Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540082

(CC BY-NC-SA 4.0)

c©Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068

Grafo divisor de cero de Z2rqs

Zero divisor graph of Z2rqs

Juan M. Otero Acosta (jmotero746@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0009-0009-8245-9803

Departamento de Informática
Universidad Clodosbaldo Russián

Cumaná, República Bolivariana de Venezuela.

Daniel Brito (danieljosb@gmail.com)
Departamento de Matemática

Universidad de Oriente
Cumaná, República Bolivariana de Venezuela.

Tob́ıas Rosas Soto (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011

Departamento de Matemática
Facultad Experimental de Ciencias

Universidad del Zulia
Maracaibo, Estado Zulia

República Bolivariana de Venezuela.

Resumen
Este art́ıculo se continua el estudio de los grafos divisores de cero, presentado en 1988

por Istan Beck [2]. Alĺı se define un grafo divisor de cero como un grafo cuyos vértices son
los elementos del conjunto de divisores de cero de un anillo, donde dos vértices distintos x
e y son adayacentes si y solo si x · y = 0. En este trabajo, se presenta una nueva forma
de calcular el grafo divisor de cero del anillo Z2rqs para q primo impar, con r y s enteros
positivos mayores que 2, además se da el ejemplo del grafo divisor de cero del anillo Z36.

Palabras y frases clave: Anillos, conjunto divisor de cero, grafo divisor de cero.

Abstract
This article continues the study of zero divisor graphs, presented in 1988 by Istan Beck

[2]. There, a zero divisor graph is defined as a graph whose vertices are the elements of the
set of zero divisors of a ring, where two distinct vertices x and y are adjacent if and only if
x · y = 0. In this work, we present a new way to calculate the zero divisor graph of the ring
Z2rqs for q an odd prime, with r and s positive integers greater than 2, and the example of
the zero divisor graph of the ring Z36 is also given.

Key words and phrases: Rings, zero divisor set, zero dividers graph.

Recibido 15/02/2023. Revisado 21/04/2023. Aceptado 15/04/2024.
MSC (2010): Primary 05C85; Secondary 13M05.
Autor de correspondencia: Juan Otero Acosta

Grafo divisor de cero de Z2rqs 55

1 Introducción
Harary en 1972, define a un grafo G como un par ordenado G = (V,E) donde: V es un conjunto
vértices o nodos; y E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan a estos nodos. Los grafos
permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Además, si R es un
anillo conmutativo con identidad, entonces Ω(R) representa el conjunto de los divisores de cero
de R. El estudio de los llamados grafos divisores de cero, originados por Beck [2], en su art́ıculo
“Coloring of conmutative ring”, es cada d́ıa más necesario por su articulación con otras ramas
de la investigación matemática. En 1988, Beck define los grafos divisores de cero de la siguiente
manera: asociando un grafo simple a un anillo conmutativo R, donde los vértices son los elementos
del anillo y la adyacencia (aristas) entre los vértices se obtiene a través de los divisores de cero,
es decir, dos vértices distintos x e y son adyacencia si y solo si x · y = 0.

El objetivo en el art́ıculo de Beck, era estudiar la coloración de los anillos conmutativos, con
la idea de establecer una relación entre la teoŕıa de grafo y la teoŕıa de anillos conmutativo. En
1999, Andersen y Livistong [1], publican el art́ıculo “The zero divisor graph of a conmutative
ring” y es en éste donde se estudian las propiedades y estructuras de los grafos divisores de cero,
los cuales también se estudian en el presente trabajo, y se denotan por Γ(R), donde R es un anillo
conmutativo.

En [7] se dan algunas representaciones y caracterizaciones de los grafos divisores de cero,
para los anillos conmutativos de la forma Zpnq. En [3], se introduce la definición de conjuntos r-
partitos, definición clave para la representación de los grafos divisores de cero. Aśı como también
algunas caracterizaciones, el diámetro y el número de clique para estos grafos.

Los aportes de este trabajo son:

i.- Trabajar con las estructuras algebraicas de los anillos conmutativos de la forma Z2rqs , para
q primos distintos, r y s entero positivos mayores que 2.

ii.- Estudiar las representaciones de los grafos divisores de cero sobre Z2rqs , que se obtendrán
para cada caso, aśı como su caracterizaciones, el diámetro, número de clique.

iii.- Dar un método para la elaboración de un algoritmo donde se puedan representar estos
grafos para las estructuras algebraicas antes mencionadas.

2 Conjuntos divisores de cero
En esta sección se presentan un resumen de definiciones y resultados relacionados con los con-
juntos divisores de cero.

Definición 2.1 (Divisor de cero). Sea R un anillo, un elemento x ∈ R, se llama divisor de cero,
si existe y ∈ R, distinto de cero, tal que x · y = 0.

Nota 2.1. Se trabajará muy a menudo con el anillo conmutativo Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}, el cual
no es más que el conjunto de las clases módulo n. En lo que continúa de escritura, se suprimirá
las barras para denotar al mismo anillo Zn, en caso contrario se informará.

Definición 2.2 (Conjunto divisor de cero). Dado un anillo R, el conjunto divisor de cero de R,
denotado por Ω(R), es el conjunto para el cual, cada vez que se elija un elemento x ∈ Ω(R), no
nulo, existe otro elemento no nulo y ∈ Ω(R), tal que x · y = 0.

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56 Juan Otero - Daniel Brito - Tob́ıas Rosas

Ejemplo 2.1. Sea el anillo conmutativo siguiente Z36 = Z2232 = {0, 1, 2, 3, · · · , 35}. Su conjunto
divisor de cero es:

Ω(Z36) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34}.
Nota 2.2. Otra manera de ver Ω(Z36), son los elementos no primos relativos con 36.

Otros anillos a los cuales también se les calcula su conjunto divisor de cero son los siguientes:

Ejemplo 2.2. Sea el anillo conmutativo Z2×Z2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Su conjunto divisor
de cero es:: Ω(Z2 × Z2) = {(1, 0), (0, 1)}. Puesto que:

(1, 0)× (0, 1) = (0, 0) ∈ Z2 × Z2
(1, 0)× (1, 1) = (1, 0) ∈ Z2 × Z2
(0, 1)× (1, 1) = (0, 1) ∈ Z2 × Z2

Ejemplo 2.3. Sea el anillo

R =
Z3[x]
x2

= {0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2}.

Su conjunto divisor de cero es: Ω(Z3[x]
x2 ) = {x, 2x}. Puesto que:

x · 2x = 2x2 = 2 · 0 = 0

n Descomposición prqs |Ω(Zn)|
36 2232 23
72 2332 47
100 2252 59
108 2233 71
144 2432 95
196 2272 111
200 2352 119
300 2253 219
392 2372 223

Cuadro 1: Tabla con la cardinalidad algunos Ω(Z2rqs)

Los siguientes son resultados relacionados con los conjuntos divisores de cero. En [6], aparecen
los siguientes corolarios

Corolario 2.1. El anillo Zp no tiene divisores de cero si y solo si p es primo.

Corolario 2.2. Un anillo no tiene divisores de cero si y solo si se cumple la ley cancelativa del
producto para todo elemento no nulo del anillo.

Seguidamente en [4], se presenta el siguiente resultado:

Proposición 2.1. Sea R un anillo conmutativo finito, entonces cada elemento de R es invertible
o divisor de cero.

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Grafo divisor de cero de Z2rqs 57

Demostración. Sea a ∈ R. Si a ∈ Ω(R), esto significa que a es un divisor de cero. Por otro lado, si
a no pertenece a Ω(R), entonces a 6= 0 y para todo b ∈ R−{0}, se tiene que a · b 6= 0. Como R es
finito, supóngase que R tiene n elementos y hágase R = {0, a2, a3, · · · , an}. Luego, multilplicando
cada elemento de R por a se obtiene a · 0 = 0 y a · ai 6= 0, para 2 ≤ i ≤ n. Si i 6= j, a · ai 6= a · aj ,
pues en caso contrario a(ai − aj) = 0, lo que diŕıa que a ∈ Ω(R) lo que es una contradicción.
Como R es un anillo conmutativo, entonces 1 ∈ R y por ser R finito debe existir ak ∈ R, con
2 ≤ k ≤ n, tal que a · ak = 1 de manera que a es invertible.

El siguiente teorema dado en [4], es fundamental para futuras investigaciones conectadas por
los grafos divisores de cero y anillos de polinomios.
Teorema 2.1 (Teorema de McCoy). Sea R un anillo. Un polinomio f ∈ R[x] es un divisor de
cero si y solo si, existe r ∈ R tal que r · f = 0.

3 Grafo divisor de cero
En esta sección, se presenta una definición de grafo divisor de cero entre las muchas que exis-
ten, y algunos resultados relacionados con los mismos. En este apartado los anillos de trabajo
se consideran conmutativos y con identidad. A continuación se presentan las definiciones más
elementales que sustentan el trabajo.
Definición 3.1. Un grafo es un par de conjuntos G = (V,E), donde V es un conjunto no vaćıo de
elementos llamados vértices, nodos o puntos y E es un conjunto formado por pares, no ordenados,
de elementos de V llamados lados, aristas o ĺıneas.A los conjuntos V y E también se les suele
denotar por V (G) y E(G), respectivamente.

La siguiente definición de conjunto r-partitos es bueno conocerla puesto que es crucial en la
construcción de los grafos divisores de cero, aqúı propuestos.
Definición 3.2. Un grafo G = (V,E) se dice k-partito si sus vértices están o pueden ser particio-
nados en k diferentes conjuntos independientes. Lo que se traduce diciendo que: existen conjuntos
W1,W2, · · · ,Wr, tales que cumplen las siguientes condiciones:

1. Wi 6= ∅, ∀ i = 1, 2, . . . , r.

2. Wi ∩Wj = ∅ ∀ i, j = 1, 2, . . . , r, con i 6= j.

3.
r⋃

i=1
Wi = V

4. Si v, w ∈Wi entonces (v, w) /∈ E, para todo i = 1, . . . , r.
Definición 3.3. Sea R un anillo conmutativo, el grafo divisor de cero de R, el cual se denotará
por Γ(R), se define por:

Γ(R) = (V (Γ(R)), E(Γ(R)))
donde V (Γ(R)): es el conjunto formado por los elementos del conjunto divisor de cero de R, es
decir,

Ω(R) = V (Γ(R))
y

E(Γ(R)) = {(x, y) : x, y ∈ V (Γ(R)), x · y = 0, x 6= y}

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4 Clique, diámetro y girth de Γ(Zn)
A los grafos divisores de cero también se le asocian el clique, diámetro y girth, como se verá a
continuación.

Definición 4.1. Un grafo simple G = (V,E) es completo, si cada uno de los vértices es adyacente
a los restantes vértices del grafo G, el grafo completo de orden n es denotado por Kn.

Definición 4.2. Todo subgrafo Kr de Γ(Zn) es llamado un clique de orden r.

Definición 4.3. El número de clique de Γ(Zn), denotado por ω(Γ(Zn)), es el mayor entero r ≥ 1,
tal que Kr ⊂ Γ(Zn)

Definición 4.4. La distancia entre un par de vértices de un grafo G, es la longitud del camino
más corto entre ellos. Si no existe tal camino se dice que la distancia es infinita.

Definición 4.5. El diámetro del Γ(Zn), es la mayor distancia entre cualquiera dos vértices
distintos. Tal distancia se denotará por ∆(Γ(Zn))

Un resultado importante que aparece en [2], en el cálculo del diámetro en Γ(Zprqs) es el
siguiente:

Teorema 4.1. Si p y q son primos distintos, r y s enteros positivos mayores que 2 . Entonces
∆(Γ(Zprqs)) = 3

Definición 4.6. Un ciclo de Γ(Zn), es un camino cerrado en el cual no se repite ningún vértice,
salvo el vértice inicial. Un ćıclo de orden n de Γ(Zn) se denotará por Cn, donde n es el número
de vértices.

Definición 4.7. El girth de Γ(Zn), es la longitud del ciclo más corto. El girth de Γ(Zn), se
denotará por Φ(Γ(Zn))

Ejemplo 4.1. Sea el grafo divisor de cero del anillo Z36, esto es Γ(Z36), entonces ω(Γ(Z36)) = 5
como se puede ver en el subgrafo de Γ(Z36), coloreado de azul en la Figura 1. De igual forma
∆(Γ(Z36)) = 3 como se puede ver, como ejemplo, el subgrafo coloreado de rojo de Γ(Z36), en la
Figura 1. Por último, Φ(Γ(Z36)) = 3 como se puede observar en el subgrafo K3 de Γ(Z36) con
dos aristas coloreadas de verde y una de azul en la Figura 1.

Ejemplo 4.2. Para el grafo Γ(Z72) = Γ(Z2332). Este caso todos los subgrafos completos no-
isomorfos para Γ(= Z2332) son K2 y K3. Por lo tanto ω(Γ(= Z72)) = 3

5 Método de Representación
En esta sección se da un nuevo método para representar los Γ(Z2rqs), basado en la eoŕıa de
anillos, conjunto divisor de cero y conjuntos r-partitos. Es oportuno resaltar, que ya existen una
gran cantidad de métodos en este estilo, por ejemplo en [8], se presenta un método que articula la
teoŕıa de órbitas con las constantes baricéntricas y en [5], se da un método matricial que relaciona
a las constantes baricéntricas y la teoŕıa de matrices, este último método se implementó en el
lenguaje de computación conocido como MatLab.

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Grafo divisor de cero de Z2rqs 59

Método:

Supóngase que se quiere representar el grafo divisor de cero del anillo Zn o equivalentemente
Γ(Zn). Si n es primo entonces n no tiene divisores de cero y por lo tanto no existe su grafo divisor
de cero, esto fundamentado en el Corolario 2.1. Supóngase que n se puede descomponer en factores
primos en la forma 2rqs, donde q es un primo impar, r y s son enteros positivos mayores que 2.
Luego, se busca el conjunto divisor de cero del anillo, esto es, Ω(Z2rqs). Seguidamente se busca
los siguientes conjuntos a partir de Ω(Z2rqs):

1. A = {2k : 2k < n, con 1 ≤ k ≤ n−2
2 }.

2. B = {kq : kq < n, con k impar}.
3. C = {x ∈ A : n |x2q}. Aqúı n |x2q significa que n divide al producto x2q.

4. D = {x ∈ C : n |xz, para todo z ∈ A}.
Nótese que el conjunto D tiene un solo elemento dado que si x ∈ D este elemento debe cumplir
que n |xz, para todo z ∈ A en particular para los elementos 2 y 2q que están en A, de manera
que x debe ser de la forma 2r−1qs. Luego, con los conjuntos dados se realizan las siguientes
particiones:

V1 = A− C, V2 = B ∪D, V3 = C −D.

Nótese que si v, w ∈ V1, es decir, v, w ∈ A y v, w /∈ C. Por tanto, se tiene que n no divide al
producto vw pues de ser aśı entonces v ∈ C o w ∈ C lo cual es una contradicción. Aśı el conjunto
V1 es un conjunto indepediente. Por otro lado, si v, w ∈ V2 entonces se pueden tener las siguientes
posibilidades:

1. v, w ∈ B.

2. v ∈ B y w ∈ D, o viceversa, ya que D contiene un solo elemento.

En el supuesto que v, w ∈ B se tiene que n no divide al producto vw pues ni v ni w no tiene
ningún factor de la forma 2k para ningún valor de k = 1, . . . , r. De manera que en este caso no
hay una arista entre esos vertices de V . Supóngase ahora, sin pérdida de generalidad, que v ∈ B y
w ∈ D. De manera que v no tiene ninguún factor de la forma 2k para ningún valor de k = 1, . . . , r
y como w seŕıa 2r−1qs, entonces n no divide al producto vw. Teniendo con esto que no existen
aristas entre puntos de V2 y por tanto el conjunto es independiente.

Nótese que si x ∈ V3 entonces x contiene los factores 2r−1 y qs−1 para poder obtener que n
divida al producto x2q. Aśı, entre todos y cada uno, de los elementos del conjunto V3 se tienen
aristas entre ellos. De manera que por cada elemento presente en V3 se debe formar un conjunto
con un solo elemento, cada uno de los cuales sserá independiente.

Por último obsérvese que el conjunto de conjuntos independientes, o el número de partición,
es |V3| más los dos conjuntos V1 y V2, es decir, nuestro grafo Γ(Z2rqs) es (|V3|+ 2)-partito.

6 Ejemplo de aplicación del método
Ejemplo 6.1. Representar del grafo divisor de cero del anillo Z36.

Paso 1: Se chequea si n = 36 es primo, si es cierto Γ(Zn) no existe. Sino continuar con el
siguiente paso.

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Paso 2: Se descompone Zn = Z36 en la forma Z2rqs , esto es, Z36 = Z2232

Paso 3: En este paso se procede a calcular el conjunto divisor de cero del anillo esto es,

Ω(Z36) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34}

Paso 4: Aqúı se calculan los conjuntos A,B,C y D, tal cual se definieron en el método, para
buscar una partición de Ω(Z36), esto es:

1. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34}.

2. B = {3, 9, 15, 21, 27, 33}.

3. C = {12, 18, 24, 30}

4. D = {18}.

Paso 5: Construcción de la partción de representación de Ω(Z36).

1. V1 = A− C = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34}.

2. V2 = B ∪D = {3, 9, 18, 15, 21, 27, 33}.

3. V3 = C −D = {12, 24, 30}
Paso 6: Resultado de Γ(Z2232). Finalmente, como |V3|+ 2= 3 + 2 = 5. Entonces Γ(Z2232) es

5-partito.
Paso 7: Representción de Γ(Z2232)

Nótese que Ω(Z36) es 5-partito cuyos conjuntos estaŕıan dados por:

W1 = {24} W2 = {30} W3 = {3, 9, 15, 18, 21, 27, 33} W4 = {12}

W5 = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 30, 34}

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34

32

28

26

22

20

16

14

10

8

6

4

2

33

27

21

18

15

9

3

24 30

12

Figura 1: Ω(Z36), grafo divisor de cero del anillo Z36.

7 Algoritmo principal del método para Γ(Z2rqs)
.

Entrada: n entero positivo mayor que 2.

Salida: Representación de Γ(Zn).

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Paso 1 Se chequea si n es primo, en cuyo caso Zn no tiene divisores de cero. Por lo tanto, no
se tiene representación de Γ(Zn). En caso contrario.

Paso 2 Determinar la descomposición en factores primos de n, esto se traduce en escribir
n = 2rqr, donde p, q son números primos distintos y r, s enteros positivos mayor o igual a 2.

Paso 3 Obtener el conjunto divisor de cero Zn.

Paso 4 Calcular los Conjuntos A,B,C y D, definidos como sigue:

1. A = {2k : 2k < n, con 1 ≤ k ≤ n−2
2 }.

2. B = {kq : kq < n, con k impar}.
3. C = {x ∈ A : n |x2q}. Aqúı n |x2q significa que n divide al producto x2q.

4. D = {x ∈ C : n |xz, para todo z ∈ A}.

Paso 5 Con los conjuntos obtenidos en el paso 4, se contruye la partición:

1. V1 = A− C.

2. V2 = B ∪D.

3. V3 = C −D.

Paso 6 Con la expresión |V3|+ 2, se conoce el número de conjuntos r partitos que tendrá el
grafo buscado.

Paso 7 Salida Γ(Zn).

Paso 8 Fin.

A continuación tabla con algunos valores de grafos r partitos.

n Descomposición prqs Γ(Zn)
36 2232 5-partito
72 2332 7-partito
100 2252 9-partito
108 2233 6-partito
144 2432 11-partito

Cuadro 2: Tabla con algunas clases de Γ(Zn)

Referencias
[1] Andersen, D. and Livinston, P. The zero divisor graph of a conmutative ring, J. Algebra,

217 (1999), 434-447.

Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63

Grafo divisor de cero de Z2rqs 63

[2] Beck, I. Coloring of Conmutative rings, J. Algebra, 116 (1988), 288-226.

[3] Chartrand, G. and Lesniak, L. Graphs and Digraphs, Wadsworth and Brooks. 3era ed, Ca-
lifornia (1986).

[4] Fanelli, C. Grafo Divisor de Zero de un Anillo Conmutativo, Tesis de Maestŕıa, Universidad
de Maringa, Brazil, (2011).

[5] Otero, J.Un método matricial para el cálculo de las constantes de Davenport y Olson k-
baricéntricas. Tesis de Maestŕıa. Universidad de Oriente. Venezuela. 2011.

[6] Rojo, A. Álgebra I., Buenos Aires, Argentina, 1983.

[7] Shuker, N.; Mohammad, H. and Ali, A. The Zero Divisor Graph of Zpnq, International
Journal of Algebra, 6 (2012), 1049-1055.

[8] Villarroel, F. La constante de Olson k-baricéntrica y un teorema inverso de Erds-Ginzburg-
Ziv. Tesis Doctoral. Universidad Central de Venezuela. 2008.

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