Matriz de adyacencia de Ramsey del grafo K_{R(G,H)} con componentes h-buenas y las relaciones geométricas entre lados y vértices de los grafos G, H y K_{R(G,H)}.

https://doi.org/10.5281/zenodo.7487440

• José Figueroa Departamento de Quı́mica, Universidad Clodosbaldo Russián
• Felicia Villarroel Departamento de Matemática, Universidad De Oriente
• Henry Ramı́rez Departamento de Higiene y Seguridad Laboral, Universidad Clodosbaldo Russián
• Tobías Rosas Soto Departamento de Matemática, Facultad Experimental de Ciencias, Universidad de Zulia https://orcid.org/0000-0002-8085-5011

Palabras clave: Teorı́a Combinatoria, Números de Ramsey con componentes h−buena, Matriz de adyacencia y su traspuesta, Producto de Matrices, Matriz diagonal, Matrices triangular superior e inferior

Resumen

Dado dos grafos $G$ y $H$ simples, finitos, no vacíos. El número de Ramsey $R(G,H)$, se define como el menor entero positivo $n,$ tal que para algún grafo $F$, contiene una copia monocromática $G^{'}\lhd F$ isomorfa a $G$ o el complemento de $F$, contiene una copia monocrom\'atica $H^{'}\lhd \overline{F}$ isomorfa a $H$. Se dice que el grafo completo $K_n$ contiene componentes $h-$buena, si para toda secuencia $s_i$, con $i={1,\cdots ,m+1}$, donde $m$ es la talla de cada secuencia que colorean los lados del grafo completo $K_{n}=F\daleth\overline{F}$, tal que pueda extraer de $F$, al menos una copia monocrom\'atica $G^{'}$ isomorfa a $G$ o $\overline{F}$ contiene al menos una copia monocrom\'atica $H^{'}$ isomorfo a $H$. El prop\'osito de este manuscrito es determinar:
i) Los lados incidentes de cada v\'ertices del grafo $G$, a trav\'es de una matriz $A(G)$ de adyacencia, y su traspuesta, luego con el producto de las dos matrices se obtiene, una matriz $M=A(G)\times A^{t}(G)$ de orden $n\times n$, tal que $Traz(M)=Traz([M_{ij}\times\delta_{ij}])=2|E(G)|$, es decir, $Traz(M)=\sum d(v_{i})=2|E(G)|$.
ii) Se halla la matriz de adyacencia y su traspuesta del menor grafo completo $K_{n}$ que contiene los n\'umeros de Ramsey con componentes $h-$buena, donde se estudian los elementos $a_{ij}^{*}$, de las matrices triangular superior $(a_{ij}^{*})_{j>i}$ de $M$ e inferior $(a_{ij}^{*})_{j<i}$ de $M$ y la diagonal principal $(a_{ij}^{*})_{j=i}$ de $M$. Y se determina a trav\'es de los elementos $a_{ij}^{*}$ de $M$, las relaciones existentes entre los lados y los v\'ertices de los grafos $G$ y $H$, con respecto a el menor grafo completo que contiene componentes $h-$buena y se obtuvieron las siguientes propiedades:
\begin{itemize}
\item[1)] $\sum_{i>j}a_{ij}^{*}=\sum_{i<j}a_{ij}^{*}=a_{ij}^{*}|E(K_{n})|=k|E(K_{n})|$, \hspace{0.2cm}\mbox{con}\hspace{0.2cm} $k=a_{ij}^{*}\in M.$
\item[2)] $\frac{E(K_{n})}{r}=\frac{E(G)}{s}$\hspace{0.1cm}\mbox{con}\hspace{0.1cm} $r,s\in \IZ^{+}$.
\item[3)] $\frac{V(K_{n})}{p}=\frac{E(H)}{q}$\hspace{0.1cm}\mbox{con}\hspace{0.1cm} $p,q\in \IZ^{+}$.
\item[4)] $Traz(M)=\sum_{i=1}^{n} d(v_{i})=2|E(K_{n})|.$
\end{itemize}
En la relaci\'on geom\'etrica 2, $p$ y $q$ van a depender de los lados de los grafos $G$, $H$ y $K_{n}$. Y la relaci\'on geom\'etrica 3, $r$ y $s$ van a depender de los v\'ertices de los grafos $G$, $H$ y $K_{n}.$