Revista de Ciencias Sociales (RCS)
Vol. XXXII, No. 2, Abril - Junio
2026. pp. 356-372
FCES - LUZ ● ISSN: 1315-9518 ● ISSN-E: 2477-9431
Como citar: Urdaneta, A. J., Huaita, D. M., Vento, J. F., y Luza, F. F. (2026). Estrategias de inversión y acumulación
de capital en horizonte infinito: Enfoque de control óptimo en tiempo continuo.
Revista De Ciencias Sociales, XXXII(2), 356-372.
Estrategias de inversión y
acumulación de capital en horizonte infinito: Enfoque de control óptimo en
tiempo continuo
Urdaneta Montiel, Armando José*
Huaita Acha, Delsi Mariela**
Vento, Juan Francisco***
Luza Castillo, Freddy Felipe****
Resumen
El
objetivo general de la presente investigación es analizar la trayectoria óptima
de inversión y acumulación de capital en horizonte infinito, bajo un enfoque
teórico–analítico sustentado en la teoría del control óptimo en tiempo continuo
y en los principios de la programación dinámica. El modelo de crecimiento con
externalidades de capital físico muestra que la acumulación de capital de cada
firma no solo incrementa su propia producción, sino que genera derrames
positivos sobre la productividad del resto de la economía, de modo que, cuando
a nivel agregado se cumple que la suma entre la elasticidad privada del capital
y la intensidad de la externalidad es igual o superior a uno, la tecnología
efectiva se aproxima a un esquema tipo AK con rendimientos constantes o
crecientes al factor acumulable y desaparece el estado estacionario neoclásico
típico del modelo de Solow. Este modelo aporta a los
estudios relacionados con los modelos de crecimiento endógeno y explica por qué
la acumulación de capital genera crecimiento sostenido sin tecnología exógena
dominante. Se concluye que la investigación respalda la aplicación de subsidios
a la inversión, incentivos a la acumulación de capital, y de transformaciones
institucionales que promueven la asimilación parcial de esos beneficios externos.
Palabras clave: Acumulación de capital; estrategias de inversión;
externalidades de capital físico; teoría del control óptimo; crecimiento
económico.
* Postdoctorado en Integración y Desarrollo de
América Latina. Doctor en Ciencias Económicas. Doctor en Ciencias Gerenciales.
Magister en Telemática. Magister en Gerencia Empresarial. Ingeniero en
Computación. Profesor Titular Agregado I en
la Universidad Metropolitana, Machala, El Oro, Ecuador. Docente Titular en la
Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”, Zulia, Venezuela.
Docente Titular invitado en la Universidad del Zulia, Maracaibo, Zulia,
Venezuela. E-mail: aurdaneta@umet.edu.ec ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9825-9453
** Posdoctorado en Educación. Doctora en
Educación. Magister en Docencia y Gestión Educativa.
Magister en Políticas y Gestión de la Educación. Licenciada en
Educación. Especialista en la Enseñanza de la Comunicación y la Matemática.
Docente en la Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Lima, Perú. Investigadora Renacyt Nivel IV. E-mail: delsi.huaita@uigv.edu.pe ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8131-624X
*** Doctor en Contabilidad.
Magister en Marketing y Comercio Internacional. Contador Público. Docente e
Investigador en la Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Lima, Perú. E-mail: j.ventor@uigv.edu.pe ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8857-5882
**** Doctor en Educación. Posdoctorando en la Universidad
de Tijuana, México. Magister en Educación. Licenciado en
Educación Secundaria. Docente en la Universidad César Vallejo,
Lima, Perú. Investigador Renacyt Nivel VII. E-mail: fluza@ucvvirtual.edu.pe ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1491-0251
Recibido: 2025-11-20 • Aceptado: 2026-02-08
Investment and capital accumulation strategies over an infinite horizon: An optimal control approach in continuous time
Abstract
The overall objective of this research is to analyze the optimal trajectory of investment and capital accumulation over an infinite horizon, using a theoretical-analytical approach based on continuous-time optimal control theory and the principles of dynamic programming. The growth model with physical capital externalities shows that each firm’s capital accumulation not only increases its own output but also generates positive spillovers on the productivity of the rest of the economy. Thus, when, at the aggregate level, the sum of the private elasticity of capital and the intensity of the externality equals or exceeds one, the effective technology approximates an AK-type scheme with constant or increasing returns to the accumulable factor, and the typical neoclassical steady state of the Solow model disappears. This model contributes to studies related to endogenous growth models and explains why capital accumulation generates sustained growth without a dominant exogenous technology. The research concludes that it supports the application of investment subsidies, incentives for capital accumulation, and institutional transformations that promote the partial assimilation of these external benefits.
Keywords: Capital accumulation; investment strategies; physical capital externalities; optimal control theory; economic growth.
Introducción
En las
economías en desarrollo, el proceso de acumulación de capital es un
determinante central de la capacidad de crecer y de cerrar las brechas
estructurales de ahorroinversión y de divisas. Vergil y Saidy (2025), muestran,
para el caso de Gambia, que los flujos de capital externo, especialmente la
inversión extranjera directa y las remesas, complementan el ahorro interno,
contribuyen a financiar la acumulación de capital y se asocian con un mayor
crecimiento económico cuando se analizan dentro del marco del modelo de doble
brecha de Chenery y Strout.
La capacidad de un país para atraer y gestionar inversiones extranjeras, va a
influir en cómo este crecerá y se desarrollará a futuro. Sin embargo, la falta
constante de ahorro interno y de divisas va a restringir el impacto real de
estos flujos de capital.
Un
requisito previo para el papel del stock
capital en el crecimiento económico es contar con mediciones consistentes y
comparables del stock de capital físico. En
tal sentido, un estudio reciente enfocado en China presenta una metodología
provincial mejorada que se basa en el sistema de inventario perpetuo e incluye
datos de inversión más exactos, tasas de depreciación que varían según el
activo y puntos de partida que se ajustan a la economía de cada región (Wang y Ma, 2024).
Este
estudio prueba que, al calcular con más precisión el inventario total de stock de capital, es posible describir con mayor
exactitud las diferencias en la capacidad de producción entre las regiones del
país. Además, estos datos permiten evaluar cómo contribuye realmente el stock del capital físico al crecimiento económico
de la región estudiada. Con esta base de datos empírica se pueden realizar
análisis más profundos que permitan crear estrategias adecuadas para la
política de inversión.
El
análisis de la economía de Iraq también arroja conclusiones consistentes con lo
antes mencionado, puesto que muestra que el ritmo de la inversión en capital
fijo tiene un gran impacto en el PIB (Producto Interno Bruto), por lo que se
confirma que existe una estrecha relación entre los niveles de inversión y el
resultado económico general del país (Dawood et al.,
2024). No obstante, el mismo estudio indica que el hecho de que la inversión se
concentre en pocos sectores, sobre todo en los relacionados con los
hidrocarburos, frena el impacto de esa inversión en la diversificación
productiva y en el crecimiento a largo plazo. Esto reafirma que el volumen de stock de capital es tan importante como también lo
es la manera en que este se distribuye y se asigna (Labarca
y Panchana, 2022; Dawood et al., 2024).
Los
trabajos antes mencionados llegan a una conclusión común: el incremento del stock de capital, ya sea mediante aportes externos,
inversión en activos fijos o por la expansión del capital físico medido con
precisión, es un motor fundamental del crecimiento económico. Sin embargo, su
efectividad final dependerá de las limitaciones intertemporales,
de la estructura productiva que tiene el país y de la forma en que se organiza
y dirige la inversión (Wang y Ma, 2024; Dawood et al., 2024; Vergil y Saidy, 2025).
En
este contexto, la teoría del control óptimo en tiempo continuo proporciona un
marco riguroso para modelar las decisiones dinámicas de inversión de la empresa
cuando el objetivo es maximizar el valor presente de los beneficios netos a lo
largo de horizonte infinito (véase, por ejemplo, el planteamiento formal en el
artículo base de economía matemática). En dicho enfoque, la empresa elige la
trayectoria de inversión I(t), que determina la evolución del stock de capital K(t) afectado por la depreciación
y por la productividad marginal del capital, de manera coherente con las
restricciones de acumulación y depreciación que están en la base de la medición
del stock de capital y de los vínculos
empíricos entre inversión y producto, documentados en China, Iraq y Gambia
(Wang y Ma, 2024; Dawood et
al., 2024; Vergil y Saidy, 2025).
El
modelo que se maneja en este caso se basa en la función de los beneficios
instantáneos que la empresa quiere obtener, los cuales van a depender de la
producción como función del capital y de un costo de inversión típicamente
convexo. Esto permite realizar la derivación de condiciones de primer orden
suaves y poner reglas de comportamiento interior para alcanzar o determinar la
inversión óptima. La incorporación en el modelo de la ecuación de estado del
capital, del precio sombra de este, y de la condición de transversalidad,
permite modelar trayectorias óptimas que tiendan al estado estacionario, en el
cual el producto marginal del capital sea igual al costo intertemporal
efectivo de mantener cada unidad adicional de capital.
El
marco teórico revisado ayuda a interpretar por qué las variaciones de stock de capital en la formación de capital fijo y
en los flujos de capital externo se traducen en cambios persistentes en el
producto (Wang y Ma, 2024; Dawood
et al., 2024; Vergil y Saidy,
2025).
El
objetivo de esta investigación es analizar la trayectoria óptima de inversión y
acumulación de capital en horizonte infinito mediante un modelo de control
óptimo en tiempo continuo, y discutir cómo las soluciones teóricas permiten
interpretar y complementar la evidencia empírica sobre flujos de capital,
medición del capital físico y formación de capital fijo en economías como
China, Iraq y Gambia (Wang y Ma, 2024; Dawood et al., 2024; Vergil y Saidy, 2025).
1.
Fundamentación teórica
1.1.
Acumulación de capital: Revisión de la literatura
La
evidencia reciente sobre Gambia, China e Iraq, coincide en que la acumulación
de capital es un canal central del crecimiento, pero también en que su impacto
depende críticamente de restricciones externas, espaciales y sectoriales. Vergil y Saidy (2025) muestran
que, en Gambia, los flujos de capital externo, en particular la inversión
extranjera directa y las remesas, complementan el ahorro interno, alivian la
restricción externa y se asocian positivamente con el PIB real de largo plazo
dentro del modelo de doble brecha; mientras que la brecha de ahorro resulta
estadísticamente insignificante y la informalidad laboral limita el aporte del
trabajo al crecimiento.
En
el caso de China se hizo una medición del capital físico a nivel de varias
provincias, y se pudo observar que el capital crece muy rápido; sin embargo,
este incremento se comporta de manera desigual entre las diferentes regiones.
El capital mayor se concentra en las provincias del este y la costa; mientras
que, las zonas centrales y occidentales se quedan en desventaja relativa (Wang
y Ma, 2024). Estos resultados indican que es
importante considerar en este tipo de analisis cómo
se comportan la distribución espacial del capital y las tasas efectivas de
depreciación. En el caso de Iraq, la inversión en activos fijos es beneficiosa
y relevante para el crecimiento del PIB; sin embargo, la fuerte dependencia del
sector petrolero reduce la capacidad de esa inversión para diversificar la
producción y, a la vez, hace al país más vulnerable frente a choques externos (Dawood et al., 2024).
Estos
estudios demuestran en general que el capital (ya sea por inversión extranjera,
aumento del capital físico o inversión en activos fijos) impulsa el
crecimiento, pero su impacto real se ve limitado por factores como la escasez
de divisas o el ahorro, las diferencias entre regiones, y por los sesgos de
inversión en determinados sectores (Wang y Ma, 2024; Dawood et al., 2024; Vergil y Saidy, 2025).
Los
resultados empíricos establecen la base para usar un modelo matemático óptimo
(en tiempo continuo), en el que la trayectoria de inversión I(t), así como la
evolución del capital K(t) se definen considerando la depreciación, las restricciones
intertemporales y el precio sombra del capital. Esto
permite reinterpretar los déficits externos, las diferencias regionales de
capital y los desequilibrios sectoriales como casos específicos de parámetros y
restricciones dentro de este problema dinámico.
1.2.
Capital físico como motor del crecimiento
La
acumulación de capital físico (infraestructura, equipamiento productivo,
instalaciones manufactureras y de servicios), es un determinante central del
crecimiento de largo plazo, al elevar la productividad marginal del trabajo y
la capacidad productiva agregada. En el marco neoclásico, trabajos pioneros
como los de Solow (1956; 1962) y Swan
(1956), subrayan que un aumento sostenido en la tasa de inversión en capital
físico permite incrementar el nivel de producto por trabajador y acelerar
temporalmente la tasa de crecimiento, especialmente en economías que parten de
un capital relativamente bajo (Solow, 1956; 1962; Agusalim et al., 2022).
La
evidencia empírica reseñada previamente, confirma, para diversos contextos, la
existencia de una relación positiva entre la Formación Bruta de Capital que
contiene la FBCF (Formación Bruta de Capital Fijo) y la variación de
existencias y el crecimiento del PIB real, (Kuznets y
Jenks, 1961).
Estudios
para Nigeria, Pakistán, varios países europeos, Japón, Corea del Sur y 18
economías asiáticas, muestran que una mayor formación de capital fijo bruto se
asocia con incrementos significativos de la producción, apoyando la tesis de
que la inversión en infraestructura y activos productivos es un canal clave
para impulsar el crecimiento económico (Sarel, 1996; Gibescu, 2010; Ali et al., 2012; Shuaib
y Ndidi, 2015; Boamah et
al., 2018; Ghosh, 2019; Khatoon
et al., 2021; Agusalim et al., 2022). Esta evidencia
es coherente con la visión planteada en la introducción, donde la trayectoria
I(t) y la dinámica de K(t) determinan el valor presente de los beneficios, y
sugiere que, empíricamente, muchos episodios de crecimiento han sido “investmentled”.
Sin
embargo, la revisión de literatura también puntualiza que el vínculo capital
físico–crecimiento no es universal ni automático. Para el caso de Singapur, Akalpler y Adil (2017) encuentran
que en el largo plazo la acumulación de capital físico no tiene un impacto
significativo sobre el crecimiento, debido a que una proporción importante de
la inversión se dirige a usos no productivos o con retornos muy reducidos, lo
que incluso puede desplazar recursos de actividades de mayor productividad (Akalpler y Adil, 2017; Agusalim et al., 2022).
Algunas
conclusiones parecidas se han encontrado en varios países del grupo BRICS y en
Sudáfrica. En estos lugares la inversión de capital no siempre resulta en
mayores tasas de crecimiento económico. Esto pone en duda la hipótesis de que
“más capital siempre es mejor” si no se tienen en cuenta la distribución por
sectores, la eficiencia y la calidad de los proyectos de inversión (Meyer y Sanusi, 2019; Rani y Kumar, 2019; Agusalim et al.,
2022).
Estas
observaciones concuerdan con lo siguiente: No basta con incrementar las
inversiones para lograr el desarrollo de un territorio, puesto que el valor
real del capital adicional va a depender del uso que se le asigne, de su
productividad y del análisis de los costos y beneficios en el tiempo.
1.3.
Capital humano, educación y salud
En
paralelo, desde un enfoque macroeconómico y del crecimiento endógeno, se ha
enfatizado el papel del capital humano como motor de la expansión del producto
y de la productividad total de los factores. Autores como Uzawa
(1965); Lucas (1988); Romer (1990); y, Mankiw et al. (1992), han argumentado que la acumulación de
habilidades, conocimientos y salud eleva la productividad del trabajo y del
capital físico, generando efectos de derrame tecnológico y de aprendizaje que
sostienen el crecimiento de largo plazo (Uzawa, 1965;
Lucas, 1988; Romer, 1990; Mankiw
et al., 1992; Agusalim et al., 2022).
La
evidencia reciente muestra que el capital humano puede incidir tanto en el
nivel de crecimiento como en su inclusividad. Para
África subsahariana, Oyinlola y Adedeji
(2019) documentan, que mayores niveles de capital humano se asocian con un
crecimiento más inclusivo; mientras que Raheem et al.
(2018), usando panel de 18 países, encuentran que el aumento del gasto público
en educación y salud impulsa el PIB per cápita (Raheem
et al., 2018; Oyinlola et al., 2021; Agusalim et al., 2022). Estos trabajos sugieren que, en un
modelo de control óptimo ampliado, el capital humano podría entrar no solo en
la función de producción F(K), sino también en la ecuación que describe la
productividad marginal del capital y, por tanto, en la dinámica del precio
sombra μ(t).
No
obstante, no todos los estudios encuentran un efecto directo y robusto. Para
China y Brunei Darussalam, por ejemplo, se reporta que los indicadores de
capital humano no guardan una relación estadísticamente significativa con el
crecimiento cuando se controla por otros factores, lo que lleva a argumentar
que su influencia puede ser indirecta, a través de la localización de inversión
física y de la estructura regional del crecimiento (Chi, 2008; Tahir et al., 2022; Agusalim et
al., 2022). En términos de modelización, esto implicaría que el capital humano
actúa sobre los parámetros de la función F(K) por ejemplo, sobre la eficiencia
tecnológica más que como un factor independiente fácilmente identificable en
regresiones estándar.
1.4.
Interacción y transición entre capital físico y humano
Galor y Moav (2004); y, Agusalim
et al. (2022), proponen un marco en el que, a lo largo del proceso de desarrollo,
el motor del crecimiento se desplaza desde la acumulación de capital físico
hacia la acumulación de capital humano. Por ejemplo, cuando un territorio en su
proceso de desarrollo aún no cuenta con mucho capital físico (infraestructura,
maquinaria, entre otros) pero tiene muchas oportunidades de inversión, cada
nueva obra hace que el rendimiento de ese capital físico sea alto. En esta fase
el dinero se va a concentrar en aquellas personas o grupos que suelen ahorrar
más e invertir en esas obras. Luego en etapas posteriores, el crecimiento ya no
dependerá tanto de nuevas inversiones en capital físico sino de la
complementación entre la tecnología y el talento, la preparación y las
habilidades de las personas. Por ello el capital humano se convertirá en el motor
principal y dominante del desarrollo económico.
Algunos
trabajos empíricos basados en datos de panel muestran que existe una
interdependencia entre ambas formas de capital. Amir-ud-Din et al. (2019), analizaron que la inversión en capital
físico puede facilitar el crecimiento del capital humano; mientras que, en el
proceso contrario, la influencia de la inversión en capital humano sobre el
incremento del capital físico no es simétrica, y dependerá del nivel de
ingresos y de las restricciones en los recursos.
Li et
al. (2015); y, Pomi et al. (2021), hallan, para China
y Bangladesh respectivamente, que el capital físico y humano contribuyen al
crecimiento, pero con eficiencias y tiempos de impacto diferentes, lo que
sugiere que la combinación óptima de inversiones cambia a lo largo del ciclo de
desarrollo. Para un modelo de control óptimo, esto se traduciría en un problema
de control con múltiples estados y controles, donde IK(t) e IH(t) se asignan intertemporalmente en función de retornos relativos que evolucionan
en el tiempo.
1.5.
Evidencia específica: Indonesia impulsada por el capital físico
Sobre
esta base, Agusalim et al. (2022) plantean su
pregunta central: ¿está la economía de Indonesia impulsada principalmente por
el capital físico o por el capital humano? Estos autores, utilizando datos de
panel para 33 provincias durante un periodo de ocho años (2010–2018), evaluaron
modelos donde se observó de forma general que el ingreso per cápita de cada
región se explica en su conjunto por la formación de capital fijo per cápita y
por indicadores de capital humano (índice de capital humano, años promedio de
escolaridad, esperanza de vida). En los modelos aplicados se utilizaron
técnicas apropiadas para considerar las diferencias entre las regiones.
Sin
embargo, los autores especifican que en este país el modelo de crecimiento
actual se apoya más fuertemente en la acumulación de capital físico, pero no se
sustenta necesariamente en una mejora generalizada y uniforme del capital
humano (educación, habilidades), ni tampoco en el reparto equitativo de los
beneficios generados.
Desde
el punto de vista de la teoría de control óptimo, el caso de Indonesia puede
verse como una economía que aún está en la etapa donde la trayectoria óptima de
I(t) va a favor de que se invierta más en capital físico que en la educación.
Esto se debe en parte a que la productividad marginal que se obtiene de
invertir más en educación, de la forma en que se está implementando
actualmente, o es muy baja o no se está utilizando de manera realmente
eficiente. En contraste, la variable educativa medida por años promedio de
escolaridad no resulta significativa cuando se incluye el conjunto completo de
controles, lo que los autores asocian a ineficiencias en el gasto público en
educación y a la falta de alineación entre recursos invertidos y resultados de
aprendizaje (Agusalim et al., 2022).
El
diagnóstico se refuerza con evidencia descriptiva sobre la posición de
Indonesia en el Índice de Capital Humano del Banco Mundial y sobre la
distribución del ingreso: a pesar de registrar tasas de crecimiento
relativamente altas, el país se mantiene en el grupo de ingreso medio bajo y
muestra una desigualdad significativa, con una alta concentración de la riqueza
en el percentil superior (Agusalim et al., 2022).
Esto sugiere que el patrón de crecimiento está apoyado en un fuerte componente
de acumulación de capital físico, como una condición necesaria más no
suficiente, puesto que de forma complementaria e ineludible se requiere de una
mejora amplia y homogénea del capital humano, para lo cual se necesita de una
distribución equitativa de los beneficios del crecimiento.
Para
el marco de control óptimo, el caso indonesio puede interpretarse como una
economía que se encuentra en una fase donde la senda óptima de I(t) se inclina
todavía hacia la inversión en capital físico, en parte porque la productividad
marginal de mejoras adicionales en educación (tal como se implementa hoy) es
baja o mal aprovechada. En términos del modelo, el “precio sombra” del capital
físico μ(t) seguiría siendo relativamente alto; mientras que el “precio sombra”
implícito del capital humano educativo sería reducido por problemas de calidad
y de diseño de políticas.
Luego
de la revisión de la literatura, se confirma primero que la acumulación de
capital físico sigue siendo un motor importante del crecimiento en economías en
desarrollo, pero advierte que su impacto depende de la eficiencia y del destino
de la inversión (Agusalim et al., 2022). En segundo
lugar, se muestra que la formación de capital humano puede tener efectos
significativos sobre el crecimiento, pero si la calidad del gasto no es la
adecuada, la educación no siempre va a generar retornos económicos visibles. De
esto se deriva que los parámetros del modelo, relacionados con la función de
beneficios, deben considerar no solo las cantidades de gasto, sino también su
eficiencia.
En
tercer lugar, los marcos teóricos revisados indican que la combinación óptima
de capital físico y humano va a evolucionar en el tiempo, por tanto, es
importante aplicar un enfoque de control óptimo para decidir en cada momento
cómo invertir entre los distintos tipos de capital para conseguir la mayor
cantidad de beneficios.
El
modelo de control óptimo permite explicar la razón por la cual, en países como
Indonesia, el comportamiento de las inversiones se ha centrado principalmente
en el capital físico. Además, logra identificar qué cambios en la estrategia de
inversión, por ejemplo, destinar más recursos a la salud y elevar la calidad
del gasto en educación, van a propiciar que se obtengan soluciones más
eficientes y equitativas a largo plazo, para el desarrollo de un territorio.
2.
Metodología
La investigación se desarrolla mediante un enfoque teórico–analítico sustentado en la teoría del control óptimo en tiempo continuo y en los principios de la programación dinámica, siguiendo la estructura metodológica expuesta por Chiang y Wainwright (2006). El punto de partida consiste en formular rigurosamente el problema de maximización intertemporal de los beneficios de la firma como un programa de control óptimo autónomo. Se plantea que la empresa elige una variable de control u(t), habitualmente la inversión neta o el gasto de inversión que determina la evolución de la variable de estado K(t), el capital productivo. La formulación básica adopta la estructura estándar:
Sujeto
a la ecuación de movimiento de capital:
Donde Π(K,u) representa la función de beneficio corriente
neto, y, r> 0 la tasa de
descuento intertemporal. Esta formulación coincide
con el esquema general de los problemas autónomos analizados en el artículo,
donde la dinámica de la variable de estado está completamente determinada por
la elección de la variable de control. Con este planteamiento se construye el Hamiltoniano en valor corriente:
Se
introduce la variable de coestado μ(t), que mide el valor sombra de una unidad
adicional de capital. Se aplican las condiciones del Principio del Máximo de Pontryagin, que constituyen el núcleo de la metodología. La
maximización puntual del Hamiltoniano exige que la
trayectoria óptima del control cumpla:
(condición de máximo en caso de
restricciones sobre u).
Mientras
que las ecuaciones de movimiento del sistema hamiltoniano
quedan dadas por:
A
estas ecuaciones se suma la condición de transversalidad apropiada para
problemas de horizonte infinito:
Lo
cual garantiza la no existencia de oportunidades de “arbitraje dinámico” y
descarta trayectorias no óptimas que impliquen acumulación infinita o
descapitalización ineficiente. Este conjunto de ecuaciones define un sistema
dinámico autónomo en las variables K(t) y μ(t).
Para
su estudio se procede a reducir el sistema a estas dos ecuaciones diferenciales
y, siguiendo la metodología cualitativa de Chiang y Wainwright (2006), se determinan los estados estacionarios
resolviendo simultáneamente:
K ̇=0, μ ̇=0.
Ello
conduce a la caracterización de los puntos (K*, μ*) que satisfacen:
Donde
μ* resulta de la condición de máximo del Hamiltoniano evaluada en el equilibrio. Una vez
identificado el estado estacionario, se realiza una linealización
local del sistema mediante el Jacobiano asociado a
las ecuaciones K*, μ*, lo que permite evaluar la estabilidad
del equilibrio. En la mayoría de los modelos económicos con control óptimo, la
estructura del sistema genera un punto silla, cuya trayectoria estable define
el único sendero que conduce a la solución óptima, de manera análoga al
análisis a través de diagramas de fase.
Con
el sistema dinámico caracterizado, la investigación procede a especificar
formas funcionales particulares que permiten obtener soluciones cerradas o semiexplícitas. Por ejemplo, una función de producción
lineal o cóncava F(K) junto con un costo de inversión
convexamente creciente C(u) permite escribir:
De
modo que el Hamiltoniano toma la forma: 
La
condición de primer orden para el control se expresa como:
Lo
que permite reemplazar μ
en la ecuación de coestado y obtener un sistema
autónomo en K y u. Bajo estas condiciones se puede hacer la
derivación de las trayectorias analíticas del par K(t), u(t), lo que sería la solución clara del
estado estacionario:
Además,
se pueden realizar ejercicios de estática comparativa para observar cómo las
variaciones en la tasa de descuento, la productividad marginal del capital o el
costo de la inversión, influyen en la posición del equilibrio y en las
trayectorias óptimas. Cuando la complejidad de las funciones no permite obtener
una solución matemática exacta, el sistema se resuelve mediante las técnicas de
integración numérica detalladas en este capítulo. Esto permite modelar con
buena precisión la trayectoria óptima, para garantizar que los resultados
tengan una interpretación económica que sea coherente y lógica.
Así,
el método de investigación integra de manera coherente la formulación
matemática rigurosa del problema de optimización, la derivación formal de las
condiciones del Principio del Máximo, el análisis dinámico de estabilidad y el
uso de soluciones explícitas o numéricas, proporcionando una caracterización
completa del comportamiento óptimo intertemporal de
la empresa.
3.
Resultados y discusión
3.1.
Modelo de crecimiento con externalidades de capital
En
el modelo neoclásico estándar, la función de producción presenta rendimientos
decrecientes al capital físico y el crecimiento de largo plazo viene solo del
progreso tecnológico exógeno. En el modelo con externalidades de capital
físico, el capital de cada firma genera derrames (spillovers) que elevan la productividad
agregada, de modo que a nivel de economía hay rendimientos constantes o
crecientes al capital. Una formulación típica es:
1.
A nivel de firma: 
con 
2.
A nivel agregado: 
donde 
recoge la externalidad del capital agregado; si
se obtiene un modelo AK en términos agregados.
3.2.
Efectos de las externalidades de capital
Debido
a los efectos que generan las externalidades del capital físico, el crecimiento
económico a largo plazo de un territorio va a depender en gran medida de los
niveles de inversión que se alcancen. Esto ocurre porque el capital no solo
elevaría la producción de manera directa, sino que también mejoraría la
productividad de la economía en su conjunto y, además, se generarían beneficios
para la sociedad. Como los beneficios sociales son mayores que los que obtienen
los inversionistas privados, entonces se justifica la aplicación de políticas
de subsidio para incentivar la inversión y la acumulación de capital.
a.
Función de la producción
Cada
empresa tiene su función:
La
cual es equivalente a:
Donde
los parámetros son: α > 0, muestra la elasticidad del
capital; φ > 0, corresponde a la fuerza de la
externalidad que proviene del capital físico; y, β > 0, es la elasticidad que concierne al trabajo
efectivo.
Rendimientos a escala:
1.
Si RTS=1:
indica que el crecimiento es balanceado.
2.
Si RTS > 1:
significa que los rendimientos crecientes son mayores que el crecimiento
endógeno acelerado.
b.
Acumulación de capital
Con
tasa de ahorro constante s y depreciación δ:
c.
Variables por unidad de trabajo efectivo
Se
define: 
Usando
la regla de cociente:
Sustituyendo:
1. Si α+ φ+ β=1:
Dinámica
cerrada tipo Solow modificado.
2.
Si α+ φ+ β>1: El término (At Lt) aparece con exponente positivo, no
hay estado estacionario, sino crecimiento acelerado por externalidades.
d.
Interpretación económica
1.
La condición α+ φ+ β>1 implica que duplicar todos los factores
genera más del doble de producción.
2.
El crecimiento a largo plazo va a depender de factores como el ahorro, la
inversión y del tamaño del capital, y no solo de la tecnología.
3.
Los subsidios a la inversión van a estar justificados puesto que el rendimiento
social del capital es mayor que los beneficios obtenidos por el inversionista
privado.
En
la Figura I, se observa cómo las externalidades positivas del capital físico
influyen en el crecimiento económico según el modelo neoclásico estándar.
Cuando la elasticidad agregada del capital tiene un valor inferior a uno (α + ϕ <1), este modelo mantiene la
estructura básica de Solow-Swan, o sea, va a existir
un estado estacionario estable y las externalidades solo van a elevar el nivel
del capital de largo plazo, sin que por ellos se afecte la tasa de crecimiento.
En el caso límite α + ϕ =1, la tecnología agregada adopta la
forma AK, desaparece el estado estacionario en niveles y la economía crece de
manera sostenida a una tasa endógena determinada por la inversión. Si las
externalidades son suficientemente fuertes (α + ϕ > 1), surgen rendimientos crecientes a
escala, lo que genera crecimiento acelerado, ausencia de convergencia y fuerte
dependencia de las condiciones iniciales.
Fuente: Elaboración propia, 2026
basada en Romer (1986); y, Barro y Sala-i-Martin
(2004).
Figura I: Externalidades de capital y dinámica del
crecimiento económico
Los
diagramas de fase del problema de optimización muestran que, aun en presencia
de externalidades, el equilibrio dinámico es un punto de silla con una única
senda estable. La externalidad del capital eleva el rendimiento social de la
inversión, incrementa el nivel óptimo de capital y amplifica la respuesta de la
economía a cambios en parámetros y políticas. En conjunto, la Figura I resume
el tránsito desde la convergencia neoclásica hacia el crecimiento endógeno
impulsado por la acumulación de capital.
e.
Problema de optimización de la empresa
Tecnología:
1.
Estado: K(t).
2.
Control: μ(t) (inversión neta).
Dinámica
del capital: 
Beneficio
corriente: 
Problema:
Sujeto
a: 
f.
Hamiltoniano y condiciones de máximo
Hamiltoniano:
1.
FOC para el control 
2.
Ecuación de estado 
3.
Coestado 
4.
Transversalidad 
g.
Sistema dinámico reducido
Usando :
Sistema autónomo:
h. Estado estacionario
Sustituyendo:
i.
Estabilidad
La
linealización del sistema (K, u) ̇alrededor de (K*, u*) produce típicamente un punto de
silla. La externalidad del capital (φ>0) hace que:
1.
El nivel de capital óptimo K* sea mayor.
2.
La economía reaccione fuertemente a cambios en s, r, α, φ, β o el costo de inversión.
La
diferencia clave frente al caso neoclásico es que, con α + φ + β > 1
,
la productividad marginal del capital cae más lentamente (o incluso puede
aumentar), de modo que:
1.
El K* de la
firma puede ser mayor (mayor capital óptimo).
2.
Cambios en el parámetro de externalidad pueden generar grandes desplazamientos
en el equilibrio y en las trayectorias óptimas K(t),u(t).
Esto
permite, siguiendo el esquema metodológico, hacer estadística comparativa
dinámica sobre r,φ,α,β o el costo de inversión C´(∙), siempre con interpretación
clara: la externalidad de capital físico potencia la acumulación y el
crecimiento óptimo de la empresa.
La
literatura sobre crecimiento endógeno ofrece un marco sólido para sustentar
teóricamente tu modelo AK con externalidades de capital físico y rendimientos
crecientes a escala. A continuación, se presenta una disertación sintética.
3.3.
De Solow a Romer: de
rendimientos decrecientes a crecimiento endógeno
El
modelo clásico de Solow parte de las condiciones de Inada (1963) de que el capital físico tiene rendimientos
decrecientes. Esto significa que, si no hay avances tecnológicos externos, la
economía inevitablemente va a estancarse alcanzando un estado estacionario (steady state), y deja de crecer
la producción por trabajador. Según esta circunstancia, el crecimiento a largo
plazo solo depende de la tecnología, que es un factor externo, y no de las decisiones
económicas internas.
Por
su parte, Romer (1986) cambió esta visión y añadió el
concepto de “capital ampliado” el cual, además del capital físico, incluye el
conocimiento (fórmulas, diseños, software,
experiencia, entre otros). Esto permite que, a nivel global de la economía,
este tipo de capital genere rendimientos que no van a decrecer puesto que el
conocimiento multiplica el valor e incrementa los beneficios económicos y
sociales. Su idea principal es que cada inversión individual crea conocimientos
que contribuyen al resto de la economía mediante el efecto de derrame (spillover). Estos efectos
no son considerados por el inversor individual, pero sí modifican la tecnología
de toda la economía, lo que posibilita la existencia de un crecimiento sostenido
sin tener que depender de una tecnología puramente externa.
En
el modelo que se propone, la función de producción de la firma se puede
expresar como:
Donde:
α>0 mide el efecto
"privado" del capital de la firma; φ>0 muestra la fuerza de la externalidad que
proviene del capital físico; β>0 es la elasticidad que corresponde al trabajo efectivo.
Si
a nivel de firma se imponen rendimientos constantes “privados” y a nivel
agregado se tiene α+φ+β>1, la economía exhibe rendimientos
crecientes a escala, situándose en la tradición de los modelos AK con
externalidades de capital.
Romer (1986) muestra que, cuando la tecnología
agregada puede aproximarse por una forma Y = AK, donde K incorpora capital físico
y/o conocimiento, la tasa de crecimiento de largo plazo viene dada por gY =sA - δ, dependiendo directamente de la
tasa de ahorro/inversión y no solo de un proceso tecnológico exógeno.
En
la formulación que se presenta en este trabajo, el límite donde α+φ=1 y β=0 resulta exactamente en una tecnología de tipo AK agregada, Esto
permite un crecimiento endógeno sostenido siempre que se cumpla que sA > δ. La clave de esta interpretación es que la externalidad de capital (φ) impide la caída de la
productividad marginal que caracteriza al modelo de Solow.
Por lo tanto, en lugar de estancarse en un estado estacionario clásico, la
economía sigue una ruta de crecimiento estable impulsada por las decisiones de inversión
y acumulación.
3.4.
Evidencia empírica sobre las externalidades del capital
Un
debate central es si las externalidades de capital son relevantes en la
práctica y de qué tipo son (físicas, humanas, de I+D, entre otros). Mankiw et al. (1992), demostraron que, si se expande el
modelo de Solow para incluir el capital humano, esto
explicaría mejor las diferencias de ingresos entre países. Sin embargo, este
modelo mantiene los rendimientos decrecientes para cada tipo de capital por
separado. Más tarde, autores como Klenow (2004),
argumentaron que hay poca evidencia de que el capital físico puro mantenga
rendimientos constantes, y que los rendimientos no decrecientes se observan más
bien en agregados más amplios que combinan el capital físico con el humano.
Por
su parte, Greiner y Semmler
(2002) elaboró un modelo integrando criterios de Uzawa
(1965); Romer (1986); y, Lucas (1988), donde la
inversión en capital físico crea beneficios externos que se traducen en
acumulación de “capital conocimiento”, siempre que haya inversión en educación.
Este modelo respalda la idea de que la inversión privada en capital físico
puede generar beneficios sociales mayores que los que obtienen los inversores
privados, esto debido a los efectos de derrame, ya sea tecnológico o de
aprendizaje, lo que justifica que el parámetro φ sea mayor que cero y muestre la fuerza de la
externalidad que proviene del capital físico.
Otras
investigaciones sobre el capital humano también confirman que existen
externalidades positivas que están asociadas al nivel de escolaridad promedio
de la población, y que esto influye en el aumento de la productividad de la
colectividad. Aunque estos trabajos se enfocan más en el capital humano, el
principio es el mismo: la acumulación de factores “ampliados” produce efectos
colectivos que superan el retorno privado, lo que hace que las funciones de
producción sean, en la práctica, similares y cercanas al modelo AK.
3.5.
Dinámica del capital efectivo y ruptura del Solow
clásico
Al
formular la dinámica del capital por trabajador efectivo 
se obtiene una ecuación de la forma:
Bajo
la hipótesis α + φ + β > 1, el término 
crece en el tiempo porque tecnología y
población crecen exógenamente, de modo que la ecuación no se “cierra” solo en
función de kt
y desaparece el estado estacionario tradicional de Solow.
La economía puede converger a trayectorias de crecimiento acelerado, donde el
crecimiento del insumo efectivo amplifica los efectos de la acumulación de
capital.
Los
economistas Barro y Sala-i-Martin han organizado y analizado este tipo de
modelos, y han demostrado que, cuando la economía presenta rendimientos
constantes o crecientes sobre la acumulación total de factores, la tasa de
crecimiento de largo plazo puede ser afectada por la tasa de inversión y por
las decisiones de política económica, a diferencia de lo que ocurre con el
modelo de Solow. Este resultado es lo que justifica
el estudio de modelos donde la inversión en capital físico produce
externalidades. Dichos modelos abren la puerta para que las políticas que
cambian la tasa de ahorro o promueven la acumulación de capital puedan generar
efectos permanentes en la tasa de crecimiento de la economía.
3.6.
Control óptimo, rendimientos crecientes y política económica
Desde
el punto de vista de los microfundamentos, el modelo
que se presenta, plantea un problema de control óptimo donde la empresa elige
una trayectoria de inversión u(t) que determina la dinámica del capital:
Maximizando
el valor presente de beneficios:
La
condición de primer orden para el control vincula el multiplicador de coste de
oportunidad del capital μ(t) con el coste marginal de inversión C′(u); mientras
que la ecuación de coestado 
incorpora explícitamente la productividad
marginal del capital, amplificada por α+φ y por 
.
En
el modelo neoclásico estándar, la condición de optimalidad
en el estado estacionario implica que 
. Sin embargo, en el modelo actual,
el término 
incluye el beneficio de la externalidad
de capital físico, lo que significa que el nivel óptimo de capital en este caso
puede ser más alto. En este último modelo las trayectorias ideales de
crecimiento van a ser mucho más sensibles a cualquier cambio en variables como
la externalidad (φ), la tasa de ahorro (s), la tasa de descuento (r), o el
costo de invertir. Esto va a influir de manera clara en la política económica:
si el beneficio social total que genera una inversión (que incluye φ) es mayor que el rendimiento que
recibe el inversor privado, entonces se justifica la implementación de
subsidios para incentivar la inversión y de políticas que impulsen la
acumulación de capital y, además, se respalda el diseño de instituciones que
asimilen parte de esas externalidades.
Al
analizar la evolución del sistema K,u en el punto de equilibrio hacia el
cual este tiende a moverse (sistema estacionario) se obtiene el llamado punto
de silla, el cual incluye una trayectoria estable que indica las rutas ideales
para que un país crezca de forma óptima. Sin embargo, cuando una economía es
capaz de producir cada vez más, gracias a los beneficios del conocimiento y la
tecnología, esta se vuelve muy vulnerable a los cambios permanentes en las
decisiones del gobierno o en la intensidad de las externalidades, lo que puede
alterar de forma drástica su futuro. Esta sensibilidad explica que existan las
llamadas divergencias condicionadas, o sea, la razón por la cual aquellos
países que parecen similares presentan diferencias en sus tasas de inversión o
en la solidez de sus instituciones, y como resultado tienen niveles de riqueza
tan diferentes.
Conclusiones
Este
modelo de crecimiento con externalidades de capital físico demuestra que los
derrames del capital agregado generan rendimientos constantes (α+ φ=1) o crecientes (α+ φ>1) a escala, rompiendo el estado estacionario del Solow neoclásico. La tasa de crecimiento de largo plazo
depende endógenamente de la tasa de ahorro/inversión s, la depreciación δ y la intensidad de la externalidad φ, con ecuaciones dinámicas como 
que implican trayectorias de crecimiento
balanceado o acelerado. Microfundado vía control
óptimo, el equilibrio óptimo eleva el capital K* por encima del nivel privado,
justificando subsidios a la inversión puesto que el rendimiento social excede
al privado.
El
modelo de crecimiento con externalidades de capital físico muestra que la
acumulación de capital de cada firma no solo incrementa su propia producción, sino
que genera derrames (spillover) positivos sobre la
productividad del resto de la economía, de modo que, cuando a nivel agregado se
cumple que la suma entre la elasticidad privada del capital y la intensidad de
la externalidad es igual o superior a uno, la tecnología efectiva se aproxima a
un esquema tipo AK con rendimientos constantes o crecientes al factor
acumulable y desaparece el estado estacionario neoclásico típico del modelo de Solow, pasando la tasa de crecimiento de largo plazo a
depender directamente de la tasa de ahorro e inversión, de la depreciación y
del parámetro de externalidad, como en la tradición inaugurada por Romer, en la que el crecimiento deja de estar anclado
exclusivamente en un progreso tecnológico exógeno para ser explicado por
decisiones internas de acumulación y aprendizaje.
En
este marco, la dinámica del capital por unidad de trabajo efectivo se
transforma en una ecuación donde el término asociado al capital aparece con
exponente no decreciente, lo que impide la convergencia a un único nivel
estacionario de capital y abre la posibilidad de trayectorias de crecimiento
balanceado o incluso acelerado, coherentes con la idea, desarrollada por Barro
y Sala i Martin
en la literatura de crecimiento endógeno, de que cuando existen rendimientos no
decrecientes a un agregado de factores acumulables, la tasa de crecimiento de
largo plazo se vuelve sensible y permanentemente afectable por parámetros de
política como la tasa de inversión o el tratamiento fiscal del capital.
El
modelo enriquece la tradición endógena al enfatizar externalidades de capital
físico puro, más allá del conocimiento o del capital humano, explicando por qué
la acumulación de capital genera crecimiento sostenido sin tecnología exógena
dominante. Ruptura con Solow: evita rendimientos
decrecientes agregados, haciendo el crecimiento sensible a políticas de
inversión, con evidencia sobre divergencias condicionadas por s y φ.
Este
modelo confirma que, debido al efecto de derrame que genera el capital físico
se incrementan los beneficios sociales del capital, y esto justifica la
necesidad de las intervenciones estatales. Un sistema económico con equilibrio
inestable indica una alta sensibilidad a cambios en las tasas de interés (r), a los costos de inversión o a la
externalidad φ. Esto permite comprender por qué existen
diferencias de crecimiento en regiones como América Latina.
Asimismo,
el modelo permite validar la aplicación de políticas procíclicas
en un medio influido por las externalidades, y se observa un vínculo entre las
decisiones microeconómicas de las empresas y el crecimiento macroeconómico
endógeno de un país.
La
conclusión de este trabajo respalda la justificación normativa de los subsidios
a la inversión, los incentivos a la acumulación de capital, y los cambios
institucionales que promuevan la internalización parcial de esos beneficios
externos.
El
aporte principal del modelo se resume en lo siguiente: Primero, justifica por
qué la tasa de crecimiento de largo plazo depende de la inversión y de la
intensidad de las externalidades del capital físico y no solo del avance
tecnológico externo. Y segundo, permite comprender por qué se generan altos
retornos sociales cuando se invierte en capital físico y en conocimientos. El
uso de la estadística comparativa dinámica propició analizar cómo las
diferencias en la aplicación de las políticas de inversión, en la calidad de
las instituciones o en la intensidad de los derrames, conlleva a trayectorias
de crecimiento muy diferentes entre países o regiones.
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