Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540294
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Un m´etodo nuevo para eliminar la
indeterminaci´on en los problemas singularmente
perturbados con resonancia de
Ackerberg y O’Malley
A new method for eliminating the indeterminacy in the singularly perturbed
problems with Ackerberg-O’Malley resonance
Jacques Laforgue (laforgue007@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8823-9694
Departamento de Matem´aticas, N´ucleo de Sucre
Universidad de Oriente
Cuman´a, Estado Sucre, Venezuela
Resumen
En los problemas singularmente perturbados con car´acter resonante en el sentido de Ac-
kerberg y O’Malley, el m´etodo tradicional de las expansiones asint´oticas empatadas fracasa
para determinar la amplitud de la resonancia. Se presenta un m´etodo nuevo, basado en pro-
cedimientos establecidos de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias, para eliminar tal
indeterminaci´on aprovechando el resultado incompleto de las expansiones asint´oticas empa-
tadas y eliminando de manera natural el grado de libertad superfluo, mediante la derivaci´on
e imposici´on de una condici´on de frontera exacta adicional que relaciona las pendientes en
los dos extremos del dominio. El m´etodo nuevo es efectivo para la variedad de problemas
reconocidos como resonantes, incluyendo los que exhiben supersensibilidad, y tambi´en para
los de estructura diferente pero con indeterminaci´on an´aloga, por ejemplo involucrando una
ecuaci´on en derivadas parciales.
Palabras y frases clave: Perturbaciones singulares, Resonancia de capas de frontera,
Expansiones asint´oticas empatadas.
Abstract
In the singularly perturbed problems with resonant character in the sense of Ackerberg
and O’Malley, the traditional method of matched asymptotic expansions fails to determine
the resonance’s amplitude. A new method is presented, based on established procedures
from the theory of ordinary differential equations, for eliminating such indeterminacy taking
advantage of the incomplete result of the matched asymptotic expansions and eliminating in
a natural fashion the superfluous degree of freedom, through the derivation and imposition
of an additional exact boundary condition that relates the slopes at both extremities of the
domain. The new method is effective for the variety of problems recognized as resonant, in-
cluding those exhibiting supersensitivity and also for those of a different structure but with
Recibido 20/11/2022. Revisado 12/03/2023. Aceptado 17/09/2023.
MSC (2020): Primary 34E15; Secondary 34A05.
Autor de correspondencia: Jacques Laforgue
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 65
analogous indeterminacy, for example involving a partial differential equation.
Key words and phrases: Singular perturbations, Boundary layer resonance, Matched
asymptotic expansions.
1 Introducci´on
Las ciencias aplicadas usan a menudo modelos diferenciales cuyas soluciones requieren ser apro-
ximadas anal´ıticamente, por no existir f´ormulas exactas y porque los resultados num´ericos no se
prestan a la dilucidaci´on cualitativa de los mecanismos obrando. Como es com´un que los fen´ome-
nos f´ısicos no converjan uniformemente a la din´amica m´as simple correspondiente a la anulaci´on
del par´ametro peque˜no, la teor´ıa y las t´ecnicas de las perturbaciones singulares [9, 17, 31] se
vuelven imprescindibles. Su m´etodo b´asico m´as vers´atil es el de las expansiones asint´oticas empa-
tadas: se construyen varias aproximaciones locales aparentemente independientes, se relacionan
entre s´ı, y si es posible, se componen para obtener estimaciones m´as globales. En el transcurso de
este proceso, se acepta la presencia de coeficientes cuyo valor, necesario para el resultado final,
moment´aneamente se desconoce. El m´etodo es efectivo si se logra fijar de alguna manera acertada
tales valores pendientes para suministrar una respuesta ´unica al problema. Esto es lo que ocurre
de manera rutinaria, y este ´exito ha hecho universal el uso del m´etodo.
Sin embargo, hace medio siglo, Ackerberg y O’Malley [1] publicaron una investigaci´on, en la
cual hab´ıan detectado una situaci´on previamente desapercibida por la comunidad matem´atica,
donde una soluci´on que se pensaba pr´acticamente nula en toda oportunidad, luc´ıa en casos
excepcionales un comportamiento funcional a tener en cuenta, que bien pod´ıa llamarse reso-
nante. Pero ocurr´ıa que, al aplicar el M´etodo de Expansiones Asint´oticas Empatadas (MEAE)
para averiguar las caracter´ısticas de estas soluciones excepcionales, un coeficiente crucial quedaba
indeterminado, ocultando por v´ıa de consecuencia la estructura o perfil real de tales soluciones.
El art´ıculo de Ackerberg y O’Malley ha tenido muchas repercusiones pero los procedimientos
que se han propuestos para determinar las soluciones resonantes (a menudo novedosos, pero sin
justificaci´on rigurosa) en la gran mayor´ıa de los casos abandonan el MEAE. Como tal m´etodo ha
demostrado tanta utilidad, parece m´as razonable enriquecerlo en vez de desecharlo.
El trabajo [18] del autor para ascender a Profesor Titular de la Universidad de Oriente (Vene-
zuela) consiste en proponer un m´etodo nuevo que se adapta al MEAE y lo completa con un pro-
cedimiento que est´a justificado por la teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) [30].
El prop´osito de este art´ıculo es el de dar a conocer el contenido de dicho trabajo.
En la Secci´on 2, se presenta el contexto del problema de Ackerberg y O’Malley y de la inde-
terminaci´on ocurrida. En la Secci´on 3, se describe el m´etodo nuevo propuesto. En la Secci´on 4, se
detalla la resoluci´on de un problema particular, incluyendo (Subsecci´on 4.1) cuando se agregue
una perturbaci´on exponencialmente peque˜na capaz de tener efectos de orden uno (supersensibi-
lidad). La Secci´on 5 alista otros problemas resueltos en [18]. En la Seccion 6, se muestra c´omo el
m´etodo tambi´en sirve para eliminar la indeterminaci´on en el caso de una ecuaci´on en derivadas
parciales. Finalmente, una Conclusi´on resume lo logrado.
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66 Jacques Laforgue
2 Contexto
Ackerberg y O’Malley [1] consideran el Problema con Valores en la Frontera (PVF)
(
εy
00
− xp(x)y
0
+ p(x)q(x)y = 0, −1 ≤ x ≤ L,
y(−1, ε) = A, y(L, ε) = B, 0 < ε 1,
(2.1)
donde L ∈ (0, ∞), A, B ∈ R, p(x) > 0 para todo x ∈ [−1, L] y la funci´on q satisface la condici´on
especial q(0) ∈ N = {0, 1, 2, . . .}. De manera m´as general, los par´ametros constantes involucrados
pueden tomarse como funciones anal´ıticas de ε ; es decir, A =
P
∞
i=0
ε
i
A
i
, B =
P
∞
i=0
ε
i
B
i
y
L =
P
∞
i=0
ε
i
L
i
(con L
0
> 0 ); tambi´en las funciones p y q pueden depender similarmente de ε
(con p|
ε=0
> 0 ).
Como el par´ametro peque˜no ε multiplica la derivada de orden m´as alto, se tiene una per-
turbaci´on singular. En el interior del dominio, x = 0 es un punto de retorno simple, con un
coeficiente de y
0
que pasa de positivo a negativo; estos signos hacen factibles capas de frontera
(de variaci´on abrupta de la soluci´on) en ambos extremos del dominio.
La aplicaci´on del MEAE empieza por la b´usqueda de una soluci´on Y = Y (x, ε) exterior
(a las capas) que sea regular, para lo cual se le asume una expansi´on asint´otica de Poincar´e en
potencias de ε :
Y (x, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
Y
i
(x) (ε → 0
+
).
La ecuaci´on que ha de satisfacer el t´ermino dominante Y
0
= Y
0
(x), despu´es de simplificar
por p(x), es
−xY
0
0
+ q(x)Y
0
= 0, −1 < x < 1.
Tiene una degeneraci´on en x = 0. Antes de Ackerberg y O’Malley, se consideraba que la singu-
laridad de esta ecuaci´on impon´ıa como ´unica soluci´on suave la id´enticamente nula, con el mismo
resultado para todos los t´erminos Y
i
= Y
i
(x), i = 1, 2, ···. Pero la condici´on especial que
introdujeron hace admisible la funci´on
Y
0
(x) = k
0
x
q(0)
exp
Z
x
0
q(s) − q(0)
s
ds
, −1 < x < 1, (2.2)
cualquiera que sea la constante k
0
∈ R, y ellos calificaron de resonancia a este posible fen´omeno
excepcional (los t´erminos siguientes Y
1
, Y
2
, . . . pueden tambi´en ser suaves solamente si se satis-
facen m´as condiciones especiales).
Siguiendo con la aplicaci´on del MEAE, se busca una soluci´on interior a la capa izquierda
usando el cambio de escala t
def
= (x + 1)/ε ∈ (0, ∞) que regulariza localmente la ecuaci´on
diferencial, lo cual permite asumir aqu´ı tambi´en una expansi´on asint´otica para Z
izq
(t, ε) =:
y(x, ε) cuando x = −1 + O(ε)
Z
izq
(t, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
Z
izq
i
(t) (ε → 0
+
).
Como debe satisfacerse adem´as la condici´on inicial Z
izq
(0, ε) = y(−1, ε), el t´ermino dominante
Z
izq
0
= Z
izq
0
(t) ser´a soluci´on del problema
¨
Z
izq
0
+ p(−1)
˙
Z
izq
0
= 0, Z
izq
0
(0) = A
0
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 67
donde cada punto superior indica una derivaci´on respecto de t. Esto implica un grado de libertad
provisional, con la presencia de la constante α ∈ R :
Z
izq
0
(t) = α + (A
0
− α)e
−p(−1)t
, t ∈ [0, ∞).
La b´usqueda de una soluci´on interior a la capa derecha es an´aloga; con ahora t
def
= (x−L)/ε ∈
(−∞, 0], la expansi´on Z
der
(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
Z
der
i
(t) (ε → 0
+
) tiene un t´ermino dominante
Z
der
0
= Z
der
0
(t) soluci´on del problema
¨
Z
der
0
− L
0
p(L
0
)
˙
Z
der
0
= 0, Z
izq
0
(0) = B
0
,
lo cual implica otro grado de libertad provisional, con la constante β ∈ R :
Z
der
0
(t) = β + (B
0
− β)e
L
0
p(L
0
)t
, t ∈ (−∞, 0].
Empatar la aproximaci´on interior izquierda con la exterior y empatar ´esta con la aproximaci´on
interior derecha es aqu´ı sencillo. Las condiciones l´ım
t→∞
Z
izq
(t, ε) = Y (−1, ε) y Y (L, ε) =
l´ım
t→−∞
Z
der
(t, ε) permiten fijar los grados de libertad mencionados:
α := Y
0
(−1) y β := Y
0
(L
0
).
Tambi´en la sencillez de los empates permite componer las tres aproximaciones locales (sum´an-
dolas y restando los t´erminos duplicados α y β ) para la posible obtenci´on de una aproximaci´on
asint´otica uniforme:
y(x, ε) ∼ Y
0
(x) +
A
0
− Y
0
(−1)
e
−p(−1)(x+1)/ε
+
B
0
− Y
0
(L
0
)
e
L
0
p(L
0
)[x−L(ε)]/ε
. (2.3)
Sin embargo, la soluci´on exterior Y
0
incluye todav´ıa la constante indeterminada k
0
∈ R.
El desconocimiento de esta amplitud de la resonancia impide toda interpretaci´on del resultado
incompleto (2.3) que pretenda aclarar el comportamiento real de la soluci´on. De hecho, se ver´a m´as
adelante que de manera gen´erica, no hay dos capas de frontera usualmente sino una sola, porque
precisamente el valor de k
0
anula bien sea el factor [A
0
−Y
0
(−1)], bien sea el factor [B
0
−Y
0
(L
0
)].
La presencia de las dos capas de frontera es tambi´en posible, pero bajo el cumplimiento de una
condici´on particular sobre el par´ametro L
0
.
La indeterminaci´on as´ı encontrada una vez completada la aplicaci´on del MEAE contrasta
con la usual efectividad de dicho m´etodo. Por esto en particular, el art´ıculo [1] capt´o el inter´es
de muchos investigadores y muchas contribuciones fueron publicadas desde entonces hasta la
actualidad [3–8, 10–13, 15, 21–23, 25–29, 32–36, 38, 39]. Algunas de ellas desecharon el MEAE de
entrada para recurrir a procedimientos de otra naturaleza. Pero las bondades de este m´etodo
incitan m´as bien a rescatarlo de alguna manera.
Unos pocos autores partieron del resultado (2.3) para completarlo. Lagerstrom [20] elimin´o ele-
gantemente la indeterminaci´on pero en el caso muy particular de estar presente una simetr´ıa bien
apropiada.
Grasman y Matkowsky [8] no siguieron con el MEAE sino que recurrieron al c´alculo varia-
cional; sus estimaciones y c´omputos son complicados y no hay justificaci´on matem´atica rigurosa
(de hecho, Srinivasan [34] mostr´o que la propuesta espec´ıfica de [8] no daba la respuesta correcta
para ´ordenes m´as altos).
MacGillivray [25] se qued´o en el marco del MEAE pero lo extendi´o de manera nada conven-
cional; no hay justificaci´on matem´atica y no se sabe si el m´etodo funciona en todos los casos.
Las tres alternativas que se acaban de mencionar no son plenamente satisfactorias, lo cual
justifica proponer un nuevo m´etodo que tenga m´as virtudes a su favor.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
68 Jacques Laforgue
3 Descripci´on del m´etodo nuevo propuesto
En la teor´ıa y en la aplicaci´on de las EDO, es punto de partida casi ineludible la conformaci´on de
un problema bien planteado que garantice existencia, unicidad y cierta suavidad de la soluci´on.
Esto, de manera rutinaria, se logra asociando a la ecuaci´on diferencial un n´umero ajustado de
condiciones adicionales, llamadas gen´ericamente condiciones de frontera, que fijan en un punto
determinado alg´un valor para la soluci´on (condici´on de Dirichlet) o para su derivada (condici´on
de Neuman); o bien imponen una identidad relacionando valores de ambos tipos (condici´on de
Rob´ın).
Ahora bien, cuando este problema bien planteado se desea resolver en computadora digital, el
especialista de an´alisis num´erico procede a una discretizaci´on de sus ecuaciones diferenciales que
las transforma en un sistema de naturaleza matem´atica distinta, el cual en particular puede no
tener el mismo n´umero de grados de libertad que el original. Si es menor, el especialista recurre
a un m´etodo de optimizaci´on y si es mayor, agrega a las condiciones de frontera originales otras
llamadas condiciones num´ericas, consistentes con el problema original y sus propiedades, para
forzar la unicidad de la soluci´on.
De igual manera, el m´etodo propuesto para eliminar la indeterminaci´on encontrada en la
resonancia de Ackerberg y O’Malley consiste en agregar una tercera condici´on de frontera derivada
rigurosamente de la ecuaci´on diferencial.
Esta nueva condici´on, para que aporte algo, debe ser independiente de las dos que ya se
est´an tomando en cuenta. Como ´estas son condiciones de Dirichlet, la derivada de la soluci´on
estar´a involucrada.
Otra caracter´ıstica necesitada para la condici´on adicional tiene que ver con la dificultad fun-
damental de los problemas resonantes. Al contrario de todos los problemas usuales, incluidos los
singularmente perturbados, cantidades trascendentalmente peque˜nas influyen de manera decisi-
va en la estructura y amplitud de la soluci´on resonante. Como el MEAE s´olo toma en cuenta
potencias de ε, ignora estas cantidades exponencialmente peque˜nas y por esto fracasa. La con-
dici´on de frontera por agregar ser´a de tipo mixto, en el sentido de que relacionar´a en la misma
identidad valores de las pendientes en los dos extremos fronterizos, lo cual, de una cierta manera,
equivale precisamente a captar la informaci´on trascendental que viaja desapercibida a lo largo
del dominio.
Ahora bien, ¿c´omo se construye una condici´on de frontera que satisfaga estos requerimientos?
En la caracterizaci´on de los problemas resonantes, los art´ıculos publicados enfatizan que son
especialmente los que pueden ser transformados en ciertas ecuaciones modelo (ver, por ejemplo,
Olver [29]); resulta que la posibilidad de aplicar un m´etodo de reducci´on del orden (quiz´as despu´es
de alg´un cambio de variables) es aqu´ı la regla y no la excepci´on. Se aprovechar´a esta t´ecnica cl´asica
de la teor´ıa de EDO, ya que su validez est´a bien establecida, al contrario de los m´etodos de [8]
y [25]. La primera integral as´ı obtenida se evaluar´a en los dos extremos del dominio y la identidad
resultante proveer´a la relaci´on buscada entre las dos pendientes fronterizas.
Las clases de PVF cuyo car´acter resonante ha sido demostrado rigurosamente en la literatura
son relativamente pocas. Se aplic´o el m´etodo propuesto a pr´acticamente todas, resultando siempre
efectiva la eliminaci´on de la indeterminaci´on. En la secci´on siguiente, se presenta una muestra.
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Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 69
4 Ecuaci´on asociada a un tiempo de salida
En probabilidades aplicadas, tiene relevancia el PVF
(
εy
00
− x
m
p(x)y
0
= 0, −1 ≤ x ≤ L(ε),
y(−1, ε) = A(ε), y
L(ε), ε
= B(ε), 0 < ε 1,
(4.1)
donde m es un n´umero natural impar, la funci´on suave p es positiva, L
0
> 0 y A
0
B
0
6= 0.
Se va primero a resolver directamente el PVF y estimar asint´oticamente su soluci´on exacta
para que cuando, despu´es, se obtengan los resultados del m´etodo nuevo propuesto, se pueda
verificar en el momento el acierto de sus aproximaciones.
Un factor integrante de la EDO en (4.1) es exp[−P (x)/ε], donde P es la funci´on (no negativa)
tal que
P (x)
def
=
Z
x
0
s
m
p(s) ds, x ≥ −1. (4.2)
Por lo tanto, y
0
(x, ε) = c
1
(ε) exp[P (x)/ε] y se sigue y(x, ε) = c
1
(ε) I(x, ε) + c
2
(ε), donde
I(x, ε)
def
=
Z
x
0
exp[P (s)/ε] ds, x ≥ −1.
Las constantes de integraci´on c
1
(ε) y c
2
(ε) han de satisfacer c
1
(ε) I(−1, ε) + c
2
(ε) = A(ε) y
c
1
(ε) I
L(ε), ε
+ c
2
(ε) = B(ε). Resulta
y(x, ε) =
A(ε) I
L(ε), ε
− B(ε) I(−1, ε) + [B(ε) − A(ε)] I(x, ε)
I
L(ε), ε
− I(−1, ε)
. (4.3)
Como el ´unico valor m´aximo de P (s) cuando s est´a entre cero y x 6= 0 es P (x), y como
P (s) = P(x) + x
m
p(x)(s − x) + ···, el m´etodo de Laplace (ver, por ejemplo, Wong [37, p´agina
58]) suministra la estimaci´on asint´otica para x 6= 0
I(x, ε) =
ε e
P (x)/ε
x
m
p(x)
[1 + O(ε)] (ε → 0
+
).
Como P
L(ε)
−P (L
0
) =
R
L
0
+εL
1
+O(ε
2
)
L
0
s
m
p(s) ds = εL
1
L
m
0
p(L
0
) + O
ε
2
, se tiene entonces
I
L(ε), ε
=
h
ε
λ(L
0
,L
1
)
exp
P (L
0
)
ε
i
[1 + O(ε)] cuando ε → 0
+
, donde por conveniencia se usa
la constante λ(L
0
, L
1
) definida como λ(L
0
, L
1
)
def
= L
m
0
p(L
0
) exp[−L
1
L
m
0
p(L
0
)]. Luego, de la
soluci´on exacta (4.3) se obtiene por una parte para x = 0, que y(0, ε) = y
0
(ε)[1 + O(ε)] donde
y
0
(ε)
def
=
A
0
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + B
0
λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
y por otra parte para x 6= 0,
y(x, ε) =
y
0
(ε) +
(B
0
− A
0
)
λ(L
0
,L
1
)p(−1)
x
m
p(x)
exp[P (x)/ε]
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
[1 + O(ε)] .
El comportamiento de la soluci´on depende de los valores relativos de P (−1) y P (L
0
); conviene
introducir el umbral
b
L donde estos dos valores son iguales.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
70 Jacques Laforgue
Lema 4.1. Si la integral impropia
R
∞
−1
s
m
p(s) ds diverge o si converge a un valor positivo, existe
un ´unico n´umero
b
L ∈ (0, ∞) tal que
R
b
L
−1
s
m
p(s) ds = 0 (por ejemplo, si la funci´on p es par,
entonces
b
L = 1); se tiene entonces P (
b
L) = P (−1) con P (x) < P (−1) para todo x ∈ (−1,
b
L)
y P (x) > P (−1) para todo x >
b
L. Si la integral impropia
R
∞
−1
s
m
p(s) ds converge a un valor
negativo o nulo, se tiene P (x) < P (−1) para todo x > −1 y se define
b
L
def
= ∞.
Demostraci´on. Son consecuencias inmediatas de que la funci´on suave P es estrictamente decre-
ciente en el intervalo [−1, 0] y estrictamente creciente despu´es.
Ahora se est´a en condiciones de describir expl´ıcitamente el comportamiento asint´otico de la
soluci´on exacta, distinguiendo tres casos, tratados en las tres proposiciones siguientes.
Proposici´on 4.1. Si L
0
<
b
L donde
b
L est´a definido en el Lema 4.1, se cumple
y(x, ε) ∼ B
0
+ (A
0
− B
0
) e
−p(−1)(x + 1)/ε
(ε → 0
+
). (4.4)
La soluci´on tiene una capa de frontera a la izquierda en x = −1 y fuera de ella es aproximada-
mente constante, con el valor l´ımite impuesto en el extremo derecho.
Demostraci´on. L
0
<
b
L implica P (L
0
) < P (−1); entonces y
0
(ε) = B
0
+ O
exp
P (L
0
)−P (−1)
ε
(la diferencia es trascendentalmente peque˜na) y para x 6= 0 se tiene y(x, ε) =
B
0
+ (B
0
−
A
0
)
p(−1)
x
m
p(x)
exp
P (x)−P (−1)
ε
[1 + O(ε)], con P (x) < P (−1) si x > −1. Luego si x + 1 6= O(ε),
entonces y(x, ε) = B
0
+O(ε) y si x+1 = O(ε), entonces P (x)−P (−1) = P
0
(−1)(x+1)+O
(x+
1)
2
= −p(−1)(x + 1) + O
ε
2
, se tiene y(x, ε) =
B
0
+ (B
0
− A
0
)
p(−1)
−p(−1)+O(ε)
exp[−p(−1)(x +
1)/ε]
[1 + O(ε)], y la conclusi´on sigue.
Proposici´on 4.2. Si L
0
>
b
L donde
b
L est´a definido en el Lema 4.1, se cumple
y(x, ε) ∼ A
0
+ (B
0
− A
0
) e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
). (4.5)
La soluci´on tiene una capa de frontera a la derecha en x = L(ε) y fuera de ella es aproximada-
mente constante, con el valor l´ımite impuesto en el extremo izquierdo.
Demostraci´on. L
0
>
b
L implica P (L
0
) > P (−1); entonces y
0
(ε) = A
0
+ O
exp
P (−1)−P (L
0
)
ε
(la diferencia es trascendentalmente peque˜na) y para x 6= 0 se tiene y(x, ε) =
A
0
+ (B
0
−
A
0
)
λ(L
0
,L
1
)
x
m
p(x)
exp
P (x)−P (L
0
)
ε
[1 + O(ε)], con P (x) < P (L
0
) si x < L
0
. Luego si x − L
0
6= O(ε),
entonces y(x, ε) = A
0
+O(ε) y si x−L
0
= O(ε), entonces P (x)−P (L
0
) = P
0
(L
0
)(x−L
0
)+O
(x−
L
0
)
2
= L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
) + O
ε
2
, se tiene y(x, ε) =
A
0
+ (B
0
− A
0
)
L
m
0
p(L
0
) exp[−L
1
L
m
0
p(L
0
)]
L
m
0
p(L
0
)+O(ε)
exp[L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
)/ε]
[1 + O(ε)], y L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
−εL
1
)/ε = L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε + O(ε)
implica la conclusi´on.
Proposici´on 4.3. Si L
0
=
b
L definido en el Lema 4.1, se cumplen y(0, ε) ∼ y
0
con y
0
def
=
A
0
p(−1) + B
0
λ(L
0
, L
1
)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
y(x, ε) ∼ y
0
+
(A
0
− B
0
)λ(L
0
, L
1
)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
−p(−1)(x + 1)/ε
+
(B
0
− A
0
)p(−1)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
).
(4.6)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 71
La soluci´on tiene capas de frontera en ambos extremos x = −1 y x = L(ε) ; entre ellas es apro-
ximadamente constante, un promedio ponderado de los valores l´ımites impuestos en los bordes.
Demostraci´on. Como P (L
0
) = P (−1), entonces y
0
(ε) = y
0
y para x 6= 0 se tiene
y(x, ε) =
y
0
+
(B
0
− A
0
)λ(L
0
, L
1
)p(−1)
x
m
p(x)[p(−1) + λ(L
0
, L
1
)]
exp
P (x) − P (−1)
ε
[1 + O(ε)],
con P (x) < P (−1) si −1 < x < L
0
. Luego si x + 1 6= O(ε) y x − L
0
6= O(ε), entonces
y(x, ε) = y
0
+ O(ε). Los casos x + 1 = O(ε) y x − L
0
= O(ε) son an´alogos a los vistos para las
Proposiciones 4.1 y 4.2 respectivamente.
Observaci´on 4.1. Como l´ım
L
1
→−∞
λ(L
0
, L
1
) = ∞ y l´ım
L
1
→∞
λ(L
0
, L
1
) = 0, la aproximaci´on
(4.6) evoluciona continuamente de la (4.4) a la (4.5) cuando L
1
var´ıa de −∞ a ∞.
As´ı aclarado el comportamiento asint´otico de la soluci´on exacta, se asume desconocido y
se aplica el MEAE. Una soluci´on regular de la EDO Y (x, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
Y
i
(x) debe satisfacer
−x
m
p(x)Y
0
0
= 0 y x
m
p(x)Y
0
i+1
= Y
00
i
= 0 para todo i ∈ N; por lo tanto, todos sus t´erminos son
constantes:
Y (x, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
k
i
(ε → 0
+
).
Para una posible capa de frontera a la izquierda en x = −1, se introduce el cambio de variables
t = (x + 1)/ε, z(t, ε) = y(x, ε). El problema local correspondiente es
(
¨z + (1 − εt)
m
p(−1 + εt) ˙z = 0, 0 ≤ t < ∞
z(0, ε) = A(ε), l´ım
t→∞
z(t, ε) = Y (−1, ε).
Se resuelve mediante una expansi´on asint´otica z(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
z
i
(t), cuyo t´ermino dominante
z
0
= z
0
(t) va a satisfacer
¨z
0
+ p(−1) ˙z
0
= 0, z
0
(0) = A
0
, l´ım
t→∞
z
0
(t) = k
0
;
por lo tanto, resulta
z
0
(t) = k
0
+ (A
0
− k
0
)e
−p(−1)t
, t ∈ [0, ∞).
En particular, se anota ˙z
0
(0) = (k
0
− A
0
)p(−1) para uso futuro.
Para una posible capa de frontera a la derecha en x = L(ε), se introduce el cambio de variables
t = [x − L(ε)]/ε, z(t, ε) = y(x, ε). El problema local correspondiente es
(
¨z − [L(ε) + εt]
m
p
L(ε) + εt
˙z = 0, −∞ < t ≤ 0
z(0, ε) = B(ε), l´ım
t→−∞
z(t, ε) = Y
L(ε), ε
.
Se resuelve mediante una expansi´on asint´otica z(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
z
i
(t), cuyo t´ermino dominante
z
0
= z
0
(t) va a satisfacer
¨z
0
− L
m
0
p(L
0
) ˙z
0
= 0, z
0
(0) = B
0
, l´ım
t→−∞
z
0
(t) = k
0
;
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
72 Jacques Laforgue
por lo tanto, resulta
z
0
(t) = k
0
+ (B
0
− k
0
)e
L
m
0
p(L
0
)t
, t ∈ (−∞, 0].
En particular, se anota ˙z
0
(0) = (B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) para uso futuro.
De conocerse el valor de la constante k
0
, se contar´ıa con la aproximaci´on asint´otica compuesta
y(x, ε) ∼ k
0
+ (A
0
− k
0
) e
−p(−1)(x + 1)/ε
+ (B
0
− k
0
) e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
).
(4.7)
Para determinar el valor de k
0
, se va a derivar una condici´on de frontera adicional de tipo
mixto; es decir, involucrando ambos extremos del dominio. Como ya se imponen los valores de la
soluci´on ah´ı, ser´a una condici´on sobre los valores de su primera derivada.
Se multiplica la EDO en (4.1) por el factor integrante exp[−P (x)/ε], donde la funci´on P
fue definida en (4.2). Viene {εy
0
exp[−P (x)/ε]}
0
= 0, lo cual se integra de x = −1 a x = L(ε),
resultando εy
0
L(ε), ε
exp[−P
L(ε)
/ε] = εy
0
(−1, ε) exp[−P (−1)/ε]. Luego, usando los valores
˙z
0
(0) anotados m´as arriba, se obtiene
(B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) + O(ε) = [(k
0
− A
0
)p(−1) + O(ε)] exp
P
L(ε)
− P (−1)
ε
,
de donde
(B
0
− k
0
)λ(L
0
, L
1
) + O(ε) = [(k
0
− A
0
)p(−1) + O(ε)] exp
P (L
0
) − P (−1)
ε
.
Esto implica que si L
0
<
b
L, se tiene k
0
= B
0
, la aproximaci´on (4.7) se reduce a la (4.4) y se
deduce lo contenido en la Proposici´on 4.1; si L
0
>
b
L, se tiene k
0
= A
0
, la aproximaci´on (4.7)
se reduce a la (4.5) y se deduce lo contenido en la Proposici´on 4.2; finalmente, si L
0
=
b
L, se
tiene k
0
=
A
0
p(−1)+B
0
λ(L
0
,L
1
)
p(−1)+λ(L
0
,L
1
)
= y
0
, la aproximaci´on (4.7) coincide con la (4.6) y se deduce lo
contenido en la Proposici´on 4.3. As´ı, el m´etodo propuesto produce lo correcto en todos los casos.
Se presenta ahora una ilustraci´on de lo analizado en esta secci´on con un ejemplo particular.
Ejemplo 4.1. Para disponer de una soluci´on exacta que se pueda representar gr´aficamente con
facilidad, se va a usar el valor m = 1 as´ı como una funci´on positiva p que depende adem´as del
par´ametro ε (pero sin tender a cero cuando ε → 0
+
).
La soluci´on general de la EDO
εy
00
− x
1 +
2ε
x
2
+ ε
y
0
= 0 (4.8)
es y(x, ε) = c
1
(ε)x exp
x
2
−1
2ε
+ c
2
(ε), y su soluci´on particular bajo las condiciones de frontera
y(−1, ε) = −1, y
L(ε), ε
= 1 (4.9)
es
y(x, ε) =
2xe
x
2
−1
2ε
+ 1 − L(ε)e
L
2
(ε)−1
2ε
1 + L(ε)e
L
2
(ε)−1
2ε
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 73
la cual admite como aproximaci´on asint´otica uniforme cuando ε → 0
+
y(x, ε) ∼
1 − 2e
−(x + 1)/ε
si L
0
< 1,
1 − e
L
1
1 + e
L
1
−
2
1 + e
L
1
e
−(x + 1)/ε
+
2e
L
1
1 + e
L
1
e
[x − L(ε)]/ε
si L
0
= 1,
−1 + 2e
L
0
[x − L(ε)]/ε
si L
0
> 1.
Esto es consistente con (4.4) (aqu´ı p(−1, 0) = 1 ), con (4.5) (aqu´ı p(L
0
, 0) = 1 ) y con (4.6)
(aqu´ı λ(L
0
, L
1
) = e
−L
1
).
La Figura 1 muestra la soluci´on exacta del PVF (4.8)-(4.9) y su aproximaci´on asint´otica
uniforme superpuesta, para varios valores representativos de L(ε), con una capa de frontera a la
izquierda cuando L
0
<
b
L, una a la derecha cuando L
0
>
b
L y las dos capas de frontera cuando
L
0
=
b
L (aqu´ı,
b
L = 1 porque p es una funci´on par de x ).
Figura 1: Superposici´on de la soluci´on del Ejemplo 4.1 y de su aproximaci´on para los casos
L(ε) = 0,5 <
b
L, L(ε) = 2 >
b
L y L(ε) ' 1 =
b
L. Se us´o el valor ε = 0,05.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
74 Jacques Laforgue
4.1 Ecuaci´on perturbada exhibiendo supersensibilidad
El m´etodo presentado ha eliminado la indeterminaci´on, incluyendo la situaci´on sensible planteada
por Skinner [33], en la cual una modificaci´on de orden ε de la extensi´on del dominio implica un
cambio de orden uno en la soluci´on resonante, cuando L(ε) =
b
L + O(ε).
Se va a ver que el m´etodo adem´as sirve para resolver la situaci´on supersensible [14,19] plantea-
da por Williams [36] (ver tambi´en Kopell [11]), en la cual una perturbaci´on trascendentalmente
peque˜na en la EDO puede provocar un cambio de orden uno en la soluci´on resonante.
Se considera la EDO perturbada
εy
00
− x
m
p(x)y
0
= ε
−1
m+1
e
−M/ε
q(x)[y − C(ε)],
donde intervienen adicionalmente la constante positiva M, la funci´on suave q tal que q(0) > 0,
y la funci´on real anal´ıtica C(ε) =
P
∞
i=0
ε
i
C
i
con C
0
6= 0.
Como la perturbaci´on es trascendentalmente peque˜na (mientras y se mantenga acotada), el
MEAE da el mismo resultado como en el caso no perturbado que se acaba de tratar.
Se deriva una condici´on de frontera adicional de la misma manera, usando el factor integrante
exp[−P (x)/ε] e integrando de x = −1 a x = L(ε); resulta
εy
0
L(ε), ε
exp[−P
L(ε)
/ε] − εy
0
(−1, ε) exp[−P (−1)/ε]
= ε
−1
m+1
e
−M/ε
Z
L(ε)
−1
q(s)[y(s, ε) − C(ε)] exp[−P (s)/ε] ds.
Como el ´unico valor m´ınimo de P (s) cuando s est´a entre −1 y L(ε) es P (0) = 0, y
como P (s) =
p(0)
m+1
s
m+1
+ ···, el m´etodo de Laplace (ver, por ejemplo, Holmes [9, p´agina 306])
proporciona la estimaci´on
ε
−1
m+1
Z
L(ε)
−1
q(s)[y(s, ε) − C(ε)] exp[−P (s)/ε] ds = µ[y(0, 0) − C
0
] + O(ε),
donde µ es la constante µ
def
=
2q(0)Γ(1/(m+1))
m+1
√
(m+1)
m
p(0)
. La condici´on adicional se transforma en
[(B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) + O(ε)] e
−P
L(ε)
/ε
+ [(A
0
− k
0
)p(−1) + O(ε)] e
−P (−1)/ε
= [µ(k
0
− C
0
) + O(ε)] e
−M/ε
.
Si M > m´ın{P (−1), P (L
0
)}, la perturbaci´on introducida en la EDO es demasiado peque˜na
para tener efecto perceptible y valen las Proposiciones 4.1, 4.2 y 4.3.
Si M < m´ın{P (−1), P (L
0
)}, la perturbaci´on domina los dem´as efectos e impone k
0
= C
0
como amplitud de la resonancia en primera aproximaci´on.
Si M = m´ın{P (−1), P (L
0
)}, el valor de k
0
queda determinado como
k
0
=
λ(L
0
, L
1
)B
0
+ µC
0
λ(L
0
, L
1
) + µ
si M = P (L
0
) < P (−1),
p(−1)A
0
+ λ(L
0
, L
1
)B
0
+ µC
0
p(−1) + λ(L
0
, L
1
) + µ
si M = P (L
0
) = P (−1),
p(−1)A
0
+ µC
0
p(−1) + µ
si M = P (−1) < P (L
0
).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 75
Todos estos resultados supersensibles (donde aparece la nueva constante C
0
) son consistentes
con lo obtenido en [15] mediante din´amica metaestable.
5 Otros problemas exitosamente resueltos
En [18], se aplic´o el m´etodo propuesto nuevo adem´as a los casos de indeterminaci´on siguientes.
• Una ecuaci´on propuesta por Kreiss y Parter [13]
εy
00
− xy
0
+
xy
a + x
= 0,
donde el n´umero real a es tal que a > 1 (ellos usaron a = 2 ).
• La ecuaci´on de Hermite singularmente perturbada [11]
εy
00
− xy
0
+ qy = 0,
donde est´a dado el n´umero natural q.
• La misma ecuaci´on, con perturbaci´on supersensible (comparar con [36])
εy
00
− xy
0
+ qy = ε
−q−1/2
e
−M/ε
r(x)[y − C(ε)h(x, ε)],
donde intervienen adicionalmente la constante positiva M, la funci´on suave r tal que
r(0) > 0, la funci´on real anal´ıtica C = C(ε) con C
0
6= 0 y la funci´on polinomial de grado
q en x y grado [q/2] (parte entera de q/2 ) en ε
h(x, ε)
def
=
[q/2]
X
i=0
q!
(q − 2i)!
(−ε/2)
i
i!
x
q−2i
.
• Una ecuaci´on de Hermite generalizada, estudiada por Cook y Eckhaus [3] y por Lewis [22]
εy
00
− xy
0
+ (q + ax − a
2
ε)y = 0,
donde est´an dados los n´umeros q ∈ N y a ∈ R.
• Una ecuaci´on con un punto de retorno de orden impar y dos simples en la frontera (comparar
con [1])
εy
00
+ px
m
(x + 1)
x − L(ε)
y
0
= 0,
donde el n´umero real p es positivo, el n´umero natural m es impar y la funci´on real anal´ıtica
L = L(ε) da la frontera derecha del dominio.
• Una ecuaci´on de tercer orden (comparar con [10])
εy
000
− xy
00
= 0,
con dos condiciones de Dirichlet usuales y una de Neuman de tipo mixto:
ε
α(ε)y
0
(−1, ε) + β(ε)y
0
L(ε), ε
= C(ε),
siendo α, β y C funciones reales anal´ıticas de ε .
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
76 Jacques Laforgue
• Una ecuaci´on no lineal que pertenece a una clase de problemas estudiados por Boh´e [2]
εy
00
− xy
0
3/2
= 0.
• Una ecuaci´on con un t´ermino no local (comparar con [16])
εy
00
− xy
0
+ y − M
ε
y(·, ε)
= 0,
donde el funcional M
ε
es el promedio com´un tal que
M
ε
[y]
def
=
1
L(ε) + 1
Z
L(ε)
−1
y(s) ds,
para cualquier funci´on y integrable en el intervalo
−1, L(ε)
.
Se consider´o adem´as un caso que no es de EDO, cuya resoluci´on se presenta en la secci´on
siguiente.
6 Ecuaci´on en derivadas parciales
Se considera el PVF el´ıptico en un rect´angulo del plano xy
εu
xx
+ εu
yy
− xu
x
− yu
y
= 0, −1 ≤ x ≤ L, −1 ≤ y ≤ M,
u(−1, y, ε) = A(y, ε), u(L, y, ε) = B(y, ε),
u(x, −1, ε) = C(x, ε), u(x, M, ε) = D(x, ε), 0 < ε 1,
(6.1)
donde est´an dadas las dos constantes positivas L y M aqu´ı independientes del par´ametro de
perturbaci´on ε, y las funciones reales anal´ıticas A, B, C y D las cuales satisfacen condicio-
nes de consistencia entre s´ı: A(−1, ε) = C(−1, ε), B(M, ε) = D(L, ε), A(M, ε) = D(−1, ε) y
B(−1, ε) = C(L, ε).
Con el objeto de aplicar el MEAE, se empieza buscando una funci´on regular U = U(x, y, ε)
que satisfaga la ecuaci´on reducida. La convergencia, en una regi´on “exterior”, de la soluci´on del
PVF (6.1) hacia la de un problema reducido apropiado, est´a bien establecida para los PVF de su
clase (Lions [24]).
Las soluciones no constantes de la ecuaci´on hiperb´olica xU
x
+ yU
y
= 0, del tipo f(−y/x)
en el tri´angulo −1 ≤ x ≤ y ≤ −Mx, del tipo f(−x/y) en el tri´angulo −1 ≤ y ≤ x ≤ −Ly,
del tipo f(Ly/x) en el tri´angulo −x ≤ Ly ≤ Mx ≤ ML y del tipo f(M x/y) en el tri´angulo
−y ≤ Mx ≤ Ly ≤ LM , implican una singularidad en el origen del plano, punto de retorno de la
ecuaci´on. Por lo tanto, para poder ser regular, la soluci´on exterior es de la forma
U(x, y, ε) = k(ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
k
i
(x, y) ∈ (−1, L) × (−1, M),
donde los t´erminos k
i
son constantes reales.
Esto implica desde ya que si ninguna de las funciones dadas A, B, C o D es constante, se
pueden esperar cuatro capas de frontera, una en cada lado del rect´angulo.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 77
La averiguaci´on de una capa de frontera en el lado oeste del rect´angulo pasa por la sustituci´on
de la coordenada x en una vecindad del borde x = −1 por la variable local t = (x + 1)/ε. El
problema correspondiente es
¨u + ε
2
u
yy
+ (1 − εt) ˙u − εyu
y
= 0, 0 ≤ t < ∞, −1 ≤ y ≤ M,
u(0, y, ε) = A(y, ε), l´ım
t→∞
u(t, y, ε) = k(ε).
El t´ermino dominante local u
0
= u
0
(t, y) debe satisfacer
¨u
0
+ ˙u
0
= 0, u
0
(0, y) = A
0
(y), l´ım
t→∞
u
0
(t, y) = k
0
;
por lo tanto, resulta
u
0
(t, y) = k
0
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−t
, 0 ≤ t < ∞, −1 ≤ y ≤ M.
Procediendo de manera similar para el lado sur del rect´angulo con la nueva variable local
t = (y + 1)/ε, se obtiene
u
0
(x, t) = k
0
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−t
, −1 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t < ∞.
Para el lado este, la variable local es t = (x − L)/ε y el problema correspondiente es
¨u + ε
2
u
yy
− (L + εt) ˙u − εyu
y
= 0, −∞ < t ≤ 0, −1 ≤ y ≤ M,
u(0, y, ε) = B(y, ε), l´ım
t→−∞
u(t, y, ε) = k(ε).
El t´ermino dominante local u
0
= u
0
(t, y) debe satisfacer
¨u
0
− L ˙u
0
= 0, u
0
(0, y) = B
0
(y), l´ım
t→−∞
u
0
(t, y) = k
0
;
por lo tanto, resulta
u
0
(t, y) = k
0
+ [B
0
(y) − k
0
]e
Lt
, −∞ < t ≤ 0, −1 ≤ y ≤ M.
Procediendo de manera similar para el lado norte del rect´angulo con la nueva variable local
t = (y − M)/ε, se obtiene
u
0
(x, t) = k
0
+ [D
0
(x) − k
0
]e
Mt
, −1 ≤ x ≤ L, −∞ < t ≤ 0.
De todo lo anterior, se desprende un ansatz de aproximaci´on asint´otica compuesta al orden
uno,
u(x, y, ε) ∼ k
0
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−(x+1)/ε
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−(y+1)/ε
+ [B
0
(y) − k
0
]e
L(x−L)/ε
+ [D
0
(x) − k
0
]e
M(y−M )/ε
(ε → 0
+
),
(6.2)
donde la constante real k
0
qued´o sin determinar.
Se recurre entonces a derivar una condici´on de frontera adicional a partir de la ecuaci´on en
derivadas parciales. Al multiplicarla por el factor no nulo exp
−
x
2
+y
2
2ε
, se obtiene la ley de
conservaci´on
εu
x
e
−
x
2
+y
2
2ε
x
+
εu
y
e
−
x
2
+y
2
2ε
y
= 0.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
78 Jacques Laforgue
Integrando respecto de x entre −1 y L, y respecto de y entre −1 y M , viene la nueva
condici´on de frontera
Z
M
−1
h
εu
x
(L, y, ε)e
−L
2
2ε
− εu
x
(−1, y, ε)e
−1
2ε
i
e
−y
2
2ε
dy
+
Z
L
−1
h
εu
y
(x, M, ε)e
−M
2
2ε
− εu
y
(x, −1, ε)e
−1
2ε
i
e
−x
2
2ε
dx = 0. (6.3)
Se pueden usar las soluciones interiores dominantes para estimar los integrandos:
Z
M
−1
n
L[B
0
(y) − k
0
]e
−L
2
2ε
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−1
2ε
o
e
−y
2
2ε
dy
+
Z
L
−1
n
M[D
0
(x) − k
0
]e
−M
2
2ε
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−1
2ε
i
e
−x
2
2ε
dx ∼ 0.
Al aplicar el m´etodo de Laplace y simplificando por
√
2πε, se sigue finalmente la condici´on
L[B
0
(0) − k
0
]e
−L
2
2ε
+ M[D
0
(0) − k
0
]e
−M
2
2ε
+ [A
0
(0) + C
0
(0) − 2k
0
]e
−1
2ε
∼ 0.
La indeterminaci´on queda entonces eliminada de la manera siguiente.
k
0
=
B
0
(0) si L < m´ın{M, 1},
D
0
(0) si M < m´ın{L, 1},
[B
0
(0) + D
0
(0)]/2 si L = M < 1,
[A
0
(0) + C
0
(0)]/2 si 1 < m´ın{L, M },
[A
0
(0) + B
0
(0) + C
0
(0)]/3 si L = 1 < M,
[A
0
(0) + C
0
(0) + D
0
(0)]/3 si M = 1 < L,
[A
0
(0) + B
0
(0) + C
0
(0) + D
0
(0)]/4 si L = M = 1.
Estos resultados son consistentes con lo obtenido por Grasman y Matkowsky [8] usando su
m´etodo de c´alculo variacional. El valor de la constante k
0
(valor l´ımite de la soluci´on en todo
el interior del rect´angulo) est´a determinado por el o los puntos m´as cercanos al origen-punto de
retorno, puntos de contacto con la frontera del c´ırculo interior al rect´angulo centrado en el origen
y de radio m´aximo: seg´un los valores de L y M, son uno o varios de los puntos (0, −1), (L, 0),
(0, M ) y (−1, 0), en los cuales est´an impuestos los valores C(0, ε), B(0, ε), D(0, ε) y A(0, ε),
respectivamente.
7 Conclusi´on
Los problemas singularmente perturbados que exhiben el fen´omeno de resonancia de Ackerberg
y O’Malley representan un reto dif´ıcil para el cient´ıfico interesado en conocer el comportamiento
preciso de sus soluciones y su dependencia del par´ametro peque˜no ε, debido al fracaso del m´etodo
de expansiones asint´oticas empatadas que, en las dem´as situaciones, le aporta toda la informa-
ci´on que busca. Las alternativas de resoluci´on ofrecidas en la literatura especializada involucran
alejarse del an´alisis asint´otico est´andar, sin ofrecer demostraci´on rigurosa de la validez de los
resultados as´ı conseguidos.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 79
El m´etodo dado a conocer en este art´ıculo ofrece una alternativa m´as asequible porque se ha
visto que involucra los mismos procedimientos b´asicos que se emplean de manera rutinaria en el
manejo de las ecuaciones diferenciales ordinarias cl´asicas.
Adem´as, la efectividad del m´etodo queda establecida con la resoluci´on de pr´acticamente todos
los problemas cuyo car´acter resonante haya sido debidamente demostrado en la literatura, con
comprobaci´on de los resultados espec´ıficos mediante la estimaci´on de la soluci´on exacta cuando
est´e disponible o mediante la consistencia con los resultados de otro procedimiento.
Tambi´en el m´etodo ha resultado vers´atil, ya que ha sido capaz de resolver los casos excep-
cionales de supersensibilidad as´ı como los problemas de estructura diferente que presenten una
indeterminaci´on an´aloga, un ejemplo se ha visto con la ecuaci´on en derivadas parciales tratada
en la Secci´on 6.
Agradecimientos
In mem´oriam: Agradecimiento eterno al Profesor Bob O’Malley (1939-2020), primera autoridad
incontestable en la teor´ıa, el an´alisis, los m´etodos, las aplicaciones y la historia de las perturba-
ciones singulares, pero sobre todo maestro ejemplar, de una humanidad fuera de lo com´un, cuya
carism´atica personalidad ha marcado profundamente a quienes se beneficiaron de sus ense˜nanzas,
y fuimos much´ısimos en el mundo entero, gracias a su disposici´on siempre abierta y atenta para
todos.
Referencias
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