Universidad del Zulia - Facultad de Humanidades y Educación
Encuentro Educacional
ISSN 1315-4079 ~ Depósito legal pp 199402ZU41
Vol. 27 (2) julio - diciembre 2020: 201-219
Una tipología general de errores matemáticos para los
estudiantes de ingeniería
Pedro José Colina Pérez y Yaritza Josefina Romero Rincón
Departamento de Matemática. Facultad de Ingeniería.
Universidad del Zulia. Maracaibo-Venezuela
pcolina7@gmail.com; yaritzarr@hotmail.com
Resumen
La ocurrencia de errores durante la realización de diferentes situaciones de evaluación con
estudiantes de ingeniería, en asignaturas de altos contenidos matemáticos, apreciada
recurrentemente en los primeros semestres, evidencian algunas distorsiones entre las
definiciones, significados, procedimientos y conceptos que se forman los alumnos; aparecen en
discordancia con los propósitos de los modelos educativos referidos al aprendizaje e impiden que
se alcancen los objetivos planteados. El propósito del presente trabajo fue proponer una tipología
general de los errores matemáticos que cometen los estudiantes de los primeros semestres de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia. Se fundamentó en otros estudios realizados en
asignaturas de los primeros semestres: Gamboa, Castillo e Hidalgo (2019); Colina (2017);
Distefano, Pochulu y Font (2015); Romero (2015). La metodología utilizada fue de tipo
documental, descriptiva y comparativa. Se obtuvo como resultado una tipología general de
errores en matemática, definida con ocho categorías y un total de 64 indicadores. La misma
conjuga aspectos observados, desde el uso del lenguaje matemático, con signos e interpretación
simbólica y su transferencia al lenguaje cotidiano; aplicación a fenómenos y problemas físicos
reales y de la práctica de la ingeniería; procesos lógicos; abstracción de las definiciones; uso de
gráficos y representaciones; casos particulares aplicados a la geometría; errores cometidos por
descuido o de manera fortuita. Se recomienda utilizar las categorías concluyentes como
indicaciones didácticas para evitar o minimizar su presencia.
Palabras claves: Tipología; errores matemáticos; estudiantes de ingeniería.
A general typology of mathematical errors for engineering students
Abstract
The occurrence of errors during the realization of different evaluation situations with engineering
students, in subjects with high mathematical content, repeatedly appreciated in the first semesters,
show some distortions between the definitions, meanings, procedures and concepts that the
students form; They appear in disagreement with the purposes of educational models related to
learning and prevent the objectives set from being achieved. The purpose of the present work was
to propose a general typology of the mathematical errors that the students of the first semesters of
the Faculty of Engineering of the University of Zulia commit. It was based on other studies
carried out in subjects from the first semesters: Gamboa, Castillo and Hidalgo (2019); Hill
(2017); Distefano, Pochulu and Font (2015); Romero (2015). The methodology used was
documentary, descriptive and comparative. The result was a general typology of errors in
mathematics, defined with eight categories and a total of 64 indicators. It combines observed
aspects, from the use of mathematical language, with signs and symbolic interpretation and their
transfer to everyday language; application to real physical phenomena and problems and
engineering practice; logical processes; abstraction of definitions; use of graphics and
representations; particular cases applied to geometry; careless or accidental mistakes. It is
recommended to use conclusive categories as didactic indications to avoid or minimize their
presence.
Keywords: Typology; mathematical errors; engineering students.
Introducción
Los errores que cometen los estudiantes de nuevo ingreso y en los primeros semestres en la
Facultad de Ingeniería, demuestran una realidad muy diversa con muchos tintes y matices, acerca
de las causas que lo pueden originar, esta situación obliga sin importar sus orígenes a plantear
estrategias diversas por parte de los profesores y un primer paso es una categorización de los
errores para agruparlos y establecer una serie de acciones que permitan minimizar la presencia de
los mismos durante los periodos académicos.
No obstante, si bien los errores no van a desaparecer por completo, son de carácter repetitivo
en el tiempo, lo cual permite identificarlos y clasificarlos, para tomar acciones que logren
minimizarlos e implementar cada vez nuevas estrategias, que viabilicen el alcance de los
aprendizajes establecidos como propósitos educativos.
Esta investigación se basó en otros estudios previos referidos a las unidades didácticas con
contenidos matemáticos, como Geometría, Álgebra Lineal y Cálculo I, en estudiantes de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia, y producir una tipología general que incluya
todos los casos observados en las diferentes investigaciones. Esto permitió afirmar que la
población es más o menos homogénea, donde se mantienen sus características en diferentes
periodos, se han producido las respectivas tipologías particulares y en conjunto permite observar
prácticamente las diferentes tipologías de errores matemáticos, que cometen los estudiantes que
han sido descritos por diferentes autores, en otros lugares y a diferentes niveles educativos.
El propósito del presente trabajo fue proponer una tipología general de los errores
matemáticos que cometen los estudiantes de los primeros semestres de la facultad de Ingeniería,
de la Universidad del Zulia.
Fundamentación teórica
En la investigación se plantean el estudio de los errores que cometen los estudiantes de
asignaturas relativas a la matemática, adquieren diferentes argumentos dependiendo del nivel
educativo, por lo cual se han tratado de identificar desde hace tiempo.
Tipologías de errores en matemática
Colina (2006) señala que un profesor, en la Universidad de Illinois, de nombre Thomas Mc
Cromack, ya para el año 1912, había trabajado el tema de los errores en los estudiantes de
matemática, donde caracterizó algunos de estos errores y proponía aplicaciones a la educación.
En la época actual, desde mediados del siglo pasado, en diferentes partes del mundo y a
diferentes niveles educativos, muchos autores han realizado investigaciones al respecto y
expresado sus aportes, tales como: Radatz (1980), Davis (1984), Batanero et al., (1994), Socas
(1997, 2007), De La Torre (1999), Brousseau (2001), Engler et al. (2014), Distefano, Pochulu y
Font (2015). Algunos de ellos han realizado categorizaciones de estos errores, estableciendo un
patrón de registro que permite al docente aplicar estrategias correctivas que promuevan la
adquisición del conocimiento correcto y poder resolver los problemas planteados, alcanzando así
los objetivos educativos.
Desde esta perspectiva, los errores son fuente de motivación tanto para el docente como para
el alumno, para superar una primera condición de faltas y errores hasta lograr los objetivos
planteados de la misión educativa, buscando nuevas formas y estrategias de enseñanza
aprendizaje de la matemática.
Al referirse al tema de los errores cometidos por los aprendices, ciertos investigadores han
expresado:
El estudio de los errores debería ser un eje central en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, ya que le permite al personal docente identificar los
conceptos o procedimientos en los que el estudiantado posee deficiencias o no ha
logrado la comprensión adecuada (Gamboa, Castillo e Hidalgo, 2019:28).
Por otra parte, “Pudiera decirse entonces que los alumnos no inventan las cosas que escriben
en las diferentes evaluaciones, de alguna manera ellos reflejan en las pruebas algún tipo de
conocimientos que creen que son correctos” (Colina, 2006:24).
Al respecto, otros autores que han investigado este hecho, como Franchi et al. (2011), hacen
referencia a la actitud de los educandos, la cual expresa la susceptibilidad de ser modificada,
donde los profesores pueden intervenir mediante diferentes técnicas para lograr una actitud hacia
el aspecto positivo de los errores. Entonces, se puede afirmar de modo, que la observación de los
errores permite enfocar al docente en los aspectos donde debe realizar un énfasis al momento de
la preparación y dictado de sus clases.
La relevancia de ¿por qué el estudio de la matemática para los estudiantes de ingeniería?
puesto que allí se conjugan una serie de elementos y visiones de la matemática, desde su
definición formal o simbólica donde aparecen los significados, su traducción al lenguaje
cotidiano dando paso a la conceptualización en cada alumno, la parte representativa, los aspectos
lógicos, su parte abstracta, el uso de gráficas y otras formas de representación; hasta la
aplicabilidad de la misma en el contexto social. (Es de recordar que la matemática a este nivel,
está presente a través de fórmulas, gráficos, tablas, símbolos, representaciones, entre otros
aspectos, para luego ser aplicados).
Ahora bien, “se presume que quien decide estudiar esta carrera, goza casi por obligación, de
habilidades numéricas y que debería incluso disfrutar el solucionar problemas matemáticos,
cimientos sobre los cuales se va a construir el edificio de los conocimientos de la carrera”
(Franchi et al., 2011: 373). Para estos autores, además “la expectativa del docente de ingeniería
es, por tanto, que el estudiante domine al menos las nociones más elementales de la
matemática”. Sin embargo, se puede constatar el ingreso a las universidades de muchos jóvenes,
los cuales no disponen de estos conocimientos básicos previos, que debieron haber aprendido en
bachillerato.
Desde hace poco menos de 20 años, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia
(LUZ), un grupo de profesores de diferentes especialidades o asignaturas, han realizado
investigaciones acerca de los errores cometidos por los estudiantes durante las diferentes
evaluaciones formativas y sumativas, en grupos de diferentes especialidades de la ingeniería,
durante los primeros semestres de estudio, lo cual ha permitido identificar los errores
mayormente cometidos y los conocimientos que traen como aprendizajes del nivel educativo
medio o de bachillerato y luego manifiestan al ingresan a las universidades.
Esto ha permitido, de cierta manera, estimar la capacidad que poseen los educandos de
asimilar los conocimientos nuevos, así como identificar las deficiencias en sus saberes, lo cual a
su vez ha posibilitado caracterizarlos, en varios trabajos donde: se estableció una categorización
de los errores en geometría a nivel superior (Franchi (2002), se describió la actitud del estudiante
de ingeniería hacia sus errores (Franchi et al., 2011), se categorizaron los obstáculos
epistemológicos en geometría a nivel superior (Bohórquez, 2002), se determinó la comprensión y
metacomprensión en alumnos de ingeniería (Franchi, 2002) y se categorizaron los errores en el
área de álgebra lineal a nivel superior (Fuenmayor, 2006).
La concepción de la simetría en estudiantes como un obstáculo epistemológico para el
aprendizaje de la geometría, por mencionar algunos, para Franchi y Hernández (2004a:64), “la
identificación y análisis de estos errores ha permitido sustituir un conocimiento viejo e
institucionalizado en la sociedad por uno que se revela con mayor fuerza y vigor”. Las
mencionadas tipologías estudiadas en la Facultad de Ingeniería se basaron en otras tipologías ya
existentes, algunas más generales y otras específicas para la matemática, como las de Movshovitz
et al. (1987), Radatz (1979), entre otros.
La problemática de estudio en la educación matemática se puede conjugar en los siguiente
aspectos: epistemológico, cognoscitivo, sociocultural, humanista y emocional. Por otra parte,
muchas veces el error enfrenta las ideas del profesor con las creencias del aprendiz, pero es más
que eso, aparece una triada de elementos: estudiantes, profesores y conocimientos matemáticos,
donde estos últimos son validados por quienes han producido ese conocimiento, mientras que el
profesor busca la forma de enfrentar ese conocimiento al alumno, en situaciones didácticas y
adidácticas, pero además el alumno debe buscar directamente el conocimiento.
En tal sentido, Colina (2006) afirma que el error es inducido por algún contexto aprendido de
manera inadecuada o producido por algunas ideas o creencias del educando. Pudiera decirse
entonces, los estudiantes creen no inventar las cosas que escriben en las diferentes evaluaciones,
de alguna manera ellos reflejan en las pruebas algún tipo de conocimientos adquirido considerado
adecuado y correcto.
Dentro de las corrientes educativas, se han considerado: las orientaciones de la teoría de
aprendizaje, la teoría constructivista, la teoría cognitiva de la didáctica de la matemática,
sistémica, el enfoque onto-semiótico; se tiene que todos ofrecen un mejor tratamiento hacia el
error, planteando sus propias estrategias hacia el docente y hacia el alumno; pero sin duda, el
error siempre va a existir dentro de nuestras instituciones educativas dado que se conjugan
muchas situaciones, que influyen en la aparición de los errores en nuestros estudiantes; por
ejemplo, la parte humana y su naturaleza al error; y que se pueden minimizar.
Dentro de las características que se pueden mencionar acerca de las tres tipologías base de esta
investigación, en las asignaturas de Geometría, Cálculo I y Álgebra Lineal, son las siguientes:
todas aplicadas a la matemática, poseen muchas similitudes y pocas diferencias a nivel
universitario en la misma universidad, dentro de la misma facultad, con estudiantes de los
primeros semestres, dentro del llamado Ciclo Básico; lo que de alguna manera permite decir, que
la población es más o menos homogénea aun cuando los trabajos se realizaron en diferentes
momentos y cortes.
Desde esta perspectiva y manera más específica, dentro de una Universidad Nacional Pública,
en estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia, en las asignaturas:
Geometría, Cálculo I y Álgebra lineal, se realizaron investigaciones dirigidas por Franchi y
Hernández (2004a, 2004b), Colina (2006, 2016) y Fuenmayor (2006).
En el cuadro 1, se muestran las diferentes categorizaciones de los errores cometidos por los
estudiantes de la Facultad de Ingeniería, en cada una de las investigaciones bases de este estudio.
A partir de ellas, se hizo un análisis de tipo comparativo para establecer una generalidad de los
errores encontrados.
Cuadro 1. Categorización de errores
Geometría
Álgebra
Cálculo I
De pre requisitos
Dominio teórico conceptual
Debido a conocimientos previos
Propios del lenguaje geométrico
Errores técnicos
Debido a la comunicación del
lenguaje matemático
Gráficos
Errores de técnica
Gráficos
De razonamiento
De razonamiento incorrecto e
inferencias falsas
De procedimiento
De transferencia
Errores debidos a datos mal
copiados y/o mal utilizados
De razonamiento
De técnica
Falta de verificación y/o
justificación de la solución
Azarosos
De tecnología
Azarosos
Fuente: Elaboración propia, basada en Franchi y Hernández (2004a, 2004b), Fuenmayor (2006) y
Colina (2006).
Metodología
La investigación fue documental de tipo descriptiva y comparativa. Está orientado hacia el
análisis de diferentes hechos o fenómenos a través de exploraciones rigurosas, apoyándose en
técnicas precisas y fuentes de carácter bibliográfico y documental, tales como documentos,
resultantes de investigaciones, textos para conceptualizar, identificar, describir y comparar,
elementos, caracteriza, propiedades y fenómenos; en este caso particular estudio de errores que
tiene como propósito de situación o disertación concreta, en su análisis para tipificar de manera
general (Hernández y Mendoza, 2018).
Desde esta visión se realizaron búsquedas de trabajos e investigaciones que se habían
generado en años anteriores; se fueron analizando, el estudio de casos en Geometría y
contrastando con autores, de manera semejante se trabajó con Cálculo I y Álgebra, de manera
que se fue creando un banco de categorías, las cuales se generalizaron y caracterizaron, en los
errores comunes observados en otras latitudes, hasta llegar a investigaciones más recientes
realizadas en la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia, en especial en el
Departamento de Matemática.
Resultados y discusión
Análisis de las tres vertientes tipológicas, puntos de encuentro
En lo relativo a conocimientos que debieron ser adquiridos antes del ingreso a la universidad,
durante su etapa de bachillerato, las tres vertientes de tipologías analizadas fueron: Franchi y
Hernández (2004a, 2004b), Geometría; Colina (2006), Cálculo I; y Fuenmayor (2006), Álgebra
Lineal; incluyen errores de los estudiantes en asignaturas con muchos contenidos matemáticas.
Errores debido a los conocimientos previos (ECP)
Dentro de las categorías, todas estas están de acuerdo en la ocurrencia de errores debido a
conocimientos que debieron ser adquiridos antes de ingresar a la universidad, entre las cuales
consideran en sus respectivas tipologías un error a los conocimientos que debieron estar presentes
al momento de su ingreso a la universidad; Colina (2006), lo menciona como errores debido a los
conocimientos previos; Fuenmayor (2006), lo refiere como dominio teórico conceptual, y los
describe como los errores que se producen por desconocimiento total o parcial de conceptos,
reglas, principios, propiedades, entre otros y/o aplicación inadecuada de los mismos.
Estos contenidos pertenecen a un conjunto de habilidades que deben estar reconocidas e
identificadas por todos los aspirantes a ingresar a la Facultad de Ingeniería, al respecto afirman
“los errores de pre requisitos se deben a un aprendizaje deficiente de hechos, habilidades y
destrezas que el alumno debió adquirir antes de iniciar el estudio de geometría” (Franchi y
Hernández, 2004b:197). Por su parte, Colina (2006), lo define como errores debido a los
conocimientos previos y describe un conjunto de indicadores en función de aspectos contenidos
en los programas educativos del nivel de bachillerato; mientras que Fuenmayor (2006), los llama
como errores a nivel teórico.
Dentro de las tipologías que sirvieron de referencias para los análisis posteriores, algunos si
consideraron los conocimientos previos y otros no, refiriéndolos de otra manera, como errores
debido a datos mal utilizados según Movshovitz et al. (1987), mientras que Radatz (1979) si
refiere a los errores debido a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos.
Franchi et al. (2011:373) afirman, “es natural que el alumno que se inicia en el estudio de un
tema matemático cometa errores al realizar ejercicios o resolver problemas, no es que se
equivoque al realizar operaciones relacionadas con conceptos que se espera ya estén
consolidados”.
Errores debido al lenguaje matemático (ELM)
En lo relativo al lenguaje matemático, también coinciden las tres vertientes tipológicas en su
importancia, para la comprensión de los problemas y su posterior resolución. Colina (2006), lo
define como error del lenguaje matemático y lo refiere a usos inadecuados de las notaciones o
símbolos matemáticos, lo cual se traduce en la poca adquisición de los significados suficientes de
los signos que intervienen en la situación problema, donde el alumno no comprende el
significado que eso traduce, de igual manera, la traducción inadecuada de una situación problema
al lenguaje matemático, hace que no se entienda la idea que se desea transmitir.
Asimismo, agrega este autor, el uso inadecuado de los signos, mala lectura de su
interpretación, el desconocimiento del lenguaje, y observa que una deficiencia de este (ya sea
desconocimiento o mal significado) no permite interpretar los representados. Al aludir este error,
Colina (2017) refiere a la interpretación semiótica de los signos usados en matemática y dentro
del contexto particular puede referir a varias interpretaciones, debido al significado simbólico que
se adopta en esos casos como posibles fuentes de malos significados o deficientes
interpretaciones, que causan este tipo de errores en el lenguaje matemático.
Por su parte Fuenmayor (2006), lo refiere como el uso incorrecto de propiedades y
definiciones, los señala como aquellos que surgen por desconocimiento del lenguaje matemático
o del usado comúnmente dentro del Álgebra Lineal, lo que conlleva al estudiante a no saber que
traduce ese lenguaje matemático, y en el caso particular del está el mal uso de sus propiedades,
definiciones, signos y por ende de su traducción errónea.
A este respecto, Franchi y Hernández (2004b), lo infieren como errores propios del lenguaje
geométrico, consideran este tipo, derivado del uso inapropiado de expresiones orales y escritas de
los símbolos, notaciones propias de la Geometría y de su interpretación. Estas autoras destacan
que este tipo de errores, se identifican cuando el alumno usa de manera inadecuada notaciones o
elementos geométricos, demuestra algo que no se le pide, lo cual permite configurar un
desconocimiento del lenguaje, también cuando plantea una ecuación o proposición que no
corresponde con el enunciado o cuando describe adecuadamente la construcción de figuras
geométricas.
Se puede mencionar que las tipologías referidas a la matemática, en todas ellas hacen
referencia a su lenguaje e importancia particular. Para Godino (2003), es esencial el
reconocimiento del significado del lenguaje matemático y a su vez, este significado ligado a la
comprensión de las ideas y sus definiciones. Al respecto, Colina (2017) afirma, los signos
matemáticos sus significaciones y sus representaciones, no se pueden comprender de manera
aislada, donde solo aquellos estudiantes que manejan ese lenguaje matemático pueden asimilar
las definiciones que se presentan en determinadas situaciones, problemas o ejercicios.
Gamboa, Castillo e Hidalgo (2019:27), afirman de este error; “uso de notación y lenguaje
matemático, lo que imposibilita interpretar y realizar operaciones y resolver una situación
problema”. Todas las tipologías, referidas a la matemática incluyen a esta como esencial debido
al lenguaje simbólico y de reconocer el significado propio de los signos en relación al contexto
donde se ubican.
Errores debido al razonamiento (ER)
Otra categoría donde coinciden las tres tipologías, se refiere a los errores que se producen
debido a razonamientos inadecuados, la cual infiere que la matemática permite al estudiante
desarrollar procesos de razonamiento lógico y lógico matemático, lo cual conlleva a través de
diferentes tipos de razonamiento a encontrar y llegar a plantear la respuesta a un determinado
problema o situación, para lo cual destaca Romero (2015), no es solo conocer algún
procedimiento, sino el desarrollo de una sucesión de pasos lógicos que justifican algún
razonamiento.
Como errores de razonamiento incorrecto e inferencias falsas, estos errores se producen por
desconocimiento de los principios básicos de la lógica, considera esta tipología relacionada con el
razonamiento, y refiere que en el trabajo de los alumnos, al resolver problemas de Álgebra
Lineal, “aparecen fallas en el razonamiento y no se deben al contenido específico; de igual
manera, los errores cometidos a realizar estos razonamientos incorrectos llegando a soluciones
verdaderas o a inferencias falsas” (Fuenmayor, 2006:84).
En este mismo orden de ideas, Franchi y Hernández (2004b), explican que el razonamiento
lógico para geometría es fundamental y se requiere para la demostración de teoremas, quedando
evidenciado cuando los estudiantes añaden condiciones o hipótesis que no están dadas en el
problema; cuando usan teoremas, axiomas que no están dadas en la hipótesis.
Colina (2006), expresa que este error sucede cuando el aprendiz aplica un método que no
corresponde al caso, usa inadecuadamente implicaciones lógicas, confunde procesos deductivos
con inductivos, usa definiciones o propiedades sin verificar alguna condición, incurriendo en
razonamiento inadecuado. Para identificar este tipo de errores hay que recurrir a la observación
de un desarrollo dentro de un procedimiento, donde la secuencia y el razonamiento lógico
esencial y debe estar presente en los estudiantes de ingeniería.
Errores debido al procedimiento (EP)
Los errores de procedimientos son un error común en las tres tipologías se refiere a los
procedimientos y técnicas empleadas por los estudiantes al momento de resolver los problemas,
sin embargo los tres autores no coinciden en el nombre, pero al considerar las definiciones que
cada uno le da al respecto, se observa su concordancia y semejanza o parecido. Colina (2006),
infiere que este error ocurre cuando al elegir de manera inadecuada el método de resolución de
determinado problema o ejercicio, o donde el alumno reconoce el procedimiento o técnica
adecuado pero no sabe el proceso requerido.
Para Franchi y Hernández (2004b) y Fuenmayor (2006), nombran esta tipología como errores
de técnica, las cuales coincide con que el error cometido en la selección de una técnica o
procedimiento inadecuado o cuando seleccionada la técnica correcta la aplica de forma
incorrecta, se consideran los errores en la aplicación de operaciones aritméticas básicas,
ejecución incorrecta de operaciones algebraicas elementales, entre otros.
En Álgebra (Fuenmayor, 2006) los errores por falta de verificación de los resultados o de la
solución encontrada, y afirma que se identifica cuando un alumno no verifica la respuesta
encontrada en el planteamiento original, y pueden ocurrir casos donde luego de aplicar ciertos
artificios matemáticos dentro de una técnica, se agregan soluciones que no satisfacen las
condiciones iniciales del problema o ejercicio. Colina (2006) menciona como uno de los errores
normales en los que incurren sus estudiantes y lo considera como un error particular en el uso de
una técnica.
Franchi y Hernández (2004b:201), adoptaron el término según la tipología de Brousseau
(2001), afirmando que “surgen por la aplicación incorrecta o inadecuada de procedimientos o
algoritmos en la solución de problemas geométricos o en la demostración de proposiciones
geométricas”, especifican a manera de ilustración que ellas ocurren exclusivamente cuando
usando un algoritmo correcto, lo aplica de manera defectuosa.
Errores debido a la tecnología (ETC)
A diferencia de Colina (2006) y Fuenmayor (2006), que incluyen en esta categoría cuando
eligen una técnica incorrecta, Franchi y Hernández (2004b:201), lo separan como otro tipo y lo
definen como errores de tecnología (selección inadecuada de la técnica), y se produce cuando:
Un alumno selecciona un algoritmo inadecuado para resolver un problema
geométrico o usa una estrategia inadecuada para realizar una demostración
geométrica y expresan su importancia debido a la cantidad de demostraciones que se
les solicita a los estudiantes durante los cursos.
Errores debido a la transferencia (ETR)
Franchi y Hernández (2004b:200), a diferencia de Colina (2006) y de Fuenmayor (2006),
añaden a su tipología la categoría de errores de transferencia y la definen como una falta de
habilidad por parte del estudiante de utilizar otros conocimientos que debieron ser aprendidos de
otras asignaturas para resolver problemas o situaciones problemáticas de la geometría en
situaciones reales, explican que ocurren “cuando el estudiante transforma defectuosamente una
situación problemática real en un problema geométrico, o cuando aplica defectuosamente
conocimientos propios de otras asignaturas o disciplinas en un problema geométrico
planteado”.
Errores de representaciones gráficas (ERG)
Los errores referidos a representaciones gráficas se refieren a los dibujos o representaciones
gráficas que utilizan los alumnos en la resolución de problemas. Colina (2006), Franchi y
Hernández (2004b), le dan gran importancia como categoría relevante al considerar que las
representaciones gráficas y las construcciones geométricas son esenciales y de gran importancia
en el planteamiento, resolución y conclusión de los problemas planteados, así la representación
adecuada de funciones en el plano cartesiano, además como complemento, en muchos casos, de
la información escrita de manera simbólica.
Los errores gráficos para los estudiantes de ingeniería (Colina, 2006), donde parte de su
lenguaje se refiere a representaciones e interpretaciones de gráficas de diferentes tipos,
simulaciones de partes y piezas que deben engranar adecuadamente/correctamente, planos de
diseño, fabricación y construcción, lo hace sumamente importante y representativo, por lo cual es
muy pertinente esta categoría.
Para Franchi y Hernández (2004b), estos errores se asocian con la falta de habilidad del
alumno, de imaginar e interpretar enunciados para trasladarlos a una representación adecuada de
figuras geométricas, “un estudiante incurre en este tipo de errores cuando dibuja una figura
geométrica que no corresponde con el enunciado de un problema geométrico propuesto...” (p
198), además agrega que también ocurre cuando el alumno toma un mal dato o lo ignora cuándo
formula la posible solución o demostración del problema propuesto. Fuenmayor (2006) no lo
consideró dentro de su tipología, ya que en los contenidos del Álgebra Lineal solo aparece la
representación vectorial como parte gráfica y no es representativa.
Errores debido al azar (EAZ)
Errores referidos a la mala suerte y descuido, otra de las categorías donde coinciden es a
aquellos casos donde los errores ocurren debido a situaciones de descuido, nervios o como
menciona Colina (2006), debido a casos fortuitos, dado que se observa un procedimiento
adecuado y de pronto se omite un valor, sin explicación alguna, o transcribe mal un valor o un
dato y luego se continua desarrollando un procedimiento igualmente correcto a partir de allí.
Asimismo, Fuenmayor (2006), refiere este tipo de casos como errores debidos a datos mal
copiados y/o mal utilizados, y los identifica cuando los estudiantes transcriben mal los datos,
procesan erróneamente información de manera inexplicable, añaden datos extraños, se olvida
algún dato necesario para la solución de un problema, se contesta algo que no es necesario, se
asigna a una parte de la información un significado inconsistente con el enunciado, utilizan los
valores numéricos de una variable para otra distinta, se hace una lectura incorrecta del enunciado
y otros casos parecidos.
Al respecto, Franchi y Hernández (2004b), coinciden en afirmar que se transcribe mal un dato
una cantidad, sustituye mal un signo o una cantidad, mientras que Fuenmayor (2006), lo define e
incluye dentro de sus errores por falta de atención. Sin embargo, a veces no es un descuido en sí,
en ocasiones los nervios o la prisa hace que se cambie el orden de una cifra, se cambie un par de
números, se sustituya mal, o despeje mal una variable dentro de una fórmula.
Propuesta de tipología para errores en la matemática universitaria
Respecto a la intención de la investigación que es la de establecer o plantear una tipología
general para los errores que cometen los estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad del Zulia y en función de los identificadores de cada una de estas que finalmente se
consideran como variables, se propone la siguiente tipología para los errores en matemática,
donde se clasificaron en 8 categorías que se muestran en el cuadro 2.
Cuadro 2. Categorías para errores en la matemática universitaria
Categorías
Siglas
1. Errores debido a los conocimientos previos
ECP
2. Errores debido al lenguaje matemático
ELM
3. Errores debido al razonamiento
ER
4. Errores debido al procedimiento
EP
5. Errores debido a la tecnología
ETC
6. Errores debido a la transferencia
ETR
7. Errores de representaciones gráficos
ERG
8. Errores debido al azar
EAZ
Fuente: Elaboración propia (2020)
Estas categorías se ven representadas en los indicadores expuestos para cada una y que
permiten ubicar los errores matemáticos cometidos por los estudiantes dentro de alguna de estas,
en aquellos casos donde exista la duda acerca de la ubicación o dualidad respecto al tipo de error
se debe realizar una entrevista al alumno para reconocer el concepto que el maneja, conocer el
origen y lograr la categoría correcta en ese caso en el cuadro 3.
Cuadro 3. Tipología para errores y sus indicadores
Categorías
Indicadores
Errores debido
a los conocimientos
previos
(ECP)
CP1: Ejecuta mal operaciones aritméticas.
CP2: Reduce mal términos semejantes.
CP3: Realiza factorizaciones defectuosas o no las realiza.
CP4: Aplica mal propiedades de las potencias.
CP5: Aplica mal propiedades de las raíces.
CP6: Aplica mal propiedades de los logaritmos.
CP7: Aplica mal propiedades de las funciones trigonométricas.
CP8: Aplica mal identidades trigonométricas.
CP9: Propone valores incorrectos para evaluar las funciones
trigonométricas en los ángulos notables.
CP10: Cancela factores distintos en una fracción.
CP11: Desarrolla de manera inadecuada los productos notables.
CP12: Realiza defectuosamente la completación de cuadrados
CP13: Desconoce los valores de las funciones para los ángulos notables.
CP14: Aplica mal el método de Ruffini.
CP15: Despeje defectuoso de variables.
CP16: Cálculo inadecuado de las raíces de un polinomio.
CP17: Evalúa funciones de manera defectuosa.
CP18: Expresa números irracionales como si fueran racionales.
CP19: Uso inadecuado de la definición de valor absoluto.
CP20: Desconocen o aplican mal las propiedades de las raíces.
CP21: No aplican correctamente los las propiedades de los números reales.
CP22: Expresan inadecuadamente una ecuación lineal cuadrática, valor
absoluto u otra ya estudiada.
CP23: Escriben ecuaciones con ausencia del signo de igualdad.
CP24: No aplican propiedades a los números reales.
CP25: Cualquier otro error debido a algún conocimiento previo verificado
durante la etapa previa de estudio.
Errores debido al
lenguaje
LM1: Utiliza inadecuadamente las notaciones o símbolos matemáticos y/o
del Cálculo I.
matemático. (ELM)
LM2: Da respuestas diferentes a las pedidas.
LM3: Desconocimiento del lenguaje y símbolos propios matemáticos
(propios de cada asignatura). Utiliza inadecuadamente las notaciones
matemáticas.
LM4: Mal uso del lenguaje matemático al escribir o mala interpretación al
decodificar los signos del lenguaje matemático. Plantea una
proposición o ecuación en discordancia con el enunciado del
problema.
LM5: Da una respuesta distinta o adicional a la que se le pide.
LM6: Utiliza inadecuadamente notaciones de las figuras y elementos
geométricos.
LM7: Demuestra o intenta demostrar una proposición geométrica que no se
le pide.
LM8: Da una respuesta adicional o diferente a la que se le pide en un
problema.
LM9: Utiliza inadecuadamente la terminología geométrica o describe
defectuosamente la construcción de las figuras geométricas
R1: Usa inadecuadamente una definición o propiedad de un objeto matemático
propio del Cálculo.
R2: Usa un teorema o propiedad en un contexto que no le corresponde.
R3: Añade hipótesis que no están dadas en la solución o en la demostración de
un problema (geométrico).
R4: Intenta demostrar o resolver un problema geométrico sin usar algún dato
dado.
R5: Usa un axioma, teorema o corolario sin que se tengan las hipótesis
requeridas para su explicación o lo usa en un contexto que no le
corresponde.
R6: Interpreta y usa inadecuadamente una definición durante el procedimiento
de resolución de un problema.
R7: Usa el reciproco de una implicación como verdadera cuando construye y
usa una implicación que no es verdadera.
P1: El alumno reconoce un método o procedimiento correcto para aplicar, pero
lo emplea de manera defectuosa.
P2: El alumno reconoce un procedimiento o técnica adecuado, pero no llega a la
solución.
P3: El alumno reconoce definiciones o propiedades, pero no las justifica o
verifica a través de alguna condición.
P4: El alumno elige un método que no corresponde al caso.
P5: Cuando el estudiante utiliza un algoritmo correcto en la solución de un
problema (geométrico) pero lo aplica de manera defectuosa.
P6: Cuando enuncia proposiciones ciertas sin justificación o mal justificadas.
P7: Cuando utiliza un algoritmo o procedimiento adecuado para la solución o
demostración de un problema (geométrico) pero no llega a la solución.
TC1: El estudiante selecciona un algoritmo inadecuado para resolver un
problema Geométrico
TC2: Cuando usa una estrategia inadecuada para realizar una demostración
geométrica.
TR1: El estudiante transforma defectuosamente una situación problemática real
en un problema geométrico.
TR2: Cuando aplica defectuosamente conocimientos propios de otras
asignaturas o disciplinas en un problema geométrico planteado.
G1: No rotula los ejes o los rotula mal.
G2: No identifica los ejes.
G3: No identifica la función que está representando.
G4: No indica los puntos característicos de la función y/o los puntos que sirven
de apoyo para realizar el trazado de la curva de la función o información
relevante de la misma.
G5: Representa una figura o dibuja una curva de una función que no
corresponde con el enunciado o la función dada.
G6: Representa defectuosamente la curva de la función dada.
G7: No dibuja una figura geométrica a propósito de un problema geométrico
propuesto.
G8: Cuando toma mal un dato de una figura geométrica o lo ignora en la
solución o demostración de un problema planteado.
AZ1: Transcribe mal una cantidad o símbolo.
AZ2: Sustituye mal un dato en una ecuación o expresión dada.
AZ3: Manipula inadecuadamente los signos algebraicos.
AZ4: Ejecuta mal operaciones aritméticas.
Fuente: Elaboración propia (2020)
Consideraciones finales
Una vez terminado el análisis de la recurrencia de los errores matemáticos que cometen los
estudiantes de los primeros semestres de la facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia, se
propuso una tipología general constituida por 8 categorías: errores debido a los conocimientos
previos (ECP), al lenguaje matemático (ELM), al razonamiento (ER), al procedimiento (EP),
gráficos (EG), a la transferencia (ETR), a la tecnología (ETC), Errores debido al azar (EAZ).
Además, se establecieron un total de 64 indicadores distribuidos en todas las categorías.
Esta categorización muestra el resultado de la investigación, luego de realizar un estudio
comparativo de tipologías previas, concluidas y analizadas para una población de estudiantes
ubicada en los primeros semestres del de la Facultad de Ingeniería, en tres asignaturas básicas,
Geometría, Álgebra Lineal y Cálculo I, con diversos contenidos matemáticos, dentro del bloque
de asignaturas consideradas del Ciclo Básico general que sirven de soporte a todos los pensum de
esa Facultad.
Estas clasificaciones conjugan todos los aspectos matemáticos para lograr definir una tipología
general de errores, observándose desde el uso del lenguaje, con sus signos e interpretación
simbólica, que involucra la traducción e interpretación del lenguaje matemático al lenguajes
cotidiano y viceversa, con lo cual se logra la aplicación a fenómenos y problemas físicos de la
vida real y de la práctica de la ingeniería, la aplicación de procesos lógicos, la parte abstracta de
sus definiciones, el uso de gráficos y representaciones, las interpretaciones según los conceptos
manejados por los aprendices, aquellos casos particulares aplicados a la geometría y hasta los
errores cometidos por descuido o de una manera fortuita.
En tal sentido, se identificaron ocho (08) categorías diferentes con un total de sesenta y cuatro
(64) indicadores, donde en algunos casos es posible que exista una duda acerca de la ubicación en
una sola categoría del error cometido, para lo cual se debe recurrir a la entrevista directa con los
estudiantes, para esos casos.
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