos y no vac´ıos. En [1] Diestel,
expresa que un grafo G, es un par de conjuntos (V(G), E(G)), denotado por G:= (V(G), E(G)),
donde V(G) es un conjunto no vac´ıo de elementos llamados ertices onodos yE(G) es un conjunto
de pares no ordenados de elementos de V, llamados lados oaristas. Si Ges un grafo que no posee
lazos ni lados m´ultiples, entonces Gse dice grafo simple. Los vecinos de un v´ertice uV(G),
denotado por NG(u), es el conjunto de todos los ertices vV(G) tal que (u, v)E(G). El orden
de G, denotado por |G|, es el umero de v´ertices de G. Dado un grafo simple F, su complemento
ser´a denotado por F, y adem´as se tiene que el grafo completo Kn=FF. En [2] Figueroa,
se dice que el grafo completo Kncontiene componentes h-buena, si para toda secuencia si, con
i= 1,· · · , m + 1, donde mes el tama˜no de cada secuencia que colorea los lados del grafo completo
Kn=FF, tales que pueda extraer de F, al menos una copia monocrom´atica G0isomorfa a Go
extraer de Fal menos una copia monocrom´atica H0isomorfa a H. En [3] Grassmann y Tremblay,
definen la matriz de adyacencia A(G) de un grafo Gcon nv´ertices, v1, . . . , vn, como una matriz
cuadrada sim´etrica de orden n×ncuyos elementos ai,j se definen de la siguiente manera:
ai,j (G) = 1 si (vi, vj)E(G)
0 si (vi, vj)/E(G),
Una matriz cuadrada M= [mij ]n
i,j=1, de orden n, se dice sim´etrica si mij =mji, para todo
i, j {1, . . . , n}, es decir, M=Mt(la transpuesta de la matriz). Adem´as, Mse denomina
diagonal si mij = 0 si i6=j,i, j {1,2,· · · , n}. Se denotar´a por T raz(M) a la traza de la
matriz M.
otese que de una matriz cuadrada M= [mij ]n
i,j=1, de orden n, se puede obtener una matriz
diagonal Diag(M) definida por Diag(M)=[mij ×δij ]n
i,j=1, con
δij =0 si i6=j
1 si i=j
Diag(M)=[mi,j ×δij ]n
i,j=1 =
m11 0 0 · · · 0
0m22 0· · · 0
0 0 m33
.
.
. 0
000...0
000.
.
.mnn
,
de manera que T raz(M) = T raz(Diag(M)) =
n
X
i=1
mii.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
Matriz de adyacencia Ramsey 37
2 Grados de los v´ertices de un grafo G, a trav´es de su
matriz de adyacencia.
Se dar´an a continuaci´on algunos ejemplos ilustrativos donde se refleja parte de los resultados de
esta secci´on.
Ejemplo 2.1. Sea Gel grafo diamante como se observa en la Figura 1.
Figura 1: K4l, grafo diamante
Sea la matriz de adyacencia A(G)del grafo diamante G, donde A(G)es una matrices sim´etri-
ca, ya que cada lado del grafo Gse cuenta dos veces en G.
A(G) =
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
Luego, definiendo la matriz M= (A(G))2por
M=
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
×
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
=
3 1 2 1
1 2 1 2
2 1 3 1
1 2 1 2
.
otese que Mes una matriz sim´etrica, ya que el producto de matrices sim´etricas es un matriz
sim´etrica.
Luego, calculando la matriz diagonal Diag(M), se tiene que
Diag(M)=[mij ×δi,j ]4
i,j=1 =
3000
0200
0030
0002
.
T raz(M) =
4
X
i=1
mii =
4
X
i=1
d(vi) = 3 + 2 + 3 + 2 = 10 = 2 ×5 = 2|E(G)|.
Ejemplo 2.2. Sea Gel grafo pez como se observa en la Figura 2.
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38 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
Figura 2: Grafo pez
Sea la matriz de adyacencia A(G)del grafo pez G.
A(G) =
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0
Luego, definiendo la matriz M= (A(G))2por
M=
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0
×
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0
=
2 1 1 0 1 1
1 4 0 2 0 1
1 0 2 0 2 1
0 2 0 2 0 0
1 0 2 0 2 1
1 1 1 0 1 2
.
Observe que M, es una matriz sim´etrica en el sentido usual. Entonces,
Diag(M) = [mij ×δi,j ]6
i,j=1 =
200000
040000
002000
000200
000020
000002
T raz(M) =
6
X
i=1
mii =
6
X
i=1
d(vi) = 2 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 = 2 ×7=2|E(G)|.
Ejemplo 2.3. Sea Gel grafo ´arbol como se observa en la Figura 3.
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Matriz de adyacencia Ramsey 39
Figura 3: Grafo ´arbol.
Sea la matriz de adyacencia A(G)del grafo ´arbol.
A(G) =
0001000000000
0001000000000
0001000000000
1110000000001
0000001000000
0000001000000
0000110000001
0000000000010
0000000000010
0000000000010
0000000000010
0000000111101
0001001000010
.
Sea M= (A(G))2. As´ı, la matriz Mes una matriz sim´etrica y su diagonal est´a dada por.
Diag(M)=[mij ×δi,j ]13
i,j=1 =
1000000000000
0100000000000
0010000000000
0004000000000
0000100000000
0000010000000
0000003000000
0000000100000
0000000010000
0000000001000
0000000000100
0000000000050
0000000000003
.
T raz(M) = T raz [mij ×δi,j ]13
i,j=1=
13
X
i=1
mii =
13
X
i=1
d(vi) = 24 = 2 ×12 = 2|E(G)|.
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40 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
Teorema 2.1. Sea A(G)la matriz de adyacencia de un grafo simple Gcualesquiera, finito y sin
lazos. Sea M= (A(G))2, con Diag(M)=[mij ×δi,j ]n
i,j=1, entonces
T raz(M) = T raz [mij ×δi,j ]n
i,j=1=
n
X
i=1
d(vi)=2|E(G)|.
Demostraci´on. Sea A(G) la matriz de adyacencia de un grafo simple cualquiera G, sin lazos. Como
A(G) es una matriz sim´etrica, entonces aij =aji para todo i, j {1, . . . , n}. Luego, considere
M= (A(G))2la cual es tambi´en una matriz sim´etrica, porque el producto de matrices sim´etricas
es sim´etrica. otese que, por definici´on de M, el elemento mii est´a dado por la expresi´on
a2
i1+a2
i2+· · · +a2
in (2.1)
para todo i= 1, . . . , n. Como los elementos o entradas de la matriz A(G) son 0 y 1 se tiene que
la expresi´on en (2.1) se transforma en
ai1+ai2+· · · +ain (2.2)
Por otro lado, obs´ervese que la suma de las entradas de la fila i-´esima de la matriz A(G) da como
resultado el n´umero de v´ertices de V(G) relacionados con el ertice vi, es decir,
d(vi) = ai1+ai2+· · · +ain (2.3)
Ahora, sea δij el delta de Kronecker y considerando la matriz M= [mij ]n
i,j=1, se puede obtener
la matriz diagonal Diag(M)=[mij ×δi,j ]n
i,j=1. As´ı, por las ecuaciones (2.2) y (2.3), se tiene que
T raz(M)=(a11 +· · · +a1n) + · · · + (an1+· · · +ann)
=d(v1) + · · · +d(vn)
= 2|E(G)|
Por lo tanto,
T raz(M) =
n
X
i=1
d(vi) = 2|E(G)|.
3 Matriz de adyacencia Ramsey A(KR(G,H)), y la relaci´on
existente entre los lados y v´ertices de los grafos G,Hy
KR(G,H).
Definici´on 3.1. Sean GyHdos grafos simples cualesquiera, finitos y sin lazos. Se llama matriz
de adyacencia Ramsey, denotada por A(KR(G,H)), a la matriz de adyacencia del menor grafo
completo KR(G,H)=FF, tal que Fcontiene una copia monocrom´atica G0isomorfa a GoF
contiene una copia monocrom´atica H0isomorfa a H.
Definici´on 3.2. Dada la matriz A(KR(G,H)) como en la Definici´on 3.1, def´ınase la matriz M=
A(KR(G,H))2, la cual es una matriz sim´etrica y satisface las siguientes condiciones:
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Matriz de adyacencia Ramsey 41
1) X
i>j
mij =X
i<j
mij =mij |E(KR(G,H))|=k|E(KR(G,H))|, con k=mij M.
2) T raz(M) = Pn
i=1 d(vi) = 2|E(KR(G,H))|.
Definici´on 3.3. Una matriz Mcomo en la Definici´on 3.2, se dice que es lado de Ramsey si G
es bueno con respecto a H, y existen enteros t,o,p,q,r,sZ+, tales que se satisfacen las
siguientes relaciones geom´etricas entre los lados de los grafos G,H, y KR(G,H):
i) |E(KR(G,H))|
p=|E(G)|
qii) |E(KR(G,H))|
s=|E(H)|
riii) |E(G)|
o=|E(H)|
t.
Definici´on 3.4. Sean GyHdos grafos simples cualesquiera, finitos y sin lazos. Sea l=
ax{|G|,|H|}. Una matriz Mcomo en la Definici´on 3.2 se dice que es ertice de Ramsey, si
existen enteros a,b,c,d,e,fZ+tales que se satisfacen las siguientes relaciones geom´etricas
entre los ertices de los grafos G,HyKl:
i) |V(KR(G,H))|
b=|V(G)|
aii) |V(KR(G,H))|
d=|V(H)|
ciii) |V(G)|
e=|V(H)|
f.
Ejemplo 3.1. Sea G=K1,n el grafo estrella, para n4y sea H=K4lel grafo diamante,
si l= ax{|G|,|H|} = ax{5,4}= 5. Luego R(G, H)=5, para n= 4.R(G, H)no puede ser 4,
pues |E(F)|<|E(G)|y|E(F)|<|E(H)|, (ver [2]).
La matriz de adyacencia de R(G, H)est´a dada por:
A(KR(G,H))=[aij ]5
i,j=1 =
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Como M=A(KR(G,H))2, entonces
M=
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
×
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
=
4 3 3 3 3
3 4 3 3 3
3 3 4 3 3
3 3 3 4 3
3 3 3 3 4
.
otese que M, es una matriz sim´etrica. Adem´as, como KR(G,H)es un grafo completo se tiene
que aij 6= 0 para i>j yaij 6= 0 para i<j. As´ı, mij 6= 0 para i<j ei<j. Por tanto,
X
i>j
mij =X
i<j
mij =3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
= 3(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=3×10 = 3 × |E(K5)|.
Luego,
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 3 × |E(K5)|.
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42 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
Como 3× |E(K5)|= 3 ×10 = 15 ×2, entonces existe q= 2 Z+, tales que
3× |E(K5)|=2
2×(15 ×2) = 15 × |E(G)|
2.
As´ı, 3× |E(K5)|=15 × |E(G)|
2y por tanto |E(K5)|=5× |E(G)|
2.
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 3 × |E(K5)|= 6 ×5=6× |E(H)|.
Luego, 3× |E(K5)|= 6 × |E(H)|de donde |E(K5)|= 2 × |E(H)|. La relaci´on geom´etrica entre
los lados de KR(G,H)y los lados de los grafos GyH.
Obs´ervese ahora que
|E(K5)|=5× |E(G)|
2y|E(K5)|= 2 × |E(H)|,
igualando ambos resultados se obtiene:
|E(G)|
4=|E(H)|
5.
La relaci´on geom´etrica entre los ertices de KR(G,H)y entre los v´ertices de G,HyKl, a
trav´es de las matrices triangular superior e inferior esta dada a continuaci´on
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 30 = 6 ×5=6|V(K5)|= 6|V(G)|
de manera que |V(K5)|=|V(G)|y as´ı existe d= 2 Z+tal que
6× |V(K5)|= (15 ×2) ×2
2=15
2|V(H)|.
Luego, como |V(K5)|=|V(G)|y|V(K5)|= 5 ×|V(H)|
4e igualando las expresiones resulta:
|V(G)|
5=|V(H)|)
4.
Ahora, la matriz Diag(M)est´a dada por
Diag(M)=[mij ×δi,j ]5
i,j=1 =
40000
04000
00400
00040
00004
.
As´ı,
T raz(M) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 = 2 ×10 = 2|E(K5)|
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Matriz de adyacencia Ramsey 43
Ejemplo 3.2. Sea Gel grafo ´arbol del Ejemplo 2.3, Figura 3 y H=Wnel grafo rueda, para
n13, si l= ax{|G|,|H|} = ax{13,14}= 14, luego R(G, H) = n+ 1, para n= 13.R(G, H)
no puede ser 13, pues |E(F)|<|E(G)|y|E(F)|<|E(H)|, (ver [2]).
As´ı, KR(G,H)con R(G, H) = 14, es el menor grafo completo que, coloreado con cada secuencia
side talla m= 91, para i= 1,2,· · · ,92, satisface que Fcontiene una copia monocrom´atica G0
isomorfa a GoFcontiene una copia monocrom´atica H0isomorfa a H.
Sea la matriz de adyacencia del grafo KR(G,H), dada por
A(KR(G,H))=[aij ]14
i,j=1 =
01111111111111
10111111111111
11011111111111
11101111111111
11110111111111
11111011111111
11111101111111
11111110111111
11111111011111
11111111101111
11111111110111
11111111111011
11111111111101
11111111111110
.
Sea M=A(KR(G,H))2, es decir,
M=
13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 13 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 13 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 13 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 13 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13
.
otese que M, es una matriz sim´etrica. Adem´as, como KR(G,H)es un grafo completo se tiene
aij 6= 0 para i>j yaij 6= 0 para i<j. As´ı, mij 6= 0 para i<j ei<j. Por tanto,
X
i>j
mij =X
i<j
mij =mij |E(KR(G,H))|= 12|E(KR(G,H))|.
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 12 ×91 = 91 × |E(G)|.
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44 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 42 × |E(H)|.
La relaci´on geom´etrica entre los lados de KR(G,H), y los lados de los grafos GyH.
12 × |E(K14)|= 91 × |E(G)|=|E(K14)|
91 =|E(G)|
12 = 1.
12 × |E(K14)|= 42 × |E(H)|=|E(K14)|
7=|E(H)|
2= 13.
91 × |E(G)|= 42 × |E(H)|=|E(G)|
6=|E(H)|
13 = 2.
La relaci´on geom´etrica entre los ertices de KR(G,H), y entre los ertices de GyHa trav´es
de las matrices triangular superior e inferior se muestra a continuaci´on
X
i>j
mij =X
i<j
mij = 78|V(K14)|= 84|V(G)|yX
i>j
mij = 78|V(H)|.
Luego,
78|V(K14)|= 84|V(G)|=|V(K14)|
14 =|V(G)|
13 = 1
78|V(K14)|= 78|V(H)|= |V(K14)|=|V(H)|= 14,
y
84|V(G)|= 78|V(H)|=|V(G)|
13 =|V(H)|
14 = 1.
Ahora, la matriz Diag(M)est´a dada por: Diag(M) = [mij ×δi,j ]14
i,j=1
Diag(M) =
130000000000000
013000000000000
001300000000000
000130000000000
000013000000000
000001300000000
000000130000000
000000013000000
000000001300000
000000000130000
000000000013000
000000000001300
000000000000130
000000000000013
.
As´ı,
T raz(M) = T raz([mij ×δi,j ]14
i,j=1) =
14
X
i=1
d(vi)=2|E(R(G, H))|.
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Matriz de adyacencia Ramsey 45
Teorema 3.1. Sean GyHdos grafos simples cualesquiera, finitos y no vac´ıos. Si Ges bueno
con respecto a HyA(Kl) = A(KR(G,H))es la matriz de adyacencia del menor grafo completo
que contiene una copia monocrom´atica isomorfa Go una copia monocrom´atica isomorfa a H,
con M= [mij ]l
i,j=1 = (A(Kl))2, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1) Pi>j mij =Pi<j mij =mij |E(Kl)|=k|E(Kl)|, con k=mij Z+.
2) Existen r, s Z+, dependientes de E(G),E(H)yE(Kl), tales que |E(Kl)|
r=|E(G)|
s.
3) Existen p, q Z+, dependientes de V(G),V(H)yV(Kl), tales que |V(Kl)|
p=|V(H)|
q.
4) T raz(M) =
l
X
i=1
d(vi)=2|E(Kl)|.
Demostraci´on. 1) Sean GyHdos grafos simples cualesquiera, finitos y no vac´ıos. Si Ges
bueno con respecto a H, entonces existe un conjunto de secuencias side talla m, con
i= 1,2,· · · , m + 1, donde cada si, colorea los lados del grafo completo Kl=FF, tal
que del grafo Fpuede extraerse al menos una copia monocrom´atica G0isomorfa G, o de F
puede extraerse al menos una copia monocrom´atica H0isomorfa H. Consid´erese la matriz de
adyacencia A(Kl) = [aij ], del menor grafo completo Kl, que contiene componentes h-buena,
la cual es sim´etrica de orden l×ly su elementos est´an dados por
aij =1 si i6=j
0 si i=j(3.1)
Def´ınase la matriz M= (A(Kl))2, tambi´en sim´etrica de orden l×l. omese una partici´on de
la matriz M, en tres matrices: una matriz triangular superior (mij ) con j > i, una triangular
inferior (mij ) con i>jy la matriz Diag(M). otese, que el n´umero de elementos distintos
de cero de Mes l2y el de la matriz Diag(M) es l(justo los elementos de la diagonal de
M). Luego, sea wel n´umero de elementos distintos de cero de la matriz triangular superior,
entonces como Mes sim´etrica se tiene que la matriz triangular inferior tiene welementos
distintos de cero, y por tanto l2=l+ 2wde donde se obtiene que w=l(l1)
2. Como Kl
es completo y Msim´etrica, todos los elementos mij , para i6=json iguales, por la ecuaci´on
(3.1), y adem´as Pi>j mij =Pi<j mij . Sin p´erdida de generalidad,
X
j>i
mij = (m12 +· · · +m1l)+(m23 +· · · +m2l) + · · · + (m(l2)l+m(l2)l) + m(l1)l
=m12 ×(1 + 1 + · · · + 1 + 1) = m12 ×w=m12 ×l(l1)
2=k|E(Kl)|.
2) Usando el resultado del ´ıtem 1) se tiene que
X
j>i
mij =X
i>j
mij =k|E(Kl)|(3.2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
46 Jos´e Figueroa - Felicia Villarroel - Henry Ram´ırez - Tob´ıas Rosas
Como |E(G)|<|E(Kl)|y|E(H)|<|E(Kl)|, existen c
b,e
d,r
sQ+, tal que
X
j>i
mij =c
b|E(G)|(3.3)
X
j>i
mij =e
d|E(H)|(3.4)
Para la ecuaci´on (3.3) basta tomar c=k|E(Kl)|yd=|E(H)|. De forma similar para la
ecuaci´on (3.4).
Luego, igualando las ecuaciones (3.2) y (3.3) se tiene
|E(Kl)|
c=|E(G)|
kb ,
con w=kb,c6=w, ya que |E(Kl)|=|E(F)|+|E(F)|y|E(G)| |E(F)|o|E(H)|≤|E(F)|.
Igualando las ecuaciones (3.2) y (3.4) se tiene
|E(Kl)|
e=|E(H)|
kd ,
con u=kd,e6=u, puesto que |E(Kl)|=|E(F)|+|E(F)|y|E(G)|≤|E(F)|o|E(H)|
|E(F)|.
Igualando las ecuaciones (3.3) y (3.4) se tiene que
|E(H)|
cd =|E(G)|
eb .
Haciendo r=be ys=cd, entonces |E(H)|
r=|E(G)|
s.
3) Sean f, j, l, p, q, x, y, z Z+, existen x
y,z
f,j
l,p
qQ+, tal que
X
j>i
mij =x
y|V(Kl)|,(3.5)
X
j>i
mij =z
f|V(G)|(3.6)
X
j>i
mij =j
l|V(H)|(3.7)
Luego, de igualando las ecuaciones (3.5) y (3.6) se tiene que
|V(Kl)|
yz =|V(G)|
xf ,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
Matriz de adyacencia Ramsey 47
Tomando, q=xf yp=yz, entonces |V(Kl)|
p=|V(G)|
q.
De forma similar a la anterior se igualan las ecuaciones (3.5) - (3.7), y (3.6) - (3.7), obte-
niendo respectivemente que
|V(Kl)|
yj =|V(H)|
xl y|V(G)|
fj =|V(H)|
zl
4) Si v1, . . . , vlson los v´ertices del grafo Kl, entonces aplicando el Teorema 2.1, se obtiene que
T raz(M) =
n
X
i=1
d(vi)=2|E(Kl)|.
Referencias
[1] Diestel, R. (2000) Graph Theory. Second Edition, Spriner.
[2] Figueroa, J.; Villarroel, F.; Ram´ırez, H. y Otero, J.; Los umeros de Ramsey con componente
hbuena y secuencias sim´etricas, Divulgaciones Matem´aticas, 20(1) (2019), 78–90.
[3] Grassmann, Winfried K. y Tremblay, Jean-Paul. (2000) Matem´atica Discreta y ogica, una
perspectiva desde la ciencia de la computaci´on. 3ra reimpresi´on, Editorial Prentice Hall,
Espa˜na. IBSN 84-89660-04-2.
[4] Mann, H. B.; Two Addition Theorems, Journal of Combinatorial Theory, 8(1967). 233–235.
[5] Villaroel, F.; Figueroa, J.; arquez, H. and Anselmi, A.; Un m´etodo algor´ıtmico para el
calculo del umero Baric´entrico de Ramsey para el grafo estrella. Bol.soc. Paran. Mat. (3s)
36(2) (2018), 169–183.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 34–47
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487484
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Notas sobre el desempe˜no de los estimadores
fronteras de densidad con n´ucleo localmente
adaptable y con conjunto difuso
Notes on the performance of the boundary locally adaptive kernel and boundary
fuzzy set density estimators
Jes´us A. Fajardo
(jfajardogonzalez@gmail.com;jfajardo@udo.edu.ve)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3762-4824
Departamento de Matem´atica N´ucleo Sucre Universidad de Oriente
Cuman´a 6101, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela
Resumen
Estas notas proporcionan un nuevo resultado relacionado con el problema de estimaci´on
no param´etrica de la funci´on de densidad, no basado en ucleos, el cual permite extender
el alcance del m´etodo de estimaci´on de la densidad con conjunto difuso. Para ello y bajo la
presencia del problema frontera en los estimadores de la densidad con n´ucleo y con conjunto
difuso, se considerar´an los estimadores fronteras de la densidad con n´ucleo localmente adap-
table y con conjunto difuso, con el prop´osito de comparar sus desempnos. Cada rendimiento
se obtiene tomando en cuenta cuatro formas de densidades espec´ıficas y dos conjuntos de
datos reales. Los resultados de las extensas simulaciones muestran que el estimador frontera
con conjunto difuso tiene mejor rendimiento en los puntos cercanos a 0, en una dispersi´on
de la vecindad del par´ametro b
n, cuando se compar´o con el rendimiento del estimador fron-
tera localmente adaptable, para las cuatro formas de densidades consideradas. Aqu´ı, b
nes el
ancho de banda del estimador con conjunto difuso.
Palabras y frases clave: Estimador de densidad con conjunto difuso, estimaci´on fron-
tera, estimador de la densidad con ucleo adaptable.
Abstract
These notes provide a new result related to the nonparametric density function estima-
tion problem, not based on kernels, which allows to extend the range of the fuzzy set density
estimation method. For this, and under the presence of the boundary problem in the den-
sity estimators with kernel and with fuzzy set, the boundary density estimators with locally
adaptable kernel and with fuzzy set will be considered, with the purpose of comparing their
performances. Each performance is obtained by taking into account four forms of specific
densities and two sets of real data. The results of the extensive simulations show that the
boundary fuzzy set estimator performs best at points close to 0, at a spread from the neigh-
borhood of the parameter b
n, when compared with the performance of the boundary locally
Recibido 20-09-2021. Revisado 28-11-2021. Aceptado 30/08/2022.
MSC (2010): Primary 62G07; Secondary 62G05.
Autor de correspondencia: Jes´us Fajardo.
Esta investigaci´on ha sido apoyada por una subvenci´on de la Academia de Ciencias de Am´erica Latina-ACAL.
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 49
adaptive estimator, for the four density forms considered. Here, b
nis the bandwidth of the
fuzzy set estimator.
Key words and phrases: Fuzzy set density estimator, boundary estimation, adaptive
kernel density estimator.
1 Introducci´on
Las notas del presente art´ıculo est´an enmarcadas dentro del contexto general de la teor´ıa de
estimaci´on no param´etrica de la funci´on de densidad f, con muestras independientes. No obstante,
estas se desarrollan considerando un aspecto particular de la teor´ıa se˜nalada previamente: la
estimaci´on frontera de fcon estimadores no basados en n´ucleos.
En cada soporte o dominio [0,) ´o [0,1] de una densidad f, los puntos fronteras e interiores se
definen a traes de un par´ametro de suavizado o ancho de banda p
n,p
n0 cuando n , donde
ambos tienen forma general x=s p
n,s[0,1), y z=k p
n,k1, respectivamente. Observe que,
cada punto frontera e interior satisface x[0, p
n) y zp
n. Los intervalos [0, p
n) y [p
n,) se llaman
regi´on frontera e interior, respectivamente. Cabe destacar que los erminos nyp
nforman parte
de la expresi´on que define al estimador de f, donde nes el tama˜no de la muestra independiente
que se considera para estimar f. La clasificaci´on anterior, para los puntos del soporte de f, se
debe a la presencia del fen´omeno o problema “efectos fronteras” en el estimador de f. En estas
notas, el fen´omeno anterior ser´a rese˜nado como problema frontera y no se tratar´a te´oricamente.
No obstante, se subraya que el problema frontera afecta el desempe˜no general del estimador de
f, ya que este es diferente en los puntos fronteras e interiores. Toricamente ocurre lo siguiente,
en los puntos fronteras el sesgo del estimador de ftiene una tasa o velocidad de convergencia
as lenta que en los puntos interiores. T´ecnicamente se tiene que, en los puntos fronteras el sesgo
del estimador de ftiene una tasa de convergencia de orden O(pn) en lugar de Op2
n, donde
el orden ´optimo para la tasa de convergencia del sesgo del estimador de fes Op2
n(ver Stone
[17]).
La teor´ıa de estimaci´on no param´etrica de f, con muestras independientes, est´a formada por
dos clases o grupos de estimadores: los tipo n´ucleo y los no basados en n´ucleos. No obstante,
entre los estimadores de ambos grupos olo se considerar´an los estimadores cl´asico con n´ucleo
y con conjunto difuso, los cuales se definen a trav´es de una funci´on de n´ucleo K, y una funci´on
atenuante ϕ(ver Reiss [14], Secci´on 2.4) de la siguiente manera
ˆ
f
K(t) = 1
nh
n
n
X
i=1
KXit
h
n(1.1)
y
ˆ
ϑ
n(t) = 1
nb
nRϕ(u)du
n
X
i=1
1Ih0Xit
b
ni(Vi),(1.2)
donde X1, . . . , Xnes una muestra aleatoria independiente de la variable aleatoria Xcon densi-
dad f,V1, . . . , Vnson variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en [0,1] e
independientes de X1, . . . , Xn,h
nyb
nson los par´ametros de suavizado de cada estimador con
h
n0 y b
n0 cuando n , y las funciones K:R[0,) y ϕ:R[0,1] satisfacen las
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
50 Jes´us A. Fajardo
siguientes condiciones:
K(u) = K(u),ZK(u)du = 1,Zu K(u)du = 0 y 0 6=Zu2K(u)du < ,(1.3)
y
0<Zϕ(u)du < ,yZϕ(u)du 6= 1 en general.
En cuanto a los or´ıgenes de ambos estimadores, es oportuno puntualizar que el estimador (1.1)
fue introducido hace as de medio siglo y de forma independiente por Rosenblatt [15] y Parzen
[13]. En cambio, el estimador (1.2) fue presentado en una fecha as reciente, menos de una
d´ecada, por Fajardo, R´ıos y Rodr´ıguez [6]. Por otro lado, la existencia de una amplia referencia
bibliogr´afica donde se discuten en profundidad las caracter´ısticas te´oricas de (1.1), justifica el
hecho de presentar, en lo que sigue, olo algunas caracter´ısticas te´oricas puntuales de (1.2) con
funci´on atenuante (c.f.a.) ϕ:
Es una versi´on o caso particular del estimador introducido por Falk y Liese [7].
No est´a basado en ucleos, ya que la funci´on 1I[0(x)] (v) no es una funci´on de ucleo.
El t´ermino “conjunto difuso” fue justificado por Fajardo [4] en la Observaci´on 2, siendo
esta una consecuencia directa de la Observaci´on 1 en Fajardo, R´ıos y Rodr´ıguez [6].
No obstante, entre las caracter´ısticas comunes que comparten los estimadores (1.1) y (1.2) resal-
tan:
En la pr´actica ambos estimadores dependen de par´ametros de suavizados particulares y de
funciones espec´ıficas, lo que fue caracterizado por Fajardo como un paralelismo entre (1.1)
y (1.2). Es oportuno destacar que las siguientes funciones minimizan el error cuadr´atico
medio integrado ´optimo (ECMI) de (1.1) y (1.2), respectivamente:
K
E(x) = 3
4(1 x2)1I[1,1](x), ϕ(x) = "116x
25 2#1I[25
16 ,25
16 ](x).
(N´ucleo de Epanechnikov) (Funci´on Atenuante)
Para as detalles, ver Epanechnikov [3] y Fajardo [4].
En Fajardo [4] se demostr´o que (1.2) presenta el mismo comportamiento asinotico de
(1.1), donde n1/5yn4/5son los valores correspondientes para el orden de las tasas de
convergencia ´optimas de ambos par´ametros de suavizados y ambos ECM I’s.
El rol de la funci´on atenuante o funci´on de pertenencia ϕ(ver [6], Observaci´on 1) fue
determinante en los resultados obtenidos por Fajardo, ya que su adecuada definici´on per-
miti´o establecer el siguiente e importante resultado
ECMIhˆ
ϑ
niECMIhˆ
f
Ki,
el cual garantiza que el estimador ˆ
ϑ
nproporciona mejores estimaciones que el estimador ˆ
f
K,
para todo ucleo K. Destac´andose como una funci´on que le permite al estimador (1.2) se-
leccionar puntos de la muestra con diferentes probabilidades a diferencia de los estimadores
cl´asicos con ucleos, los cuales asignan pesos iguales a todos los puntos de la muestra.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 51
Otra caracter´ıstica no deseada, enmarcada en el contexto de estas notas, es la existencia del pro-
blema frontera en (1.1) y (1.2). Los antecedentes bibliogr´aficos se˜nalan que Hominal y Deheuvels
[9] describieron el problema frontera en (1.1) para densidades con soporte compacto. Mientras
que, en un reciente trabajo, Fajardo y Harmath [5] demostraron la presencia del problema fron-
tera en (1.2) para densidades con soporte [0,). Es oportuno se˜nalar que olo para el caso del
estimador (1.1), el problema frontera han sido estudiado por muchos autores y en la literatura
existe una extensa variedad de m´etodos desarrollados para eliminarlo. Un excelente resumen de
algunos m´etodos muy conocidos son rese˜nados por Karunamuni y Alberts [12].
Estas notas comparan el desempno del estimador frontera de fcon conjunto difuso, que fue
introducido recientemente por Fajardo y Harmath, con el desempe˜no del estimador propuesto
por Karunamuni y Alberts, estimador frontera de fcon ucleo localmente adaptable, en puntos
cercanos a 0 en una dispersi´on de la vecindad de b
n. Para ello, se consideraron cuatro formas
de densidades especificas, y en los puntos anteriores se realizaron extensas simulaciones para
comparar el error cuadr´atico medio (ECM ) local de los estimadores definidos por Karunamuni-
Alberts y Fajardo-Harmath, observ´andose que el ECM local del estimador propuesto por Fajardo
y Harmath es menor. La reducci´on anterior, muestra que el desempe˜no del estimador propuesto
por Fajardo y Harmath supera el desempe˜no del estimador definido por Karunamuni y Alberts.
Adem´as, es oportuno destacar que el resultado obtenido extiende las propiedades del estimador
de fcon conjunto difuso, proporcionando un nuevo resultado relacionado con los problemas
de estimaci´on no param´etrica de la densidad no basado en n´ucleo. Cabe resaltar que todas
las simulaciones se desarrollaron a trav´es de la plataforma de programaci´on y alculo num´erico
conocida como MAT LAB.
La anterior y particular elecci´on se fundameno, principalmente, en los resultados de las simu-
laciones obtenidas por Karunamuni y Alberts para las cuatro formas de densidades consideradas
en estas notas. Tales simulaciones mostraron que el estimador de Karunamuni y Alberts fun-
cion´o bastante bien para la mayor´ıa de las densidades consideradas, cuando fue comparado con
los estimadores propuestos por Cowling y Hall [2], Jones y Foster [10], Zhang y Karunamuni [18]
y su sencilla modificaci´on que permite obtener el estimador de ajuste lineal local, Zhang, Karuna-
muni y Jones [19], y Hall y Park [8]. Entre otras razones que sustentaron la particular elecci´on, se
destacan los resultados de las recientes simulaciones presentadas por Fajardo y Harmath [5] para
cuatro formas de densidades distintas en su mayor´ıa a las consideradas en est´as notas, pero con
compartimiento an´alogo en 0. Tales simulaciones mostraron que el desempe˜no de su estimador
frontera fue superior al desempe˜no del estimador frontera introducido por Karunamuni y Alberts
[11]. Cabe destacar que los resultados de las simulaciones realizadas por Karunamuni y Alberts
[11] con las cuatro formas de densidades consideradas por Fajardo y Harmath [5], mostraron que
el desempno de su estimador fue superior cuando se compar´o con los estimadores definidos por
Jones y Foster [10], Zhang y Karunamuni [18] y su sencilla modificaci´on que permite obtener el
estimador de ajuste lineal local, Zhang, Karunamuni y Jones [19], y Hall y Park [8]. Adem´as, otra
de las razones que justifican la elecci´on anterior son las propiedades te´oricas que comparten los
estimadores propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo y Harmath [5]: no negatividad,
“continuaci´on frontera natural”, y en cuanto al desempno ambos mejoran el sesgo mientras que
sus varianzas son peque˜nas. Finalmente, es necesario se˜nalar que una revisi´on de la literatura, so-
bre el tema propuesto, revel´o que no hay evidencia de publicaciones con respecto a comparaciones
del desempno de otros estimadores con el desempe˜no del estimador propuesto por Karunamuni
y Alberts [12].
Las notas est´an organizadas de la siguiente manera. La Secci´on 2 incluye los estimadores
propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo y Harmath [5]. Las Secciones 3 y 4 presentan
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
52 Jes´us A. Fajardo
los an´alisis de los datos simulados y los datos reales, respectivamente. Las conclusiones en la
Secci´on 5.
2 Estimadores Fronteras de la Densidad
En esta secci´on se presentan los estimadores propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo
y Harmath [5], considerando olo los detalles te´oricos que permitieron su construcci´on como
estimadores sin problema frontera. Adem´as, se resaltan algunas observaciones ´unicas, as´ı como las
caracter´ısticas particulares comunes entre tales estimadores. Es oportuno destacar la importancia
de realizar un estudio te´orico formal para detectar la presencia o no del problema frontera en el
estimador de cualquier funci´on, ya que no es obvio que el comportamiento de un estimador sea
el mismo en los puntos fronteras e interiores.
3 Referencias cruzadas, numeraci´on y entorno de teorema
Todos los teoremas, proposiciones, lemas, corolarios, definiciones, etc. deben tener sus propias
etiquetas para hacer referencias cruzadas internas; esto se hace usando las instrucciones \label
y\ref. La numeraci´on de todos estos elementos se refiere a cada apartado del art´ıculo, que ya ha
sido establecido en el entorno teorema. Cada uno numerado se debe hacer referencia a la ecuaci´on
usando la instrucci´on \eqref.
3.1 Estimador Frontera con N´ucleo Localmente Adaptable
Sea Xuna variable aleatoria con funci´on de densidad f, tal que ftiene soporte [0,). Para una
muestra aleatoria independiente X1, . . . , Xnde la variable aleatoria Xy para cada c[0,),
Karunamuni y Alberts inician la construcci´on de su estimador frontera considerando la siguiente
transformaci´on de la muestra original g(X1), . . . , g (Xn), donde g: [0,)[0,) es una funci´on
continua y mon´otona creciente. A partir de los datos transformados y para r=c h
n, con c0,
definen el siguiente estimador adaptable
ˆ
fn(r) = 1
n h
n
n
X
i=1
Krg(Xi)
h
n/Zc
1
K(u)du, (3.1)
donde h
nsatisface h
n0 cuando n , y las condiciones sobre Kse dan en (1.3). Adem´as,
calcularon las expresiones para el sesgo y la varianza del estimador (3.1), las cuales se describen
en el siguiente teorema. A lo largo de estas notas, se denotar´a por q(i)la i-´esima derivada de toda
funci´on arbitraria q.
Teorema 3.1 (Lema 2.1 en [12]).Sean fygfunciones cuyas segundas derivadas existen y son
continuas en [0,). Adem´as, suponga que g(0) = 0 yg(1)(0) = 1. Entonces las expresiones para
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 53
el sesgo y la varianza del estimador (3.1) en los puntos r=c h
ncon c[0,1], son las siguientes
Ehˆ
fn(r)f(r)i=h
n
Rc
1K(u)du(f(0) g(2)(0) Zc
1
(cu)K(u)du +f(1)(0) Zc
1
u K(u)du)
+h2
n
2Rc
1K(u)du(f(2)(0) c2Zc
1
K(u)du +Zc
1
(cu)2K(u)du hf(2)(0)
f(0) g(3)(0) 3g(2)(0) f(1)(0) f(0) g(2)(0)i)+oh2
n,(3.2)
y
V ar hˆ
fn(r)i=f(0)
n h
nRc
1K(u)du2Zc
1
K2(u)du +o1
n h
n
=f(r)
n h
nRc
1K(u)du2Zc
1
K2(u)du +o1
n h
n.(3.3)
Adem´as, en su trabajo se˜nalaron las siguientes propiedades:
El t´ermino principal de (3.3) no est´a afectado por la transformaci´on g.
Cuando c= 1, V ar hˆ
fn(r)i=V ar hˆ
f
K(r)i. Es decir, en el punto interior r=h
nla varianza
del estimador (3.1) se reduce a la varianza del estimador (1.1).
No obstante, es oportuno se˜nalar que el estimador (3.1) presenta el problema frontera. En efecto,
de la expresi´on (3.2) se desprende que la tasa de convergencia del sesgo del estimador (3.1) es de
orden O(h
n), en cada punto de la regi´on frontera [0, h
n) y en el punto interior h
n.
El siguiente paso que Karunamuni y Alberts tomaron para definir su estimador frontera, se
baso en construir una funci´on de transformaci´on gcon la siguiente propiedad
g(2)(0) = f(1)(0) Zc
1
u K(u)du/f(0) Zc
1
(cu)K(u)du, (3.4)
siempre que f(0) 6= 0. Observe que tomando adecuadamente una funci´on gcon la propiedad
anterior, desaparecer´a el problema frontera en (3.1). No obstante, el hecho que (3.4) dependa
de cpermiti´o que Karunamuni y Alberts se˜nalaran que tal funci´on gdepender´ıa del punto de
estimaci´on dentro de la regi´on frontera [0, h
n), y a esa propiedad la llamaron adaptabilidad local.
Adem´as, en su trabajo modificaron la notaci´on reemplazando gpor gc, 0 c1, para resaltar
tal dependencia local. A continuaci´on, se sintetizan las condiciones que Karunamuni y Alberts
imponen a la funci´on gcpara cada c, 0 c1:
(i)gc: [0,)[0,), gces continua y mon´otona creciente, y existe g(i)
cpara cada i= 1,2,3,
(ii)gc(0) = 0 y g(1)
c(0) = 1,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
54 Jes´us A. Fajardo
(iii) la segunda derivada de gces
g(2)
c(0) = f(1)(0) Zc
1
u K(u)du/f(0) Zc
1
(cu)K(u)du.
Bajo las condiciones sobre gc, (i), (ii) y (iii), Karunamuni y Alberts construyen e implementan
la siguiente funci´on de transformaci´on para definir su estimador frontera
gc(y) = y+d
2lcy2+d2l2
cy3,(3.5)
donde
lc=Zc
1
u K(u)du/Zc
1
(cu)K(u)du (3.6)
y
d=f(1)(0)/f(0).(3.7)
Para la aplicaci´on pr´actica de la transformaci´on (3.5), Karunamuni y Alberts implementan la
idea de Zhang, Karunamuni y Jones [19], y reemplazan (3.7) por la estimaci´on piloto de tipo
n´ucleo definida por
ˆ
d=log f
n(h1)log f
n(0)/h1,(3.8)
donde
f
n(h1) = 1
n h1
n
X
i=1
Kh1Xi
h1+1
n2
y
f
n(0) = ax (1
n h0
n
X
i=1
K(0) Xi
h0,1
n2),
con h1=o(hn), h
nyKson dadas en (3.1), y K(0) es el llamado n´ucleo de orden dos con punto
extremo inferior, el cual satisface las siguientes condiciones
Z0
1
K(0) (u)du = 1,Z0
1
u K(0) (u)du = 0,y 0 <Z0
1
u2K(0) (u)du < ,
yh0=b(0) h1, con b(0) dado por
b(0) =
R1
1u2K(u)du2R0
1K2
(0) (u)du
R0
1u2K(0) (u)du2R1
1K2(u)du
1/5
.(3.9)
Para cada c[0,1], Karunamuni y Alberts definen el estimador de la funci´on de transformaci´on
(3.5) como
ˆgc(y) = y+ˆ
d
2lcy2+ˆ
d2l2
cy3,(3.10)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 55
donde ˆ
dviene dado por (3.8). Ellos destacaron que ˆgcyˆ
ddependen de n, tal dependencia no la
resaltaron para simplificar la notaci´on. Finalmente, Karunamuni y Alberts definen el estimador
frontera de fcon n´ucleo localmente adaptable de la siguiente manera
˜
fn(r) = 1
n h
n
n
X
i=1
Krˆgc(Xi)
h
n/Zc
1
K(u)du, (3.11)
donde r[0,), 0 c1, ˆgcviene dada por (3.10), h
nyKcomo en (3.1). Observe que en
cada punto interior r[h
n,), c= 1, se tiene que ˆg1(Xi) = Xi,i= 1, . . . , n. Es decir, en cada
punto interior el estimador (3.11) se reduce al estimador (1.1). Como la propiedad anterior se
cumple en particular para h
ny tomando en cuenta que la regi´on frontera del estimador (3.11)
es [0, h
n), tal comportamiento lo interpretaron de la siguiente manera: el estimador (3.11) es una
continuaci´on frontera natural del estimador (1.1). Adem´as, las expresiones para el sesgo y la
varianza del estimador (3.11) que obtuvieron, se describen en el siguiente teorema.
Teorema 3.2 (Teorema 2.1 en [12]).Sea ˜
fn(r)definida por (3.11) con funci´on de ucleo Kdada
en (3.1) y con par´ametro de suavizado h
n=On1/5. Suponga que h1en (3.8) es de la forma
h1=On1/4. Adem´as, asuma que K(1) existe y es continua en [1,1],f(0) >0, y que existe
f(2) y es continua en una vecindad de 0. Entonces para r=c h
n,0c1, se tiene que
Eh˜
fn(r)f(r)i=h2
n
2Rc
1K(u)du(f(2)(0) Zc
1
(u22uc)K(u)du
+ 6 f(1)(0)2
f(0) l2
c+lcZc
1
(uc)2K(u)du)+oh2
n,(3.12)
donde lces dada en (3.6), y
V ar h˜
fn(r)i=f(0)
n h
nRc
1K(u)du2Zc
1
K2(u)du +o1
n h
n
De la expresi´on (3.12) se desprende que el estimador (3.11) no presenta el problema frontera, ya
que su sesgo tiene una tasa de convergencia de orden Oh2
nen los puntos fronteras r[0, h
n)
y en el punto interior h
n. Los autores Karunamuni y Alberts atribuyen ese importante ajuste
en el estimador (3.11) a la transformaci´on adaptativa local (3.10), ya que transforma los datos
dependiendo del punto de estimaci´on.
3.2 Estimador Frontera con Conjunto Difuso
Sean X1, . . . , Xnuna muestra aleatoria independiente de la variable aleatoria Xcon densidad f,
yV1, . . . , Vnuna muestra aleatoria independiente uniformemente distribuida en [0,1] e indepen-
diente de X1, . . . , Xn. Para ambas muestras, Fajardo y Harmath [5] inician la construcci´on de su
estimador frontera imponiendo las siguientes condiciones:
C1 La funci´on de densidad ftiene soporte [0,), y es al menos dos veces continuamente
diferenciable en una vecindad de z[0,).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
56 Jes´us A. Fajardo
C2 El par´ametro b
nsatisface: b
n0 y nb
n ,cuando n .
C3 La funci´on atenuante ϕes sim´etrica con respecto al cero, tiene soporte compacto [B, B],
B > 0, ϕ(u)[0,1] y es continua en 0 con ϕ(0) >0.
Seguidamente los autores establecen los siguientes resultados, en los cuales describen el compor-
tamiento del estimador (1.2) en los puntos 0 y x(0, b
n]. Adem´as, para simplificar la notaci´on
definen
ψ(u) = ϕ(u)
Rϕ(u)du yx=s b
n,0< s 1.
Teorema 3.3 (Teoremas 1 y 2 en [5]).Bajo las condiciones (C1)-(C3), se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(0) f(0)i=b2
n
2f(2)(0) Zu2ψ(u)du +ob2
n.
y
Ehˆ
ϑ
n(x)f(0)i=f(0) + f(0) ZB
s
ψ(u)du +b
nf(1)(0) ZB
s
u ψ(u)du
+b2
n
2f(2) (0) ZB
s
u2ψ(u)du +ob2
n,(3.13)
donde 0< s 1.
A traes de los resultados anteriores, Fajardo y Harmath garantizaron que el estimador (1.2) no
presenta el problema frontera en el punto interior 0, ya que su sesgo tiene una tasa de convergencia
de orden Ob2
nen 0. En cambio, con la sutil modificaci´on introducida en (3.13) con respecto a
la versi´on original, el lector podr´a apreciar, con mayor facilidad, que el estimador (1.2) presenta
el problema frontera en cada x(0, b
n]. En efecto, su sesgo tiene una tasa de convergencia de
orden O(b
n) en cada x.
El siguiente paso que Fajardo y Harmath tomaron para definir su estimador frontera, fue
construir una funci´on atenuante ϕcon la siguiente propiedad:
ZB
s
u ϕ(u)du = 0,para cada s(0,1].(3.14)
Para tal fin, formalizan la Observaci´on 4 introducida por Fajardo [4] reescribi´endola como el
pr´oximo teorema, con el cual controlar´an adecuadamente las constantes que definen el sesgo del
estimador (1.2) y justificar´an una condici´on en el criterio que les permitir´a obtener una funci´on
atenuante ϕque satisface la condici´on (3.14).
Teorema 3.4 (Teorema 3 en [4]).Bajo la condici´on (C3), se tiene que para M>0existe B0>0
tal que
v=ZB0
B0
u2ψ(u)du M.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 57
La combinaci´on de (C3) y el Teorema 3.4, les permiti´o garantizar que
v=ZB0
B0
u2ψ(u)du =Zu2ψ(u)du M,con B0> B,
y as´ı redefinir ψcomo
ψ(u) = ϕ(u)
Rϕ(u)du 1I[B0,B0](u),con B0B. (3.15)
El criterio propuesto por Fajardo y Harmath para eliminar el ermino con coeficiente b
nen (3.13),
haciendo que RB
su ϕ(u)du = 0 para cada s(0,1], se bas´o en deducir una funci´on atenuante ϕ
como soluci´on del siguiente problema variacional:
Maximizar : Zϕ(u)du.
Sujeto a : Zϕ2(u)du =k, Zu ϕ(u)du = 0,Zu2vϕ(u)du = 0, k > 0,(PV)
ϕ(u) = 0 para u(B, B)c, ϕ(0) >0, ϕ(u)[0,1],yv(0,M].
Es importante puntualizar que el criterio anterior generaliza el criterio propuesto por Fajardo [4],
el cual impleno para obtener una funci´on ϕque minimiza el ECM Idel estimador (1.2) (ver
Fajardo [4], agina 307). El siguiente teorema garantiza la soluci´on de (PV).
Teorema 3.5 (Teorema 4 en [5]).La soluci´on de (PV)viene dado por
ϕ
k(u) = "116
15 k2
u2#1I[15
16 k, 15
16 k](u), k > 0.(20)
En particular, para s(0,1] se tiene que
ϕ
s(u) = "116
15 s2
u2#1I[15
16 s, 15
16 s](u).(21)
Las siguientes observaciones fueron establecidas por Fajardo y Harmath:
A partir de (1.2) c.f.a. ϕ
sy (3.13), se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(x)f(0)i=b2
n
2f(2)(0) ZB0
B0
u2ψ
s(u)du +ob2
n,(22)
donde 0 < s 1, B015
16 s,ψ
sviene dada por (3.15) c.f.a. ϕ
syϕ
sviene dada por (21). As´ı,
el estimador (1.2) no presenta el problema frontera en xcuando la funci´on atenuante es ϕ
s.
Combinando el Teorema 3.3 con el Teorema 4 en Fajardo [4], se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(z)f(z)i=b2
n
2f(2)(z)ZB0
B0
u2ψk(u)du +ob2
n,(23)
para cada k > 1 y z {0} (b
n,), donde B015
16 k,ψ
kviene dada por (3.15) c.f.a.
ϕ
k, y ϕ
kviene dada por (20). As´ı, el estimador (1.2) no presenta el problema frontera en
z {0} (b
n,) cuando la funci´on atenuante es ϕ
k, para cada k > 1.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
58 Jes´us A. Fajardo
Denotando el n´ucleo Epanechnikov por K
E, y sustituyendo en (PV) kpor 5
3yMpor
ME=Ru2KE(u)du, se tiene que el estimador (1.2) c.f.a. ϕ5
3
es el estimador propuesto
por Fajardo [4]. Adem´as, el resultado alcanzado en Fajardo [4] permite garantizar que la
funci´on atenuante ϕ
kminimiza ECM hˆ
ϑ
n(z)i, para cada k > 1 y cada z {0} (b
n,).
Apoyados en (22) y (23), Fajardo y Harmath definen su estimador frontera de fcon conjunto
difuso de la siguiente manera
˜
ϑ
n(x) = 1
n a
n
n
X
i=1
1Ih0, ϕ
sXix
b
ni(Vi),(24)
donde 0 < s 1, a
n=b
nRϕ
s(u)du, y ϕ
sviene dada por (21). Ellos se˜nalaron que, para zbn,
s= 1, el estimador (24) se reduce al estimador (1.2) c.f.a. ϕ
1. As´ı, el estimador (24) es la
continuaci´on frontera natural del estimador (1.2) c.f.a. ϕ
1. Adem´as, resaltaron que los resultados
obtenidos por Fajardo [4] permiten garantizar que la funci´on atenuante ϕ
sminimiza localmente
aECM[˜
ϑ
n(x)] para cada s(0,1]. Por otro lado, las expresiones para el sesgo y la varianza del
estimador (24) que obtuvieron, se describen en el siguiente teorema.
Teorema 3.6 (Lema 1 en [5]).Bajo las condiciones (C1)-(C3), se tiene que
Eh˜
ϑ
n(x)f(0)i=b2
n
2f(2)(0) ZB0
B0
u2ψs(u)du +ob2
n(25)
y
V ar h˜
ϑ
n(x)i=f(0)
n b
nZϕ
s(u)du1
+o1
n b
n,
donde 0< s 1,0< B015
16 s,ψsviene dada por (3.15) c.f.a. ϕ
syϕ
sviene dada por (21).
Finalmente se˜nalaron que (25) garantiza que el estimador (3.11) no presenta el problema frontera,
ya que su sesgo tiene una tasa de convergencia de orden Ob2
n, en los puntos fronteras x(0, b
n)
y en el punto interior b
n.
4 An´alisis de Datos Simulados
En esta secci´on se presentan los resultados sobre los datos simulados, los cuales fueron dise˜nados
para comparar el desempe˜no entre los estimadores ˜
fn(t) y ˜
ϑ
n(x) en puntos cercanos a 0 en una
dispersi´on de la vecindad de b
n.
Cada estimador se prob´o usando cuatro densidades espec´ıficas, con comportamiento variado
en 0. La densidad 1 trata el caso f(0) = 0, mientras que las densidades 2, 3 y 4 describen lo que
sucede cuando f(0) >0 pero f0(0) = 0, f0(0) >0 y f0(0) <0, respectivamente. Adem´as, se im-
plementaron los siguientes anchos de banda globales ´optimos como los par´ametros de suavizados
de ˜
fn(t) y ˜
ϑ
n(x), respectivamente:
h
n="RK2
E(u)du
Ru2KE(u)du2Rf(2)(u)2du #1/5
n1/5(1)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 59
y
b
n="1
Rϕ1(u)du Ru2ψ1(u)du2Rf(2)(u)2du #1/5
n1/5.(2)
Para as detalles sobre (1) y (2), ver Silverman [16], aginas 39 40, y Fajardo [4], respectiva-
mente. Es oportuno destacar que la raz´on que motiv´o la implementaci´on de (1) y (2) como los
par´ametros de suavizados se debi´o al hecho que, las comparaciones basadas en los par´ametros de
suavizados ´optimos son as convincentes que las comparaciones basadas en los par´ametros de
suavizados aproximados, ya que debido a la calidad o no del m´etodo de selecci´on del par´ametro de
suavizado estas podr´ıan ser enga˜nosas. Adem´as, se hace una elecci´on del par´ametro de suavizado
global en lugar de uno local, porque es mucho as probable que se utilicen en aplicaciones.
En todas las simulaciones, se utiliz´o una muestra de tama˜no n= 200. Adem´as, para cada
densidad se calcul´o el sesgo (valor estimado menos el valor verdadero), la varianza y ECM
de ambos estimadores en los puntos r=c h
n, 0 c1, y x=s b
n, 0 < s 1, donde
c { k
25 :k= 1,4,7,9,12},s= (h
n/b
n)c, y los par´ametros h
nyb
nson dados por (1) y
(2), respectivamente. Asimismo, para estimar dse eligi´o, como en Karunamuni y Alberts [12],
h1=h
nn1/20 yK(0)(t) = 12 (1 + t)t+1
21I[1,0] (t).
Todos los resultados se promediaron a traes de 1000 pruebas y se muestran en las Tablas 1 a
4. Simult´aneamente, basado en los resultados obtenidos, tambi´en se representan gr´aficamente el
desempno de cada estimador, junto con cada densidad fsobre sus respectivas regiones fronteras.
Tales desempnos se muestran en las Figuras 1 a 4. Una minuciosa revision de las Tablas 1 a
4 permite afirmar que, para todas las formas de densidades, el estimador ˜
ϑ
ntiene un mejor
desempno que el estimador ˜
fn, ya que ECM[˜
ϑ
n(x)] ECM[˜
fn(x)] para cada x(0, h
n).
Adem´as, se observa que ambos estimadores mejoran el sesgo mientras que sus varianzas son
peque˜nas. Sin embargo, la comparaci´on del desempe˜no de los estimadores ˜
fny˜
ϑ
na traes del
error cuadr´atico medio integrado (ECMI) no es conveniente, ya que para todas las formas de
densidades se tiene que (0, h
n](0, b
n]. Finalmente, es oportuno enfatizar que a pesar de existir
una significativa diferencia entre los ECM de ambos estimadores en cada una de las Tablas 1 a
4, esta se manifiesta en la Tabla 2 con menor magnitud cuando tales diferencias se compraran
con las reportadas en las otras tablas. El lector podr´a verificar la afirmacon anterior, al observar
en la Figura 2 la forma como se ajustan los estimadores ˜
ϑ
ny˜
fnen torno a f, y al observar que
para ˜
fntal ajuste se distorsiona en las otras figuras.
0 0.2 0.4 0.6 hn 1.2
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
bn
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 1: Estimaciones de f(z) = 1
2z2ez, densidad 1, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=1
4ME,
n= 200, h
n= 0,832551 y b
n= 1,535404.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
60 Jes´us A. Fajardo
Tabla 1: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 c1 y 0 < s 1, para f(z) = 1
2z2ez, densidad 1, donde v=1
4ME,n= 200,
y ´optimos globales h
n= 0,832551 y b
n= 1,535404.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×105sSesgo Var ECM ×105
0,0400 0,0015 0,0000 0,2258 0,0217 0,0001 0,0000 0,00031
0,1600 0,0045 0,0000 2,0659 0,0868 0,0010 0,0000 0,09458
0,2800 0,0167 0,0000 30,000 0,1518 0,0017 0,0000 0,30495
0,3600 0,0268 0,0000 70,000 0,1952 0,0024 0,0000 0,59692
0,4800 0,0430 0,0000 190,00 0,2603 0,0025 0,0000 0,61875
Tabla 2: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 c1 y 0 < s 1, para f(z) = q2
πez2
2, densidad 2, donde v=1
6ME,n= 200,
y ´optimos globales h
n= 0,707481 y b
n= 1,534486.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×104sSesgo Var ECM ×104
0,0400 0,0189 0,0000 4 0,0184 0,0049 0,0000 0,23612
0,1600 0,0247 0,0000 6 0,0738 0,0027 0,0000 0,07275
0,2800 0,0287 0,0000 8 0,1291 0,0026 0,0000 0,06517
0,3600 0,0304 0,0000 9 0,1660 0,0040 0,0000 0,15860
0,4800 0,0316 0,0000 10 0,2213 0,0089 0,0000 0,79334
5 An´alisis de Datos Reales
En esta secci´on se pondr´an a prueba los estimadores ˜
fny˜
ϑ
nen dos conjuntos de datos reales
conocidos, con el prop´osito de mostrar su utilidad pr´actica. olo para la estimaci´on de la densidad
con ˜
ϑ
nse realizaron 1000 pruebas, donde para cada muestra fija X1, . . . , Xnse tom´o una muestra
independiente V(d)
1, . . . , V (d)
n, 1 d1000, distribuida uniformemente en [0,1]. Por otro lado,
el par´ametro h
nutilizado fue implementado por otros autores en sus simulaciones, para cada
conjunto de datos propuesto. No obstante, cada b
nse obtendr´a combinando (2) con el valor
aproximado de R[f00 (u)]2du, valor que se calcular´a a trav´es de (1) para cada h
nconsiderado.
Es oportuno se˜nalar que, h
nyb
nse reflejar´an en cada gr´afica y haciendo uso de la propiedad
de “continuaci´on frontera natural” de los estimadores ˜
fny˜
ϑ
n, se “abusar´a” de la notaci´on para
mostrar olo dos curvas en la representaci´on gr´afica asociada a cada conjunto de datos, teniendo
en cuenta que a la derecha de h
nyb
nlas gr´aficas mostradas representan las gr´aficas de (1.1),
y (1.2) c.f.a. ϕ1, respectivamente. En concreto, se identificar´a la estimaci´on con ucleo y con
conjunto difuso con l´ıneas discontinuas - - - - y.-.-.-.-., respectivamente.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 61
Tabla 3: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 c1 y 0 < s 1, para f(z) = z2+ 2z+1
2e2x, densidad 3, donde v=1
4ME,
n= 200, y ´optimos globales h
n= 0,467044 y b
n= 0,861329.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×105sSesgo Var ECM ×105
0,0400 0,0393 0,0000 154,2479 0,0217 0,0014 0,0000 0,2088
0,1600 0,0065 0,0000 4,1782 0,0868 0,0003 0,0000 0,0088
0,2800 0,0159 0,0000 25,2148 0,1518 0,0061 0,0000 3,6991
0,3600 0,0259 0,0000 67,1897 0,1952 0,0079 0,0000 6,2911
0,4800 0,0351 0,0000 123,0843 0,2603 0,0118 0,0000 13,9596
Tabla 4: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 c1y0< s 1, para f(z)=2e2z, densidad 4, donde v=1
2ME,n= 200, y
´optimos globales h
n= 0,342128 y b
n= 0,478176.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×105sSesgo Var ECM ×105
0,0400 0,3717 0,0000 13810 0,0286 0,0132 0,0000 17,4451
0,1600 0,2494 0,0000 6220 0,1145 0,0016 0,0000 0,2562
0,2800 0,1522 0,0000 2320 0,2003 0,0005 0,0000 0,0227
0,3600 0,1003 0,0000 1010 0,2576 0,0050 0,0000 2,4650
0,4800 0,0409 0,0000 170 0,3434 0,0093 0,0000 8,6437
0 0.5 hn 1 bn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 2: Estimaciones de f(z) = q2
πez2
2, densidad 2, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=
1
6ME,n= 200, h
n= 0,707481 y b
n= 1,534486.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
62 Jes´us A. Fajardo
0 0.2 hn 0.6 bn
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 3: Estimaciones de f(z) = z2+ 2z+1
2e2x, densidad 3, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde
v=1
4ME,n= 200, h
n= 0,467044 y b
n= 0,861329.
0 0.1 0.2 hn bn
0
0.5
1
1.5
2
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 4: Estimaciones de f(z)=2e2x, densidad 4,en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=1
2ME,
n= 200, h
n= 0,342128 y b
n= 0,478176.
El primer conjunto de datos reales consta de 35 mediciones correspondientes a la precipitaci´on
promedio durante el mes de diciembre en Des Moines-Iowa-EUA, desde 1961 hasta 1995. Para este
conjunto de datos, Karunamuni y Alberts [12] usan h
n= 0,4250, obtenido a traes de validaci´on
cruzada (ver Bowman y Azzalini [1]), el cual permite obtener un valor para b
n= 0,4502. En la
Figura 5 se puede apreciar una marcada similitud entre la estimaci´on con n´ucleo y con conjunto
difuso en los puntos interiores y en la mayor parte de los puntos fronteras. En cambio, ˜
fnno
reconoce que la densidad es cero para valores muy cercanos a 0 por su derecha, tal cual lo se˜nala
el histograma de los datos al pie de la gr´afica. Mientras que el estimador ˜
ϑ
nsi lo reconoce sin
importarle la curvatura.
El segundo conjunto de datos reales son los famosos datos sobre suicidios que se encuentran
en Silverman [16], Tabla 2.1. Estos corresponden a los per´ıodos de duraci´on de 86 tratamientos
psiqui´atricos aplicado a los pacientes utilizados como controles en un estudio sobre riesgos de
suicidio, y es un ejemplo cl´asico de un conjunto de datos donde el estimador (1.1) falla en la
regi´on frontera. Tambi´en se mostr´o, en el reciente trabajo de Fajardo y Harmath, que el estimador
(1.2) c.f.a. ϕ
1falla en la regi´on frontera. Para este conjunto de datos, Karunamuni y Alberts [11]
eligen subjetivamente h
n= 60, el cual permite obtener un valor para b
n= 83,8593. La Figura 6
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 63
0 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
bn
hn
- - - - Estimaci´on con ucleo .-.-.-.-.-.- Estimaci´on con Conjunto Difuso
Figura 5: Estimaciones de las densidades para 35 mediciones correspondientes a la precipitaci´on promedio en
el mes de diciembre en Des Moines-Iowa-EUA desde 1961 hasta 1965, mostradas en el piso de la gr´afica, donde
v=ME,h
n= 0,4250, b
n= 0,4502 y h1=h
nn1/20.
muestra el comportamiento de las estimaciones con ucleo y con conjunto difuso. Se aprecia que
el valor de la densidad en 0 es capturado de forma efectiva por el estimador ˜
ϑ
ncon una apreciable
curvatura, tomando en cuenta que la densidad es 0 como lo indica el histograma al pie de la
gr´afica. No obstante, el estimador ˜
fnno reconoce el comportamiento anterior de la densidad y
decide truncarla en 0 asign´andole el valor 0,008.
0 hn bn 200 400 600 800
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
- - - - Estimaci´on con ucleo .-.-.-.-.-.- Estimaci´on con Conjunto Difuso
Figura 6: Estimaciones de las densidades para 86 mediciones correspondientes a los tratamientos psiqui´atricos
aplicado a los pacientes utilizados como controles en un estudio sobre riesgos de suicidio, mostradas en el piso de
la gr´afica, donde v=1
2ME,h
n= 60, b
n= 83,8593 y h1=h
nn1/20.
6 Conclusiones
Es claro que ning´un estimador existente en la literatura domina al resto de los estimadores para
todas las formas de densidades. Adem´as, cada estimador tiene ciertas ventajas y funciona bien
en determinados momentos. Sin embargo, para las cuatro formas de densidades consideradas en
estas notas el estimador frontera de la densidad con conjunto difuso preseno un rendimiento
superior con respecto al rendimiento del estimador frontera de la densidad con n´ucleo localmente
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
64 Jes´us A. Fajardo
adaptable, en puntos cercanos a 0 en una dispersi´on de la vecindad del par´ametro de suavizado
b
n. El resultado anterior fue producto de las extensas simulaciones realizadas para comparar los
errores cuadr´aticos medios locales de los estimadores fronteras anteriores y forma parte de una
nueva contribuci´on en el ´area de estimaci´on de la funci´on de densidad no basada en n´ucleo. Un
resultado similar fue presentado en Fajardo y Harmath, donde bajo condiciones an´alogas a las
anteriores el estimador frontera con conjunto difuso preseno un rendimiento superior con respecto
al rendimiento del particular estimador frontera con ucleo introducido por Karunamuni y Alberts
[11]. Cabe destacar que el estimador frontera con conjunto difuso y los estimadores fronteras con
n´ucleos considerados en estas notas como en Fajardo y Harmath, presentan estructuras totalmente
diferentes pero comparten propiedades comunes como: no negatividad, “continuaci´on frontera
natural”, y un desempno robusto con respecto a diversas formas de densidades, ya que permiten
importantes reducciones del sesgo mientras que sus varianzas son peque˜nas. Simult´aneamente,
es oportuno resaltar que tales propiedades se obtienen como consecuencia de la influencia de las
funciones atenuante, ϕk, y de transformaci´on, ˆgc, en cada estimador. Finalmente, es importante
recalcar que a traes del proceso puntual atenuado que describe el etodo de estimaci´on de
densidad con conjunto difuso, el conjunto de observaciones considerada pueden describirse en
una vecindad del punto de estimaci´on, donde las funciones indicadoras que definen al estimador
de densidad con conjunto difuso deciden si la observaci´on pertenece o no a la vecindad del punto
de estimaci´on, y las funciones atenuantes que definen a cada funci´on indicadora se utilizan para
seleccionar los puntos de la muestra con diferentes probabilidades, en contraste con los estimadores
con n´ucleo que asignan el mismo peso a todos los puntos de la muestra.
7 Agradecimientos
El autor agradece a los ´arbitros an´onimos por sus oportunos comentarios y ´utiles sugerencias, que
mejoraron en gran medida la presentaci´on de los resultados. El autor tambi´en desea agradecer
al Licenciado Pedro Luis Bossio, Jefe del Departamento de Admisi´on y Control de Estudios del
N´ucleo Sucre de la Universidad de Oriente, por su apoyo con el equipo de computaci´on, el cual
fue utilizado para la transcripci´on de estas notas y la realizaci´on de las simulaciones presentadas.
Referencias
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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487520
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa
moderna entre los siglos XVII y XIX
Divulgation of some theorems of modern geometry between the XVII and XIX
centuries
Eduardo Orellana (chileeduardo@gmail.com)
Departamento Matem´atica
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educaci´on
Santiago, Chile
Tob´ıas Rosas Soto (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matem´atica, Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia
Maracaibo, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Resumen
Se establecen demostraciones alternativas y directas de algunos teoremas de la geometr´ıa
moderna eucl´ıdea entre los siglos XVII y XIX como lo son el teorema de Vecten, el teorema
de Dostor, teorema de Blanchet y el teorema de Viviani.
Palabras y frases clave: Geometr´ıa moderna, teorema de Vecten, teorema de Dostor,
teorema de Balnchet, teorema de Viviani, demostraciones.
Abstract
Alternative and direct proofs of some theorems of euclidean modern geometry between
the XVII and XIX centuries are established such as Vecten theorem, the Dostor theorem, of
Blanchet and the theorem Viviani.
Key words and phrases: Modern geometry, Vecten’s theorem, Dostor’s theorem,
Balnchet’s theorem, Viviani’s theorem, proofs.
1 Introducci´on
La demostraci´on de los teoremas que se tratan bajo razonamiento cl´asico (deductivo), como lo son
los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y Viviani en el espacio eucl´ıdeo simple Ω, fue obtenida
por Legendre en [7], Dostor en [4] y Viviani en [12]. En este trabajo, se muestran cuatro resultados:
las pruebas de cuatro teoremas de los siglos XVII al XIX y es bajo razonamientos cl´asicos, en
esencia, bajo los teoremas de Ceva (ver [2]) y Thales, de congruencia y semejanza de tri´angulos.
Recibido 20/09/2021. Revisado 18/10/2022. Aceptado 21/03/2022.
MSC (2010): Primary 51-XX; Secondary 51-03.
Autor de correspondencia: Eduardo Orellana
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa moderna entre los siglos XVII y XIX 67
Se presenta la divulgaci´on de dichas pruebas, dadas tambi´en por generaciones actuales como lo
hace Orellana en [10], con figuras ilustrativas y de forma detallada para hacer as comprensible
las ideas que se presenten.
2 Preliminares
A continuaci´on se presenta una lista de la simbolog´ıa que se usa en el trabajo:
plano eucl´ıdeo
Ai, Bi, Ci, ... puntos en Ω, para iN
{i, j, k}={1,2,3}significa que i, j, k {1,2,3}con i, j, k distintos entre si.
AE recta que pasa por los puntos A, E Ω.
Lrecta en
AB segmento entre los puntos A, B Ω.
AB rayo que inicia en By pasa por B.
4ABC tri´angulo de ertices A, B, C
4ABC 4DEF semejanza entre los tri´angulos 4ABC y4DEF
X
=Ycongruencia entre las estructuras XeY(segmentos, ´angulos, tri´angulos)
ABCD cuadrado de v´ertices A, B, C, D Ω.
ABC ´angulo de ertice en B, con lados BA yBC.
m(X) medida de la estructura Xangulo, segmento).
a (4ABC) ´area del tri´angulo 4ABC.
Ahora se presentan los teoremas que servir´an de pilares fundamentales para el desarrollo de
las demostraciones de los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y Viviani.
Teorema 2.1 (Teorema de Thales).(ver [8]). Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas
paralelas, los segmentos que se determinan en una de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra recta.
Teorema 2.2 (Primer Criterio de Semejanza).Dos tri´angulos son semejantes si tienen dos pares
de ´angulos respectivamente iguales.
Teorema 2.3 (Teorema de Pit´agora).(ver [1]). El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de
un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Teorema 2.4 (Teorema de Ceva).(ver [6]). Dado un tri´angulo cualquiera 4A1A2A3, si Ekes un
punto interior del segmento AiAj, para {i, j, k}={1,2,3}, entonces los segmentos EiAi(para
i= 1,2,3) son concurrentes si, y solo si, se cumple que
mA1E3
mE3A2·mA2E1
mE1A3·mA3E2
mE2A1= 1
Teorema 2.5 (Teorema de Euclides).(ver [1]). Sea el tri´angulo rect´angulo 4ABC con ´angulo
recto en el ertice By sea BD la altura desde Bal lado AC, entonces
[m(BD)]2=m(AD)·m(DC)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
68 Eduardo Orellana - Tob´ıas Rosas
Teorema 2.6 (ver [5]).Dado el tri´angulo 4A1A2A3yMiel punto medio del segmento AjAk
para {i, j, k}={1,2,3}, entonces se cumple que:
1. El tri´angulo 4MiMjAkes congruente con el ti´angulo 4M1M2M3, para {i, j, k}={1,2,3}.
2. El segmento mAiAj= 2mMiMj, para {i, j}⊂{1,2,3}, es decir, m(AiMk) = m(MiMj)
para {i, j, k}={1,2,3}
3 Algunos teoremas de la geometr´ıa euclidea entre los si-
glos XVII y XIX
En esta secci´on se establecen demostraciones de los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y
Viviani.
Teorema 3.1 (Teorema del punto de Vecten).Sea el tri´angulo 4A1A2A3yAiAjBkCkel
cuadrado construido sobre los lados AiAj, para {i, j, k}={1,2,3}respectivamente. Adem´as, sea
el punto Pkcentro del cuadrado AiAjBkCkpara {i, j, k}={1,2,3}. Entonces, si Aies opuesto
aPi, los segmentos AiPison concurrentes en un ´unico punto vllamado punto de Vecten, para
i {1,2,3}.
Demostraci´on. Consid´erese el tri´angulo 4A1A2A3y el punto medio M3del lado A1A2. Como
P3es el centro del cuadrado A1A2B3C3, se tiene que M3P3cumple que A1A2M3P3de
manera que m(A1M3) = m(A2M3) = m(P3M3), y as´ı 4A1M3P3
=4A2M3P3por el criterio de
congruencia (L.A.L.) (ver Figura 1-(a)). En efecto: P3M3A1=π
2=P3M3A2, pues A1A2
M3P3; el segmento P3M3es lado com´un de loa tri´angulos 4P3M3A1y4P3M3A2; y m(M3A1) =
m(M3A2) pues M3es el punto medio del lado A1A2.
(a) Congruencias de tri´angulos 4A1M3P3y
4A2M3P3.
(b) Perpendicularidad de los segmentos P1M3y
P2M3.
Figura 1: Teorema de Vecten
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa moderna entre los siglos XVII y XIX 69
Notemos que el segmento A2M1
=M3M2, por el Teorema 2.6 (ver Figura 1-(b)). Como
A2M1
=P1M1, entonces M3M2
=P1M1. Por un razonamiento similar se obtiene que M3M1
=
A1M2
=M2P2. Como 4A2M1M3
=4A1M3M2, se tiene que A2M1M3
=M3M2A1, por el
Teorema 2.6, y como A2M1P1= 90=A1M2P2, entonces M3M1P1
=M3M2P2. As´ı se
tiene que 4M3P1M1
=4M3M2P2, y por tanto lo segmentos M3P1yM3P2son congruentes.
Luego, dado que M3M2A2+M2P2M3+P2M3M2= 90,M1M3M2
=M3M2A1y
M2P2M3
=P1M3M1, entonces M1M3P1+M2M3M1+P2M3M2= 90. De manera que
el P2M3P1es recto en M3ya que P1M3P2M3. Pero como el P1M3P2y el A1M3P3son
rectos, y el P2M3A1es adyacente a ambos ´angulos, entonces A1M3P1
=P3M3P2. Luego,
tomando en cuenta que m(A1M3) = m(P1M3) se tiene que A1M3
=P1M3, de manera que
4A1M3P1
=4P1M3P2por el criterio de congruencia (L.A.L.) (ver (a) en Figura 2). De esto
´ultimo se obtiene que P2P3
=A1P1.
Por otro lado, como la suma de los ´angulos internos del tri´angulo 4AP1P2suman 180, y
tomando en cuenta que: M3P1A
=M3P2A;AP1P2=M3P1P2M3P1A; y P1P2A=
M3P2A+M3P2P1se obtiene que P2P3A1P1(ver (a) en Figura 2).
(a) 4A1M3P1
=4P3M3P2(b)
3
\
i=1
AiPi=O
Figura 2: Representaci´on del Teorema del punto de Vecten.
En forma an´aloga se obtiene que P1P2
=A3P3yP3P1
=A2P2de donde se deduce que
P1P2A3P3yP3P1A2P2, respectivamente. Por tanto, en el tri´angulo 4P1P2P3se tiene que
AiPicontiene a la altura del lado PjPkpara {i, j, k}={1,2,3}. Luego, como el ortocentro Odel
tri´angulo 4P1P2P3est´a dado por la intersecci´on de sus alturas, se tiene que
{O}=A1P1A2P2A3P3
y por tanto lo segmentos AiPison concurrentes en el punto V=O(ver (b) en Figura 2), para
i {1,2,3}.
Teorema 3.2 (Teorema de Dostor).En todo tri´angulo rect´angulo al trazar una perpendicular
desde el punto medio de uno de sus catetos sobre la hipotenua, entonces la medida del otro cateto
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
70 Eduardo Orellana - Tob´ıas Rosas
al cuadrado es la diferencia de las medidas de los segmentos al cuadrado determinados por el pie
de la perpendicular trazada sobre la hipotenusa.
Demostraci´on. Sea el tri´angulo 4A1A2A3rect´angulo en el v´ertice A2. Consid´erense el punto
medio Mdel cateto A2A3; la perpendicular M D1trazada desde Msobre la hip´otenusa A1A3; y
la perpendicular A2D2trazada desde el ertice A2sobre la hip´otenusa A1A3, entonces
MD1A1A3={D1}yA2D2A1A3={D2}
m(A2M) = m(MA3) (3.1)
de manera que los puntos A1, D2, D1, A3colineales (ver Figura 3) y
mD2A3=mD2D1+mD1A3(3.2)
De igual forma, tomando el segmento A1A3, se tiene
mA1D1+mD1A3=mA1A3=mA1D2+mD2A3.(3.3)
(a) Tri´angulo 4A1A2A3
(b) Tri´angulo 4A3D2A2(c) Tri´angulo 4A3D1M
Figura 3: Representaci´on para el Teorema de Dostor.
Las perpendiculares A2D2yM D1determinan respectivamente los tri´angulos 4D2A3A2y
4D1A3M, y as´ı se tiene que: A2D2A3
=MD1A3pues ambos son ´agulos rectos en D2yD1,
respectivamente; A1A3A2
=A1A3A2por ser ´angulo com´un; y D2A2A3
=D1MA3por
ser ´angulos correspondientes entre paralelas. As´ı, por el Teorema 2.2 se tiene que 4D2A3A2
4D1A3M, y por tanto
mD1A3
mA3M=mD2A3
mA2A3.(3.4)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa moderna entre los siglos XVII y XIX 71
Tomando en cuenta la ecuaci´on (3.1) se tiene que
mA2A3= 2 mA2M= 2 mM A3,
y sustituyendo en la ecuaci´on (3.4) se obtiene
mD2A3= 2 mD1A3(3.5)
De manera que, usando la ecuaci´on (3.2), se tiene
mD1A3=mD2D1(3.6)
y por tanto D1A3
=D2D1.
Tambi´en, tomando en cuenta las ecuaciones (3.2) y (3.3), se tiene que
mA1D1=mA1D2+mD1A3
y entonces
mA1D2=mA1D1mD2D1(3.7)
Ahora, aplicando el Teorema 2.5 al tri´angulo 4A1A2A3, se tiene que
mA2D22=mA1D2·mD2A3
y usando las ecuaciones (3.5), (3.6) y (3.7) se obtiene que
mA2D22=mA1D1mD2D1 ·2mD2D1
y as´ı
mA2D22=2mA1D1·mD2D1 2mD2D12.(3.8)
Por otro lado, aplicando el Teorema 2.3 al tri´angulo 4A1D2A2y usando la ecuaci´on (3.7), se
tiene que
mA1A22=mA2D22+mA1D1mD2D12,
Desarrollando cuadrados y tomando en cuenta la ecuaci´on (3.8) se tiene que
mA1A22=mA1D12mD2D12
y por la ecuaci´on (3.6) se finalmente que
mA1A22=mA1D12mA3D12
Observaci´on 3.1.Podemos probar directamente tambi´en para la ´ultima parte por congruencia
de tri´angulos, osea que 4A1A2D2
=4A2A2A3y esto llevar´a a que
mA1A2
mA1D1mD2D1 =mA1D1+mD1A3
mA1A2.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
72 Eduardo Orellana - Tob´ıas Rosas
Teorema 3.3 (Teorema de Blanchet).Sean el tri´angulo 4A1A2A3yDkAiAjpara {i, j, k}=
{1,2,3}. Si alg´un AiDies altura del lado AjAkpara {i, j, k}={1,2,3}yPAiDipara
i= 1,2,3, entonces DjDiAi
=DkDiAipara {i, j, k}={1,2,3}
Demostraci´on. Sin erdida de generalidad sea A3D3la altura del lado A1A2en el tri´angulo
4A1A2A3. Adem´as, sean D1yD2puntos sobre los lados respectivos A2A3yA1A3tales que,
A1A2A3D3={D3}A2A3A1D1={D1}A1A3A2D2={D2}
Como se tiene que PAiDipara i= 1,2,3 entonces
A1D2A2D3A3D1={P}
Trazando la recta Lparalela al lado A1A2del 4A1A2A3, tal que
L∩4A1A2A3={A3}.
y prol´ongando los segmentos D3D2yD3D1hasta los puntos E1yE2, respectivamente (ver
Figura 4), se tiene que
D3D2 L ={E1}y
D3D1 L ={E2}.
(a) Segmentos, rectas y extensiones (b) Tri´angulos relevantes
(c) ´
Angulos iguales
Figura 4: Representaci´on para el Teorema de Blanchet.
Dado que D3A3es la altura de A1A2entonces P D3A2es recto, y como A1A2k
E1E2
entonces P A3E2es recto. Se busca probar que el tri´angulo 4E1D3E2con base E1E2es is´osceles.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa moderna entre los siglos XVII y XIX 73
otese que se cumple lo siguiente: D1A3E2
=D1A2D3yD1E2A3
=D1D3A2por ser
´angulos alternos internos entre paralelas; y E2D1A3
=D3D1A2por ser ´angulos opuestos por
el v´ertice. De manera que, por el Teorema 2.2, se tiene que 4D1D3A2 4D1E2A3y por tanto
mD1A2
mA2D3=mD1A3
mA3E2(3.9)
Por otra parte se tiene que: D2A3E1
=D2A1D3yD2E1A3
=D2D3A1por ser ´angulos
alternos internos entre paralelas; y A3D2E1
=D3D2A1por ser ´angulos opuestos por el ertice.
De manera que 4D2A3E1 4D2A1D3y por tanto
mD3A1
mA1D2=mE1A3
mA3D2(3.10)
Ahora, como las cevianas A1D1,A2D2,A3D3en el tri´angulo 4A1A2A3son concurrentes en
el punto P(ver [2]), y aplicando el Teorema 2.4, se tiene que
mA1D3
mD3A2·mA2D1
mD1A3·mA3D2
mD2A1= 1.(3.11)
Al multiplicar las ecuaciones (3.9) y (3.10) se tiene que,
mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2=mD1A3
mA3E2·mE1A3
mA3D2
y por tanto
mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2·mA3E2
mD1A3·mA3D2
mE1A3= 1 (3.12)
Ahora, aplicando transitividad en las ecuaciones (3.11) y (3.12), se obtiene que
mA1D3
mD3A2·mA2D1
mD1A3·mA3D2
mD2A1=mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2·mA3E2
mD1A3·mA3D2
mE1A3
de manera que cancelando t´erminos se obtiene que
mA3E2
mE1A3= 1
As´ı, aplicando el Teorema 2.3 a los tri´angulos 4E2A3D3y4E1A3D3se obtiene que E2D3
=
E1D3lo que implca que α=D1D3A3
=D2D3A3=β.
Teorema 3.4 (Teorema de Viviani).Sean un tri´angulo equil´atero 4A1A2A3yPes un punto
interior cualquiera al tri´angulo. Si DkAiAjtal que P DkAiAjpara {i, j, k}={1,2,3},
entonces la medida de la altura del tri´angulo es igual a
mP D1+mP D2+mP D3.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
74 Eduardo Orellana - Tob´ıas Rosas
Demostraci´on. Sea el tri´angulo 4A1A2A3equil´atero de lados con medidas
mA1A2=mA2A3=mA1A3=kcon kR(3.13)
Como Pes un punto interior al tri´angulo y P DkAiAj(DkAiAjtal que) para {i, j, k}=
{1,2,3}, entonces se obtiene que: P D2es altura del 4A1P A3;P D3es altura del 4A1P A2; y
P D1es altura del 4A2A3.
Calculando el ´area de los tri´angulos determinados se tiene que
a(4A1A3) = k·mP D2
2a(4A1P A2) = k·mP D3
2
a(4A2P A3) = k·mP D1
2.
(3.14)
Sin perdida de generalidad, omese la altura A3Dsobre el lado A1A2del 4A1A2A3, as´ı se
obtiene que
a(4A1A2A3) = mA1A2·mA3D
2=k·mA3D
2.
Figura 5: Representaci´on para el Teorema de Viviani.
Luego, en t´erminos de ´areas equivalentes ocurre que (ver Figura 5),
a(4A1A2A3) = a(4A1P A3) + a(4A1A2) + a(4A1P A3).
y por tanto
k·mP D2
2+k·mP D3
2+k·mP D1
2=k·mA3D
2.
lo que implica que
k
2mPiD2+mPiD3+mPiD1 =k
2·mA3D,
teniendo as´ı que
mP D2+mP D3+mP D1=mA3D
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa moderna entre los siglos XVII y XIX 75
Observaci´on 3.2.En concreto, podemos decir que la suma de las distancias desde un punto
cualquiera del interior del tri´angulo equil´atero hasta los lados de este, no depende del punto P.
Esto es alido generalizando para pol´ıgonos regulares de nN,(n > 2) lados. Considerando la
altura del 4A1A2A3con medida mA3Digual a mA1A2
23, se tendr´a un resultado an´alogo.
Referencias
[1] arcenas, Di´omedes; Vivenes, Jos´e; Introducci´on a la Geometr´ıa plana, Colecci´on: Ciencias
asicas, Serie: Matem´atica, Consejo de Puclicaciones de la Universidad de los Andes 1a
Edici´on, M´erida-Rep´ublica Bolivariana de Venezuela, 1998. ISBN 980-11-0165-2.
[2] Ceva, G.; De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio, Mantua, 1678.
[3] Dostor, G.; Propri´et´es nouvelles de la tangente et de la normale aux courbes du second
degr´e. (160-171), Par´ıs, 1878.
[4] Dostor, G.; Recherche des syst`emes de deux polygones eguliers ´etoiles, inscrits dans le
mˆeme cercle, qui sont tels que la surface de l’un soit double de la surface de l’autre. (407-
409), Par´ıs, 1877.
[5] Dur´an, Dar´ıo; La Geometr´ıa Euclidiana, Ediciones Astro Data S.A., Maracaibo-Venezuela,
2003, ISBN 980-12-0331-5.
[6] Ivorra, Carlos; Geometr´ıa, Libro digital, Disponible en: https://www.uv.es/ivorra/
Libros/G.pdf
[7] Legendre, A. M.; ´
El´ements de eom´etrie, avec additions et modifications par M. A. Blanchet,
deuxi´eme ´edition, Par´ıs, 1849.
[8] opez, Nayit; Fundamentos de Geometr´ıa m´etrica plana, 2aEdici´on, EDILUZ, Maracaibo-
Venezuela, 2000. ISBN 980-232-307-1.
[9] Levy, S.; Introducci´on a la geometr´ıa moderna, exico, 1983.
[10] Orellana, E.; Teoremas de la geometr´ıa moderna: Inclusi´on a trav´es de la geometr´ıa din´amica,
Libro de Actas. ISBN 978-84-945722-3-4, (T-399), CIBEM VIII, Universidad Complutense,
Madrid, 2017.
[11] Ram´ırez, A.; Trigonometr´ıa, Notas, CIMAT, Ciudad de M´exico, 2011.
[12] Viviani, V.; De maximis et minimis geometrica. Praeceptorem Galilaem Lynceum, Florenti,
1659.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
Divulgaciones Matemáticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 7677
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI:
https://doi.org/10.5281/zenodo.7487668
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Problemas y Soluciones
Problems and Solutions
Editor: Tobías Rosas Soto (
tjrosas@gmail.com
)
ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matemática, Facultad Experimental de Ciencias,
Universidad del Zulia, Maracaibo,
República Bolivariana de Venezuela.
Los problemas apropiados para esta sección son aquellos que puedan ser abordados por un
estudiante de matemática no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos
conocidos no son aceptables. Se preeren problemas originales e interesantes. Las soluciones
y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electrónico, en español o
inglés, a la dirección arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en L
A
T
EX). Las
propuestas deben acompañarse de la solución, o al menos de información suciente que haga
razonable pensar que una solución puede ser hallada.
Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergradu-
ate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable.
Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should
be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as
a L
A
T
EX source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough
information on why a solution is likely.
1 Problemas propuestos
Los dos problemas propuestos a continuación se plantearon en la XXXV Olimpiada Mexicana de
Matemáticas 2021 celebrada virtualmente.
148. Determina todos los conjuntos no vacíos
C1, C2, C3,...,
tales que cada uno de ellos tiene
un número nito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente
propiedad: Para cualesquiera enteros positivos
m
y
n
, la cantidad de enteros positivos en el
conjunto
Cm
más la cantidad de enteros positivos en
Cn
es igual a la suma de los elementos
en el conjunto
Cm+n
.
Nota
: Al denotar con
|Ck|
la cantidad de elementos de
Ck
y con
Sk
la suma de los elementos
de
Ck
, la condición del problema es que para
m, n
enteros positivos se cumple
|Cn|+|Cm|=Sm+n
149. Sea
4ABC
un triángulo acutángulo escaleno con
BAC = 60
y ortocentro
H
. Sea
ωb
la
circunferencia que pasa por
H
y es tangente a
AB
en
B
, y
ωc
la circunferencia que pasa
por
H
y es tangente a
AC
en
C
.
Pruebe que
ωb
y
ωc
solamente tienen a
H
como punto común.
Prueba que la recta que pasa por
H
y el ortocentro
O
de
4ABC
es tangente común
a
ωb
y
ωc
.
Problemas y Soluciones 77
2 Soluciones
Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 2425, 28, 44, 54, 79, 8491, 94
100, 108113, 116, 118123, 126, 128129, 133143 y 145147. Invitamos a los lectores a enviarnos
sus soluciones para esos problemas.
Divulgaciones Matemáticas Vol. 22 No. 2 (2021), pp. 7677
Guía para los Autores
Divulgaciones Matemáticas
es una revista arbitrada que considera para su publicación
trabajos inéditos de investigación, en todas las áreas de la Matemática y sus aplicaciones, historia
o enseñanza. Contribuciones adecuadas trabajos de investigación, de divulgación e históricos y
de enseñanza matemática. Se presta especial atención a los temas tratados en la reunión anual e
itinerante de las
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
celebradas en Venezuela. Además,
contempla una sección de problemas y soluciones, la cual presenta problemas que puedan ser
abordados por un estudiante de matemática no graduado, sin conocimientos especializados.
El primer requisito para que un artículo sea publicable es su corrección matemática. En
segundo lugar, el estilo expositivo debe ser atrayente y lo más uido y organizado que sea
posible. En los trabajos de investigación se tomarán en cuenta la relevancia y originalidad de
los resultados obtenidos. El tercer requisito para que el cuerpo editorial de la revista acepte
un artículo, para someterlo a evaluación y posible publicación, es que el mismo debe estar
elaborado en LaTeX, utilizando una plantilla predenida por la revista, se le pide a los au-
tores respetar las instrucciones internas indicadas en la plantilla mencionada. El archivo fuente
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. Si el artículo contiene guras, éstas deben adjuntarse como
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Los lenguajes aceptados por la revista son español e inglés. Al someter un artículo, el autor
debe remitir una carta en la que se haga constar que el artículo que se está sometiendo no ha
sido publicado o sometido a otra revista de forma total o parcial. Dicha carta debe contener los
siguientes datos: Nombre completo del autor o autores, título del artículo, rma del autor que
somete el artículo (autor de correspondencia), y declaración expresa de conformidad de los demás
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El autor, o autores, en el mensaje de sometimiento del manuscrito deben indicar la sección de
la revista en la que sugiera debe ser incluido su trabajo, a saber: artículo de investigación, artículo
de divulgación e histórico, artículo de enseñanza matemática. Además, el autor debe suministrar
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sometido. Los artículos deben organizarse en las siguientes secciones: Identicación, Resumen,
Abstract, Introducción, Desarrollo, Agradecimiento (opcional), y Referencias bibliográcas (usar
el estilo ejemplicado en la plantilla).
Identicación.
Esta debe incluir: Título completo del trabajo en castellano e inglés; Título
corto para el trabajo; Nombre completo y dirección completa del autor o autores; Aliación
institucional; Dirección electrónica; Dos clasicaciones, una primaria y otra secundaria, de
cinco caracteres de la AMS (MSC 2010).
Resumen:
Texto de no más de doscientas palabras que simplique en esencia lo que se
presenta a lo largo del trabajo. Debe tomar en cuenta aspectos como: Objetivos del trabajo;
Metodología utilizada; Resultado. A continuación del resumen se deben incluir de tres a
seis palabras o frases claves.
Abstract:
Una traducción al idioma inglés de todo lo expuesto en el resumen.
Cabe resaltar que
LA REVISTA SOLO PROCESARÁ LOS ARTÍCULOS QUE
CUMPLAN CON TODOS LOS REQUISITOS ANTES EXPUESTOS
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Divulgaciones Matemáticas
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lished research papers in all branches of mathematics and its applications, history or teaching.
Suitable contributions can be research papers, historical and/or teaching papers and bibliograph-
ical reviews. Special attention is paid to those topics covered by the annual itinerant meeting
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
held in Venezuela. In addition, the journal contem-
plates a section of problems and solutions, which contains problems that can be addressed by
undergraduate students of mathematics without expertise.
Mathematical correctness is the rst requirement for an article to be published. In second
place, the exposition style should be attractive and most uid and organized as possible. For
research works the relevance and originality of the results will be taken into account. The third
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cal papers, mathematics teaching papers. In addition, the author must provide the data (name,
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Identication
. This should include: Full title in Spanish and English; short title for the
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address; Two classications, one primary and one secondary, of ve characters of the AMS
(MSC 2010).
Abstract:
Text of not more than two hundred words simplify essentially what is pre-
sented throughout the work. You should take into account aspects such as work objectives;
Methodology used; Result. Following the abstract should include three to six key words or
phrases.
Resumen:
A Spanish language translation of the above in the abstract.
Should be noted that
THE JOURNAL WILL QNLY PROCESS ARTICLES THAT
MEET ALL THE REQUIREMENTS MENTIONED ABOVE
.
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS, Vol. 22, No. 2
Se terminó de editar en Diciembre del 2022
en el Departamento de Matemática (DEMAT)
Maracaibo - Venezuela.
La Universidad del Zulia
AUTORIDADES
Judith Aular de Durán
Rectora
Clotilde Navarro
Vicerrectora Académica
Marlene Primera Galué
Vicerrectora Administrativa
Ixora Gómez
Secretaria de LUZ
Facultad Experimental de Ciencias
José Ortega
Decano(E)
Tobías Rosas Soto
Director del Departamento de Matemática
Universidad
del Zulia
Facultad
Experimental
de Ciencias
Divulgaciones Matemáticas
Contenido (Contents):
Vol. 22, No. 1, 2021
Artículos de Investigación
(Research papers)
Análisis de conflicto en sistemas dinámicos de eventos discretos usando redes de Petri.
Analysis of conflict on discrete event dynamic systems using Petri nets.
Marcia Caicedo, Guelvis Mata, Bladismir Ruiz 1-9
Estructura algebraica de los autómatas nitos y lenguajes.
Algebraic structure of nite automata and languages.
Fernando Ortiz, Luz Solé 10-22
Qualitative study of a mathematical model for the transmission of COVID-19.
Estudio cualitativo de un modelo matemático para la transmisión del COVID-19.
Yuri Alcántara, Sandy Sánchez, Antonio Ruiz 23-33
Matriz de adyacencia de Ramsey del grafo K_R(G,H) con componentes h-buenas y las relaciones
geométricas entre lados y vértices de los grafos G , H y K_R(G,H).
Ramsey adjacency matrix of the graph K_R(G,H) with h-good components and the geometric
relationship that exists between sides and vertices of the graphs G , H and K_R(G,H) .
José Figueroa, Felicia Villarroel, Henry Ramírez, Tobías Rosas 34-47
Notas sobre el desempeño de los estimadores fronteras de densidad con núcleo localmente
adaptable y con conjunto difuso.
Notes on the performance of the boundary locally adaptive kernel and boundary fuzzy set density
estimators.
Jesús Fajardo 48-65
Artículos de Divulgación e Históricos
(Expository and Historical papers)
Divulgación de algunos teoremas de la geometría moderna entre los siglos XVII y XIX.
Divulgation of some theorems of modern geometry between the XVII and XIX centuries.
Eduardo Orellana, Tobías Rosas 66-75
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
Tobías Rosas Soto. (Editor) 76-77