Universidad del Zulia - Facultad de Humanidades y Educación
Encuentro Educacional
e-ISSN 2731-2429 ~ Depósito legal ZU2021000152
Vol. 31 (1) enero - junio 2024: 80-100
Conocimiento de estudiantes acerca del significado de la definición
de límite de funciones de una variable
Pedro José Colina Pérez y Yaritza Josefina Romero Rincón
Departamento de Matemática. Facultad de Ingeniería. Universidad del Zulia.
Maracaibo - Venezuela
https://orcid.org/0000-0002-9245-2156; https://orcid.org/0000-0002-5608-5715
pcolina7@gmail.com; yaritzarr@hotmail.com
Resumen
La comprensión de los símbolos, el uso adecuado de los signos, su significado y correcta
interpretación, representa una dificultad en la construcción de conceptos matemáticos y buen
desempeño de muchos de los aprendices en todos los niveles educativos. El propósito del
trabajo fue analizar el conocimiento de los estudiantes acerca del significado de la definición
de límite de funciones de una variable, una vez sometidos a situaciones didácticas y procesos
de evaluación. Se sustentó en los postulados de Godino (2023, 2018) e investigaciones de
Colina y Romero (2021), Rojas (2015), Distefano, Pochulu y Font (2015), entre otros. Se
enmarcó dentro del paradigma interpretativo y metodología cualitativa, con método
fenomenológico La muestra estuvo constituida por alumnos de la asignatura Calculo I, de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia. La recopilación de información se realizó
mediante una entrevista semiestructurada, con la observación directa en situaciones didácticas
de clases, transcritas textualmente en matrices de unidades de análisis. Se concluye que los
estudiantes, en su mayoría, no lograron los significados matemáticos adecuados a los
propósitos educativos en el tema bajo estudio, desde el simbolismo y la interpretación de los
signos, tanto en la definición de límite como gráficamente y aplicaciones. Se recomienda la
construcción de teorías para aportar nuevas formas de enseñanza de la definición de límite de
funciones de una variable a partir del enfoque ontosemiótico.
Palabras clave: Matemática; límite de funciones; cognición; simbología; enfoque
ontosemiótico.
Students' cognition about the meaning of the
definition of limit of functions of one variable
Abstract
The understanding of symbols, the appropriate use of signs, their meaning and correct
interpretation, represents a difficulty in the construction of mathematical concepts and good
performance of many learners at all educational levels. The purpose of the work was to
analyze the students' knowledge about the meaning of the definition of the limit of functions
of a variable, once subjected to didactic situations and evaluation processes. It was based on
the postulates of Godino (2023, 2018) and research by Colina and Romero (2021), Rojas
(2015), Distefano, Pochulu and Font (2015), among others. It was framed within the
interpretive paradigm and qualitative methodology, with a phenomenological method. The
sample was made up of students from the Calculus I subject, from the Faculty of Engineering
of the University of Zulia. The collection of information was carried out through a semi-
structured interview, with direct observation in didactic classroom situations, transcribed
verbatim into matrices of units of analysis. It is concluded that the students, for the most part,
did not achieve the mathematical meanings appropriate to the educational purposes in the
topic under study, from the symbolism and interpretation of the signs, both in the definition of
limits and graphically and applications. The construction of theories is recommended to
provide new ways of teaching the definition of the limit of functions of a variable from the
ontosemiotic approach.
Keywords: Mathematics; function limit; cognition; symbology; ontosemiotic approach.
Introducción
La comprensión de los símbolos, el uso adecuado de los signos, su significado y correcta
interpretación, la codificación y las reglas que lo definen, representa una dificultad en la
construcción de conceptos matemáticos y buen desempeño de muchos de los aprendices en
todos los niveles educativos, como lo expresan Abreu Da Silveira (2017) y Vergnaud (1998),
y por ende, también lo es en los estudiantes de ingeniería, donde los programas de estudio
contienen muchas unidades curriculares con contenidos y aplicaciones matemáticas, que
intervienen en los pensum de sus diferentes escuelas.
Es pertinente destacar que, en el área de la ingeniería, es fundamental para el cálculo
diferencial el tema sobre el límite de funciones de una variable. En referencia a su definición,
se desea verificar si el aprendiz posee una noción intuitiva, destacando de la definición formal
matemática, la serie de expresiones y elementos simbólicos que guardan su significado y
representación gráfica.
Ahora bien, en el cálculo diferencial por ser parte de la matemática, emplea un lenguaje
poseedor de normas y reglas de escritura, que posibilitan obtener un significado adecuado de
su simbología, lo cual permite afirmar la interpretación de la semiótica, expresada a través de
sus signos, representación y traducción en significado, siendo necesario para la comprensión
de los estudiantes, conocer y reconocer su significado, y permitir la construcción de los
conceptos de forma correcta, como acto previo a la interpretación, destacan Colina y Romero
(2021). La buena internalización de los signos, permite a su vez realizar una correcta
traducción del lenguaje matemático al coloquial, pero hacerlo de forma deficiente hace que
las nociones aprendidas no sean capaces de expresar correctamente las ideas matemáticas.
Razón por la cual, el presente estudio tiene relación con el lenguaje matemático, desde su
simbología y significado semiótico, con la finalidad de identificar los conocimientos
asimilados por los alumnos o las nociones que logran captar acerca del tema límite de
funciones de una variable, expresado a través de la comprensión de su definición, simbología
empleada, propiedades o aspectos relevantes, su representación mediante una gráfica,
procedimientos numéricos para el cálculo de valores, interpretación de estos aspectos y
aplicaciones a problemas físicos, después de estar expuesto a los contenidos respectivos.
El artículo se orientó bajo la teoría del enfoque ontosemiótico y la categorizaciones
realizadas por Colina (2017), con base a la teoría de Godino (2018), dirigida exclusivamente a
unidades curriculares con contenidos matemáticos, aplicado a estudiantes de la Facultad de
Ingeniería, de la Universidad del Zulia, cursantes de los primeros semestres.
Es oportuno resaltar que los significados educativos institucionales manejados por los
aprendices, deben estar basados en bibliografías referenciales y orientaciones dadas por los
docentes. En tal sentido, el presente trabajo tuvo como propósito analizar el conocimiento de
los estudiantes acerca del significado de la definición de límite de funciones de una variable,
una vez sometidos a situaciones didácticas y procesos de evaluación.
Fundamentación teórica
Existen diferentes autores que parten de la definición de signo y sobre él desarrollan su
significado, considerando el contexto donde estén inmersos. En tal sentido, el signo pasa a ser
símbolo cuando un sujeto posee una interpretación y representa un objeto, “un símbolo es un
signo que perdería el carácter que lo convierte en signo si no hubiera interpretante” (Peirce,
2001:59). Además, expresa este autor que la naturaleza de los símbolos puede tener diferentes
significaciones, la que representa y lo que representa para quien lo interpreta.
Con relación a la estructura de la semiótica, Colina y Romero (2021), establecen que existe
el signo siempre que un grupo humano decide usar una cosa como vehículo de cualquier cosa.
Estos autores añaden que, para colecciones de personas de diferentes grupos sociales, pueden
dar origen a diferentes significados para un mismo signo; de acuerdo a la función social a
cumplir, determinado signo dentro del grupo social en donde encuentre y según la cultura
donde está referido el signo, expresa el objeto semiótico de una semántica es ante todo el
contenido, no el referente, y el contenido hay que definirlo como una unidad cultural.
Es de considerar para el caso de entidades abstractas, que no poseen la ayuda de su objeto
físico permita describir alguna característica o asociarla a un ente físico, el grado de
complejidad para integrarlo a la estructura mental se hace en base a una entidad abstracta.
Destaca Colina (2017), que aun admitiendo el referente sea una entidad concreta y particular
se debe resolver la situación del problema del significado de aquellas expresiones no pueden
corresponder con un objeto real. Es aquí donde entra en juego el lenguaje matemático, al
definir muchas veces entidades abstractas.
En el caso de la matemática, como cualquier otro lenguaje de signos, donde se asignan
propiedades a las palabras junto con su significado como características, cualidades que de
acuerdo al contexto permite comprender la situación referente, a lo cual exponen Aznar et al.
(2016), en el trabajo matemático, los símbolos, significantes, remitentes que están en lugar de
las entidades conceptuales, son los significados; además plantean en su teoría el hecho de
conseguir un lenguaje lógicamente perfecto, en referencia al problema de la relación existente
entre los pensamientos, palabras y proposiciones, y a su referente o significante;
argumentando que este problema pertenece a la epistemología.
Por otra parte, en el lenguaje materno existen palabras con diferentes significados, por lo
cual se remite a la situación del contexto para establecer la interpretación adecuada y
pertinente de ese caso, en el uso del lenguaje matemático ocurre algo similar, incluso en un
saber institucionalizado para establecer el significado correctamente adecuado hay referencia
al contexto donde se aplica una definición o propiedad matemática. También ocurre que una
misma expresión pudieran tener significados diferentes para grupos sociales, profesionales, de
niveles educativos diferentes.
Rojas (2015), expone que en toda actividad matemática, el estudiante debe recurrir a la
trasformación de signos dentro de sistemas semióticos, culturalmente dados, lo que sería para
nosotros la parte institucional, por lo tanto, esto hace al aprendizaje de las matemáticas sea,
una actividad semiótica. Afirma que, en las actividades matemáticas puede darse la situación
de algunos alumnos, al interpretar o hacer una representación simbólica de un objeto
matemático, le asignan un cierto sentido, de manera acertada, logrando realizar de manera
adecuada transformaciones a dicha representación, en el respectivo sistema simbólico de
representaciones, obteniendo otra representación del objeto, a la cual le asignan un nuevo
sentido, pero ocurre que no son capaces de relacionarla con la anterior.
Este conjunto de prácticas refiere al estudiante a dos tipos de objetos emergentes de esa
socialización. Según Godino (2023), estas inciden en el grado de comprensión de un
concepto, tema o situación. Para esta investigación se refiere a un objeto matemático
institucional, diremos que el alumno ha captado el concepto de límite de funciones de una
variable si es capaz de reconocer: su definición, los elementos que la componen, su
simbología, interpretar qué ocurre en sus diferentes situaciones, saber los procedimientos de
obtención de un resultado numérico y su representación gráfica.
Asimismo, Distefano, Pochulu y Font (2015), explican que aunque las actividades
matemáticas asignadas a los educandos pudieran parecer bastante elementales, con signos
trabajados durante periodos escolares anteriores, se encontraron con significados desacertados
desde el punto de vista institucional, lo cual les permitió afirmar en el lenguaje matemático
están presentes una multiplicidad de procesos, que se reflejan en las diferentes respuestas de
las tareas de lectura y escritura de expresiones simbólicas, así como sus vinculaciones
necesarias para otorgar significado adecuado, poniendo en evidencia la complejidad cognitiva
en la manipulación de símbolos matemáticos.
Para Godino (2018), quien fundamentó y desarrolló, a fines del siglo pasado y principios
de este, estas ideas ligadas al enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,
(sustentada en la teoría de las funciones semióticas) establece los tipos de funciones
semióticas, categorías correspondientes a verificar en el presente trabajo de investigación, las
mismas se agruparon en seis tipos de significados que serán verificados en las diferentes
acciones llevadas a cabo con los informantes clave seleccionados a fin de recabar la
información correspondientes que servirá de marco para la propuesta de enseñanza de la
noción de límite de una variable.
El presente estudio se basa en la categorización de las funciones semióticas establecidas
según Godino (2023), en el plano de los significados; es decir que, desde este punto de vista
toda expresión remite a un contenido, lo cual constituye una situación adecuada para el
análisis de la cognición humana, este permite establecer si existen conflictos semióticos en la
estructura cognitiva de los informantes; además, serán las unidades de análisis
correspondientes que servirán de base para la propuesta final, para permitir bajo este enfoque
mejorar la práctica del tema de límite.
Dentro de las consideraciones planteadas por este autor cabe mencionar las siguientes: los
símbolos aparecen en el lenguaje como sustitutos de las entidades conceptuales, por lo cual en
el trabajo matemático ocurre esa situación y los signos transformados en símbolos una vez
que el estudiante internaliza dentro de su espacio cognitivo las diferentes significaciones que
diera a lugar. De manera apropiada sustituye todas sus cualidades características y forma el
concepto en cada individuo. El dominio de la instrucción matemática no la considera en la
sintaxis del lenguaje simbólico sino en la comprensión de su semántica, por lo cual estaría de
acuerdo con los fundamentos de Wittgenstein cuando planteo la lógica de los símbolos bien
estructurados (Font y Rubio, 2017).
Colina y Romero (2021), consideran que una función semiótica puede definirse en sí
misma y en relación con las propias posibilidades combinatorias dentro de contextos
diferentes. También agregan, que se llama semiótico a un juicio que predica de un contenido
determinado las marcas semánticas al cual se le ha atribuido un código preestablecido; y
llaman factual a un juicio que predica un contenido determinado marcas semánticas no
atribuidas previamente el código.
Entonces, bajo las ideas de la significación de las palabras, mediante el uso e interpretación
de los signos, se pretende el reconocimiento de los símbolos matemáticos involucrados en
la noción
de límite, mediante el enfoque ontosemiótico, que permita indagar acerca de las
diferentes relaciones en la estructura cognitiva del alumno permanece como un aprendizaje,
ya sea completo e incompleto desde el punto de vista institucional y también personal que
permita identificar a través de los informantes clave, los conflictos semióticos que se puedan
presentar en ellos durante la investigación.
Refieren Colina y Romero (2021), al basarse en las ideas del enfoque ontosemiótico, que
las categorías son referidas a un sistema de prácticas donde son funcionales de entidades
primarias o tipos de objetos. Al respecto, se muestran las categorías (funciones semióticas)
que, según los propósitos de la presente investigación, definen las unidades de análisis
correspondientes según la teoría de Godino (2018), a saber:
• Significado lingüístico: el objeto final es un término, expresión, grafico u otro
elemento lingüístico.
• Significado situacional: el objeto final es una situación problema.
• Significado conceptual: su contenido es un concepto definición.
• Significado proposicional: el contenido es una propiedad o atributo de un objeto.
• Significado actuativo: su contenido es una acción u operación. (algoritmo o
procedimiento).
• Significado argumentativo: el contenido es una argumentación
Metodología
La investigación está enmarcada dentro del paradigma interpretativo, pues trata de
comprender la realidad interpretativa de la definición de límite de una variable, de
metodología cualitativa dado que busca descubrir procesos interpretativos de un grupo de los
estudiantes de Cálculo I, con método Fenomenológico para entender o comprende la
experiencia que tienen estos aprendices luego de leer y estar expuestos al contenido de límite
de manera institucional en la facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia.
Por lo tanto, está orientado hacia el análisis de diferentes hechos o fenómenos a través de
exploraciones rigurosas, apoyándose en técnicas precisas y fuentes de carácter bibliográfico y
documental, tales como documentos, resultados de investigaciones, textos, identificar,
describir y comparar, elementos, caracteriza, propiedades y fenómenos; en este caso particular
estudio de errores, que tiene como propósito de situación o disertación concreta, en su análisis
para tipificar de manera general (Hernández-Sampieri y Mendoza, 2018).
El método fenomenológico en su proceso permite comprender e interpretar la realidad
estudiada desde la integridad de los sujetos o actores sociales a partir de sus creencias, ideas y
conceptos, que se abordaron. Como muestra, siguiendo los planteamientos de Strauss y
Corbin (2016), fueron seleccionados como informantes clave, estudiantes de algunas
secciones de Cálculo I, luego de evaluaciones previas y de sondeos, y que de manera
voluntaria participaran de la entrevista.
La técnica de recolección de la información fue la entrevista semiestructurada, mediante
los instrumentos de registros de observación directa y participativa, constituyen, en sí mismas,
estrategias que permiten conocer en los sitios donde se desarrollan las actividades de aula con
diferentes grupos de estudiantes, siendo muy utilizada por los investigadores cualitativos.
Esto permitió observar los fenómenos y acontecimientos que sucedieron en ese momento, en
las interacciones de las situaciones de aula.
Es importante destacar, luego que los informantes clave trabajaran el contenido de
definición de límite, se realizó la entrevista semiestructurada, observando todo lo expresado
por cada uno de ellos, para luego analizar cada una de sus frases expresadas y realizar el
estudio minucioso en las categorías planteadas anteriormente.
Resultados y discusión
Para el análisis de los datos recolectados se siguieron las directrices según Godino (2018),
planteadas en el enfoque ontosemiótico, quién propone que antes de descubrir hay que
describir la situación, referidas a las entrevistas grabadas dentro de los ambientes educativos,
de acuerdo a lo establecido por Strauss y Corbin (2016) en el proceso de recolección de la
información.
Como enfatiza Godino (2023), en el abordaje matemático se requiere asumir
explícitamente principios epistemológicos y axiológicos complementarios tales como la
idoneidad epistémica (representatividad), cognitiva (proximidad), interacciona (negociación),
mediacional (disponibilidad), afectiva (implicación) y ecológica (adaptación); para aceptarlos
y fijarlos como un objeto matemático y un medio instruccional, una trayectoria didáctica
óptima debería tener en cuenta el doble carácter de las matemáticas como actividad y como
producto.
Todo este proceso conlleva al análisis de las ideas y conceptos adquiridos y manifestados
por los informantes, los cuales se transcribieron en forma textual, como un proceso de
desgravación de los audios, de manera fiel, tal cual como fueron expresadas las diferentes
manifestaciones lingüísticas de los informantes clave y de registrar aquellos acontecimientos
resaltantes que tengan lugar durante la interacción didáctica y durante el proceso de
entrevistas. Luego se transcribieron en matrices de unidades de análisis.
Para Distéfano (2017), la idea de identificar las nociones o conceptos que poseen los
aprendices, se reflejan a través del reconocimiento de los objetos primarios que pueden ser
observados, introducidos por el enfoque ontosemiótico; identificados de una manera personal,
relativo a cada estudiante; institucional a través de una institución o de una interacción a
través de prácticas educativas.
Se muestran en los cuadros 1 al 5, las respuestas de las entrevistas aplicadas a los
informantes clave, transcritas en las matrices para realizar los estudios correspondientes,
basados en los planteamientos dados por Godino (2018, 2023); se subrayan las ideas o
conceptos matemáticos referidos al tema límite de funciones de una variable.
El análisis de las respuestas de cada uno de los informantes clave se realiza en atención a
las seis categorías descritas: Significado lingüístico, Significado situacional, Significado
conceptual, Significado proposicional, Significado actuativo y Significado argumentativo.
El docente investigador da un saludo de inicio.
Investigador (Inv). Saludo y bienvenida. Buenos días Bachiller, sea bienvenido
a este encuentro en el cual le hare una entrevista la cual tiene como finalidad
indagar acerca de las nociones, ideas o creencias que el estudiante pudo captar o
asimilar dentro de su estructura cognitiva del tema límite de funciones de una
variable, vista en la unidad curricular Cálculo I, para aportar información a un
proyecto de investigación que vengo realizando que lleva por título Enfoque Onto
Semiótico de la noción de límite de funciones de una variable. Le voy a realizar
una serie de preguntas que espero la conteste y me permita grabarlas, para mayor
soporte de la información obtenida. Son preguntas abiertas en las cuales su
respuesta no dispone de límite de tiempo ni de extensión. A continuación, las
preguntas.
Cuadro 1. Matriz de respuestas del informante clave estudiante 1 (ICE1)
Ideas observadas
Entrevista
Inv. Primera pregunta
Por favor háblame de alguna o varias ideas asociadas
a la definición de límite de funciones de una variable,
a ver ¿Qué recuerdas?
Estudiar el comportamiento de la
gráfica cuando este x se va
acercando a ese número,
acercando, no llegando a ese
número ya que allí es el límite
donde no existe, si fuera cuando x
tiende a 2, un número cercano a
dos el límite no existiría.
La definición de límite seria estudiar el comportamiento
de la gráfica cuando este x se va acercando a ese número,
acercando, no llegando a ese número ya que allí es el
límite donde no existe, si fuera cuando x tiende a 2, un
número cercano a dos el límite no existiría.
Segunda pregunta
¿Puedes decirme que entiendes de la definición de
límite de funciones de una variable?
Estudiar el número este, que se esté
el límite en ese número en que se
esté estudiando y ver si el límite
existe si no existe, si es asíntota
horizontal, oblicua, vertical
Este, como dije ahorita, en la primera pregunta, que
volver a estudiar el número este que se esté el límite en
ese número en que se esté estudiando y ver si el límite
existe si no existe, si es asíntota horizontal, oblicua,
vertical
Tercera pregunta
¿Cuál es la simbología o notación para expresar la
existencia del límite de funciones de una variable?
El límite de una función cuando x
tiende a “a”.
El límite de una función cuando x tiende a “a”.
Cuarta pregunta
¿Cuál es la interpretación gráfica para el límite de
funciones de una variable, me la puedes explicar?
Límite existe y se este, este se nota
con un hoyo relleno, si el límite no
existe se anota con un hoyo vacío y
si no existe una asíntota es una, es
un límite infinito y no es ninguna
asíntota.
La interpretación gráfica, este, ver si el límite existe y se
este, este se nota con un hoyo relleno, si el límite no
existe se anota con un hoyo vacío y si no existe una
asíntota es una, es un límite infinito y no es ninguna
asíntota.
Quinta pregunta
¿Qué otras definiciones que conozcas están asociadas
a la definición de límite de funciones de una variable?
La asíntota, funciones a trozos,
funciones racionales, funciones
irracionales
La asíntota, funciones a trozos, bueno no son asíntotas,
bueno funciones racionales, funciones irracionales y las
funciones a trozos también serian, pueden ser otras
definiciones para el límite.
Sexta pregunta
Cuando decimos que el límite de funciones de una
variable existe y vale L ¿Qué interpretas o que
entiendes de esa afirmación?
Que los límites laterales, o sea, el
límite por la izquierda y por la
derecha coinciden, son iguales.
Que los límites laterales, o sea, el límite por la izquierda
y por la derecha coinciden, son iguales.
FIN
Fuente: Elaboración propia (2024)
Memorando del informante ICE1
Este informante clave tiene una idea muy vaga de la noción de límite (significados
argumentativos), no reconoce la existencia del límite, no articula bien las oraciones
(significado lingüístico) o simplemente no entiende las ideas de límite. No interpreta el
significado de la simbología que se utiliza en límite de funciones de una variable. Asocia de
manera muy fortuita las asíntotas con el límite, pero lo relaciona de manera defectuosa cuando
lo trata de definir (significado proposicional). No expresa las operaciones algebraicas de
límites (significado proposicional). No hace mención de la definición formal (significado
conceptual), pero demuestra faltan palabras esenciales al momento de expresar sus creencias
(significado actuativo). Los significados personales no reflejan las nociones ni concepciones
cercanas que permitan alcanzar los significados institucionales esperados.
Cuadro 2. Matriz de respuestas del informante clave estudiante 2 (ICE2)
Ideas observadas
Entrevista
Inv. Primera pregunta
Por favor háblame de alguna o varias ideas asociadas a
la definición de límites de funciones de una variable, a
ver ¿Qué recuerdas?
La primera idea la palabra “límite”:
Una barrera o una señal que dice
pare, o sea, hasta aquí, es una
tendencia, ese valor nunca se toma,
o sea, la gráfica tiende, como dije,
tiende a acercarse a ese valor, pero
no lo toma.
Bueno la primera idea que se me viene a la mente cuando
alguien me dice la palabra “límite” seria como una barrera
o una señal que dice pare, o sea, hasta aquí, este, también
que el límite es una tendencia, o sea, ciertamente cuando
hablamos de grafica lo que es el límite, o sea, ese valor
nunca se toma, o sea, la gráfica tiende, como dije, tiende a
acercarse a ese valor pero no lo toma.
Segunda pregunta
¿Puedes decirme que entiendes de la definición de
límite de funciones de una variable?
Tendencia,…mientras iba viendo
ese tema es que el límite o es un
hoyo o también podría ser como
una asíntota, que o sea, la gráfica se
acerca a ese límite y tiende a ser
asíntota porque no toma ese valor.
Que es una tendencia, este, yo pienso que, o sea, en lo que
pude observar, o sea, darme cuenta mientras iba viendo
ese tema es que el límite o es un hoyo o también podría
ser como una asíntota, que o sea, la gráfica se acerca a ese
límite y tiende a ser asíntota porque no toma ese valor.
Tercera pregunta
¿Cuál es la simbología o notación para expresar la
existencia del límite de funciones de una variable?
NO CONTESTÓ
NO CONTESTÓ NADA
Cuarta pregunta
¿Cuál es la interpretación gráfica para el límite de
funciones de una variable, me la puedes explicar?
La gráfica sería un hueco, el límite
es un valor que no se toma, la
gráfica toma valores muy cercanos
pero sin tomar ese número que
vendría siendo el límite.
Este, la gráfica sería un hueco, el límite es un valor que no
se toma, la gráfica toma valores muy muy cercanos pero
sin tomar ese número que vendría siendo el límite.
Quinta pregunta
¿Qué otras definiciones que conozcas están asociadas a
la definición de límite de funciones de una variable?
Lo que le dije de las asíntotas.
Lo que le dije de las asíntotas.
Sexta pregunta
Cuando decimos que el límite de funciones de una
variable existe y vale L ¿Qué interpretas o que
entiendes de esa afirmación?
No toma ese valor, este, cuando
nosotros decimos que el límite vale
L es un hoyo en la gráfica.
Que no toma ese valor, este, cuando nosotros decimos que
el límite vale L es un hoyo en la gráfica.
FIN
Fuente: Elaboración propia (2024)
Memorando del informante ICE2
Las respuestas aportadas por ICE2 reflejaron que el límite es una tendencia de la gráfica,
pero luego formula expresiones defectuosas (significados argumentativos), al igual los
individuos anteriores, no articula bien las oraciones o no logró adecuadamente las ideas de
límite (significado conceptual). No interpreta en absoluto el significado de la simbología
utiliza en límite de funciones de una variable (significado argumentativo). Asocia solo las
asíntotas con el límite. No declara las operaciones algebraicas de límites (significado
proposicional). No hace mención de la definición formal (significado lingüístico), al igual que
otros informantes, demuestra falta de palabras esenciales al momento de manifestar sus ideas.
Los significados personales no reflejan las nociones ni conceptos cercanas que permitan
alcanzar los significados institucionales esperados (significado actuativos).
Cuadro 3. Matriz de respuestas del informante clave estudiante 3 (ICE3)
Ideas observadas
Entrevista
Inv. Primera pregunta ICE3
Por favor háblame de alguna o varias ideas
asociadas a la definición de límite de funciones de
una variable, a ver ¿Qué recuerdas?
El profesor nos definió la idea del
límite a través de una regla general
que se le conoce como límite por
definición
decir que para todo épsilon mayor
que cero existe un delta mayor que
cero tal que f de x menos la función
es igual al límite, (SC)
las aplicaciones de los límites
límites trigonométricos (SS)
límites con indeterminaciones
límites por propiedades (SS)
He Primeramente he la definición Como tal, o sea el
profesor nos definió la idea del límite a través de una
regla general que se le conoce como límite por
definición el, la cual está estructurada he ahorita no
recuerdo muy bien exactamente la estructura pero más
o menos le puedo decir que para todo épsilon mayor
que cero existe un delta mayor que cero tal que f de x
menos la función es igual al límite, no estoy muy
seguro, no recuerdo exactamente, esa sería una de las
primeras ideas que el profesor nos habló acerca de o
nos definió como tal el límite y otras ideas que fueron
las aplicaciones de los límites he ya bien sean los
límites trigonométricos he, los límites con
indeterminaciones cero sobre cero, infinito sobre
infinito y también los límites por propiedades entre
otros.
Segunda pregunta:
¿Puedes decirme que entiendes de la definición de
límite de funciones de una variable?
Es como una relación entre dos
funciones para determinar cierto
valor
(SP)
He, según lo que yo entiendo, es como una, es como
una relación entre dos funciones para determinar cierto
valor, eso sería lo que entiendo por esa pregunta.
Tercera pregunta:
¿Cuál es la simbología o notación para expresar la
existencia del límite de funciones de una variable?
Para todo épsilon mayor que cero
existe un delta mayor que cero tal
que la función cuando tiende a x sub
cero.
que se denota que el límite cuando x
tiende a x sub cero de la función de
x, eso sería otra denotación otra de
las notaciones…
Bueno he, si fuéramos a hablar del límite como tal, la
definición, bueno como ya se lo había mencionado
anteriormente, para todo épsilon mayor que cero existe
un delta mayor que cero tal que la función cuando
tiende a x sub cero. Pero también existe la otra
notación, que se denota que el límite cuando x tiende a
x sub cero de la función de x, eso sería otra denotación
otra de las notaciones que se utilizan para realizar
problemas y ejercicios.
Cuarta pregunta:
¿Cuál es la interpretación gráfica para el límite de
funciones de una variable, me la puedes explicar?
Los límites tienden a un cierto punto
en una función,
como si estuviéramos hablando de un
punto en que la función se anularía o
ocurre un cambio,
La representación gráfica es, se debería al cuando los
límites tienden a un cierto punto en una función, eso
sería como que como si estuviéramos hablando de un
punto en que la función se anularía o ocurre un
cambio, de esa manera lo podría, lo vería yo
Quinta pregunta:
¿Qué otras definiciones que conozcas están
asociadas a la definición de límite de funciones de
una variable?
Límites por propiedades, límites con
indeterminaciones cero sobre cero,
infinito sobre infinito, infinito menos
infinito
derivada
Bueno he mencionado como ya le he mencionado en
los anteriores, ahorita, las que recuerdo son esas, he
límites por propiedades, límites por con
indeterminaciones cero sobre cero, infinito sobre
infinito, infinito menos infinito, he ¿Que otro tipo de
límite? Lo que vemos en el último tema de derivada,
que cuando un límite nos daba indeterminación
podíamos aplicar la regla de L’Hopital que sirve
también para romper cualquier indeterminación.
Sexta pregunta:
Cuando decimos que el límite de funciones de una
variable existe y vale L ¿Qué interpretas o que
entiendes de esa afirmación?
El límite existe y que representa una
imagen de la función, por decirlo.
Que el límite existe y que representa una imagen de la
función, por decirlo. FIN
Fuente: Elaboración propia (2024)
Memorando informante ICE3
La información suministrada por ICE3, expresa en la primera noción de límite que el
profesor le mostró fue con el uso de la definición formal, y no está en concordancia con los
demás informantes, menciona que el límite es como una relación entre dos funciones
(significado situacional). En general las respuestas aportadas presentan distorsiones con los
significados institucionales del tema (significado argumentativo). Mencionó límites por
propiedades, el uso de la regla de L’Hopital, indeterminaciones.
El significado de la simbología utilizada en límites de funciones de una variable lo
confunde con la definición formal (significado conceptual). Asocia el límite con las
propiedades algebraicas y algunas formas indeterminadas (significado proposicional). Al igual
que otros informantes, demuestra falta de palabras esenciales al momento de expresar sus
ideas (significado lingüístico). Los significados personales no reflejan las nociones ni
concepciones cercanas que permitan alcanzar los significados institucionales esperados
(significado actuativos).
Cuadro 4. Matriz de respuestas del informante clave estudiante 4 (ICE4).
Ideas observadas
Entrevista
Inv. Primera pregunta ICE4
Por favor háblame de alguna o varias ideas asociadas
a la definición de límite de funciones de una variable,
a ver ¿Qué recuerdas?
Se trata sobre resolver funciones que
son indeterminadas que no hay
maneras de resolverla de manera
directa, … trata de hallar un valor
en el cual al cual tiende ese límite.
En este caso, hasta donde recuerdo, la parte de límite se
trata sobre resolver funciones que son indeterminadas
que no hay maneras de resolverla de manera directa, por
otro lado también se trata de hallar un valor en el cual al
cual tiende ese límite.
Segunda pregunta:
¿Puedes decirme que entiendes de la definición de
límite de funciones de una variable?
La definición dice que para todo
épsilon existe un delta mayor que
cero en el cual este la función tiende
al límite,
es para hallar un Valor al cual tiende
ese límite después de resolver la
indeterminación en dicho caso.
Como le dije anteriormente hasta donde sé del límite de
una función de una variable teóricamente la definición
dice que para todo épsilon existe un delta mayor que
cero en el cual este la función tiende al límite, pero
bueno, eso es lo que más o menos recuerdo, o sea, pero
como tal es para hallar un Valor al cual tiende ese límite
después de resolver la indeterminación en dicho caso.
Tercera pregunta:
¿Cuál es la simbología o notación para expresar la
existencia del límite de funciones de una variable?
El límite cuando x tiende a cero de la
función de f(x) es igual a L.
El límite cuando x tiende a cero de la función de f(x) es
igual a L.
Cuarta pregunta:
¿Cuál es la interpretación gráfica para el límite de
funciones de una variable, me la puedes explicar?
Se representa con asíntotas.
Se representa con asíntotas.
Quinta pregunta:
¿Qué otras definiciones que conozcas están asociadas
a la definición de límite de funciones de una
variable?
Derivadas
integrales impropias…
En este caso hasta donde recuerdo, la parte del límite se
puede aplicar tanto en derivadas como en integrales, en
la parte de integrales se aplican en las integrales
impropias si no me equivoco.
Sexta pregunta:
Cuando decimos que el límite de funciones de una
variable existe y vale L ¿Qué interpretas o que
entiendes de esa afirmación?
Esto quiere decir que la función no es
indeterminada, que tiene un valor
como tal, el límite no tiende al
infinito, el límite no va al infinito
como tal.
Esto quiere decir que la función no es indeterminada, es
decir, que tiene un valor como tal, el límite no tiende al
infinito, el límite no va al infinito como tal.
FIN
Fuente: Elaboración propia (2024)
Memorando informante ICE4
Las ideas manifestadas por ICE4, dan a entender distorsiones en los significados
referentes a las nociones de límites, palabras que no corresponden, oraciones mal planteadas,
debido a estructuras mal fundadas, (significado lingüístico); terminología inadecuada o mal
asociada, hace mención de funciones indeterminadas las cuales no se pueden resolver
directamente (significado situacional). No asimiló la definición formal (significado
conceptual).
Tampoco comprende el significado de simbología, por lo cual la respuesta es inadecuada
(significado proposicional). Al igual, los otros informantes, demuestra falta de palabras
esenciales al momento de expresar sus opiniones (significado argumentativo). Confunde
términos cuando expresó la existencia del límite el cual tiene que ver con funciones no
indeterminadas, sin ideas acerca de la existencia. Los significados personales adquiridos no
reflejan los planteamientos cercanos que permitan alcanzar los significados institucionales
esperados (significado actuativo).
Cuadro 5. Matriz de respuestas del informante clave estudiante 5 ICE5
Entrevista
Inv. Primera pregunta ICE5
Por favor háblame de alguna o varias ideas asociadas a
la definición de límites de funciones de una variable, a
ver ¿Qué recuerdas?
Bueno este el límite es como una frontera, de la función,
lo podemos utilizar para resolver derivadas ahorita no
recuerdo más.
Segunda pregunta
¿Puedes decirme que entiendes de la definición de
límite de funciones de una variable?
Bueno como dije anteriormente, es como una frontera que
tiene la función, como que es una restricción de la misma.
Tercera pregunta
¿Cuál es la simbología o notación para expresar la
existencia del límite de funciones de una variable?
Bueno, en la simbología, la que utilicé fueron límite
cuando x tiende a cero o a infinito o k que sería una
constante y también cuando decimos que el límite existe
y es igual a L o algo así, eso es lo que recuerdo.
Cuarta pregunta:
¿Cuál es la interpretación gráfica para el límite de
funciones de una variable, me la puedes explicar?
Bueno por ejemplo cuando nosotros hayamos el límite de
una función y decimos que el límite de esa función es
igual a 5, es decir, que la función está restringida hasta
hasta allí, hasta ese número, es como una frontera que
tiene la función es como una restricción, eso es lo que
recuerdo.
Quinta pregunta:
¿Qué otras definiciones que conozcas están asociadas a
la definición de límite de funciones de una variable?
Bueno este por lo menos el límite lo podemos utilizar en
diversos temas, lo que es, lo puedes utilizar en ver las
asíntotas, lo podemos utilizar en derivadas, para ver cuál
es el límite de una función, para resolver esos problemas.
Sexta pregunta:
Cuando decimos que el límite de funciones de una
variable existe y vale L ¿Qué interpretas o que
entiendes de esa afirmación?
Bueno, que como dije anteriormente existe una restricción
en ese límite, en esa función perdón, y que es L que el
límite hasta allí pues, es lo que entendí y lo que recuerdo.
FIN
Fuente: Elaboración propia (2024)
Memorando informante ICE5
Para el informante ICE5, las nociones de límites se remiten a la idea de una frontera, de
restricciones que cumple la función, pero sin mencionar como son, esta idea la expresa en
varias de sus respuestas lo cual, si se puede inferir en un aprendizaje, puesto que lo argumenta
desde varios puntos de vista (significado argumentativo), pero de manera defectuosa respecto
a los significados institucionales a adquirir (significado situacional). No asimiló la definición
formal (significado conceptual). Tampoco comprende el significado de simbología, por lo cual
la respuesta es inadecuada (significado proposicional). Al igual que otros informantes,
demuestra falta de palabras esenciales (significado lingüístico), al momento de expresarse y
los significados personales adquiridos no reflejan las ideas cercanas que permitan alcanzar los
significados institucionales esperados (significado actuativo).
Conclusiones
A lo largo del presente trabajo se siguieron diferentes procedimientos para lograr el
propósito de indagar acerca de las ideas que realizan los estudiantes, cursantes de carreras
universitarias, en la facultad de Ingeniería, para descubrir los conceptos que manejan de
algunas nociones matemáticas relativas al tema de límites de funciones de una variable.
Respecto al propósito de la investigación y siguiendo los planteamientos del enfoque
ontosemiótico y las lineamientos establecidos por el análisis cualitativo, permitió concluir que
la mayoría de los informantes clave, estudiantes de ingeniería, no fueron capaces de generar
conceptos adecuados al tema de estudio, donde la mayoría de sus manifestaciones fueron
palabras aisladas, escasas, carecen de interpretaciones simbólicas matemáticas, donde no
reconocen elementos simbólicos involucrados en la definición ni tampoco los elementos
asociados a la representación gráfica.
Además, el estudio permitió determinar que el grado de significación de los conceptos
manejados los estudiantes sometidos a instrucciones didácticas del tema límite de funciones
de una variable están divorciados de las ideas planteadas en los textos de referencia y en los
propósitos educacionales de la asignatura.
Las ideas manifestadas desde el punto de vista de la semiótica, expuestas a través de las
entrevistas, permitió observar faltas discursivas en los informantes clave, facultando inferir la
no comprensión de las definiciones y malas traducciones del lenguaje matemático al lenguaje
coloquial y viceversa, y falta de significados simbólicos de las definiciones involucradas. La
carencia de conocimientos se profundiza al no considerar las reglas de semántica y
estructuración de oraciones adecuadas que admitan dar una idea clara de lo que se desea
expresar en un momento dado.
También la escasa conexión e interpretación entre la noción intuitiva del límite de
funciones de una variable, la definición matemática propiamente con el simbolismo,
aplicación y la representación gráfica, muestra una incomprensión de los conceptos
estudiados y que de alguna manera se deberán reforzar a través de un sistema de prácticas
para lograr los fines educativos propuestos.
Se recomienda la construcción de teorías para aportar nuevas estrategias o formas de
enseñanza y aprendizaje de la definición de límite de funciones de una variable, tanto de una
manera algebraica, como gráfica y su aplicabilidad a diversos problemas, a partir del enfoque
ontosemiótico.
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