Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11539852
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales
T op(X) and Spec(τ) as primal spaces
Viviana Benavides (bfviviana@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4984-4613
Estudiante Maestr´ıa Acad´emica con Trayectoria de Investigaci´on en Matem´atica, Instituto de
Posgrado
Universidad T´ecnica de Manab´ı
Portoviejo, Manab´ı, Ecuador
Jorge Enrique Vielma (jevielma@espol.edu.ec)
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9620-6756
Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias Naturales y Matem´aticas
Escuela Superior Polit´ecnica del Litoral
Guayaquil, Guayas, Ecuador
Resumen
Una topolog´ıa Alexandroff puede ser definida sobre un conjunto no vac´ıo X, a trav´es de
una funci´on f : X → X, decidiendo que los abiertos del espacio son los conjuntos A ⊂ X que
contienen a su preimagen, es decir τ
f
:= {A ⊂ X : f
−1
(A) ⊆ A}. Esta topolog´ıa es denomina-
da topolog´ıa primal, y al espacio (X, τ
f
) se lo llama espacio primal. En este trabajo se explora
una topolog´ıa primal τ
ψ
inducida en Top(X), a trav´es de la funci´on ψ : Top(X) → T op(X),
definida como ψ(τ) = τ, con τ la clausura de τ en 2
X
con la topolog´ıa producto. Se prueba
que el conjunto de todas las topolog´ıas Alexandroff en T op(X) es denso en (T op(X), τ
ψ
∗
),
con τ
ψ
∗
la cotopolog´ıa. Se prueba adem´as que el conjunto φ(τ) := {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A} es
un ideal maximal de τ
ψ
si y solo si τ es Alexandroff. Finalmente se exploran las topolog´ıas
primales en el espectro primo de un semianillo.
Palabras y frases clave: Topolog´ıa primal; espectro primo; semianillo; topolog´ıa Ale-
xandroff.
Abstract
An Alexandroff topology can be defined over a non-empty set X, through a function
f : X → X, deciding that the open sets are those subsets A ⊆ X that contain their
preimage, that is τ
f
:= {A ⊂ X : f
−1
(A) ⊆ A}. This topology is called primal topology
and the space (X, τ
f
) is called primal space. In this work we explore a primal topology
τ
ψ
induced on T op(X), through the funtion ψ : T op(X) → T op(X) defined as ψ(τ) =
τ,
with τ the closure of τ in 2
X
with the product topology. It is shown that the set of all
Alexandroff topologies in T op(X) is dense in (T op(X), τ
ψ
∗
), with τ
ψ
∗
the cotopology. It is
also shown that the set φ(τ) := {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A} is a maximal ideal of τ
ψ
if and only if τ
is Alexandroff. Finally we explore the primal topologies in the prime spectrum of a semiring.
Key words and phrases: Primal topology; prime spectrum; semiring; Alexandroff
topology.
Recibido 29/11/2022. Revisado 28/02/2023. Aceptado 24/05/2023.
MSC (2010): Primary 54C99; Secondary 54H13.
Autor de correspondencia: Viviana Benavides
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 45
1 Introducci´on
Pavel Alexandroff en [1], introdujo una clase de espacios topol´ogicos que ´el demonim´o Espacios
discretos. Estos espacios son aquellos que son cerrados bajo uniones arbitrarias de conjuntos
cerrados. Es claro que esta definici´on es equivalente a que estos espacios son cerrados bajo inter-
secciones arbitrarias de conjuntos abiertos. Para evitar confusiones con aquellos espacios en los
que todo subconjunto es abierto, futuros autores cambiar´ıan regularmente su denominaci´on. Mc-
Cord en [8] los llama A-spaces, Johnstone en [7] los llama Alexandroff, Herman en [6], denomina
Espacios dispersos a los espacios cerrados bajo intersecciones de abiertos que adem´as son T
0
. A˜nos
despu´es, el nombre usado se mantendr´ıa como Espacios Alexandroff. En este trabajo se explora
una subclase propia de estos espacios, llamados Espacios funcionales Alexandroff (introducidos
en [10]) o simplemente Espacios primales, definidos a continuaci´on.
Definici´on 1.1. Sea X un conjunto no vac´ıo y f : X → X una funci´on, y τ
f
la colecci´on de todos
los conjuntos, A ⊂ X tal que A ∈ τ
f
si y solo si f
−1
(A) ⊂ A. La colecci´on τ
f
es denominada
topolog´ıa primal sobre X y (X, τ
f
) es denominado espacio primal.
Es f´acil ver, gracias a las propiedades de la pre-imagen de conjuntos, que la intersecci´on
arbitraria de abiertos de un espacio primal es un conjunto abierto, haciendo de ´este un espacio
Alexandroff. Para T op(X), el conjunto de todas las topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X, es
posible definir una topolog´ıa primal τ
ψ
a trav´es de la funci´on ψ : T op(X) → T op(X) definida
como ψ(τ) = τ , la clausura de τ en 2
X
con la topolog´ıa producto. En este trabajo se estudian
algunas de las propiedades topol´ogicas de este espacio. Asimismo se hace el estudio de algunas
propiedades de τ
ψ
vista como un semianillo.
En la ´ultima secci´on de este trabajo, se hace un estudio sobre el espectro primo de un se-
mianillo. En particular, se considera un semianillo Gelfand R y el conjunto de todos los ideales
primos de tal semianillo Spec(R). Se considera adem´as la funci´on φ : Spec(R) → Spec(R) defi-
nida como φ(P ) = M
P
con M
P
el ´unico ideal maximal que contiene a P . Se hace el estudio del
espacio (Spec(R), τ
φ
) y su relaci´on con el espacio (Spec(R), τ
z
) con τ
z
la topolog´ıa Zariski sobre
Spec(R).
2 Preliminares
En esta secci´on se muestran algunos de los resultados m´as fundamentales sobre espacios primales.
Es posible, para todo espacio primal, definir dos conjuntos elementales, sobre los cuales se pueden
construir abiertos y cerrados m´as generales del espacio.
Definici´on 2.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal y x ∈ X, entonces los siguientes conjuntos
Orb(x) = {f
n
(x) : n ≥ 0} y ker(x) =
[
{f
−n
(x) : n ≥ 0}
son denominados la ´orbita y el kernel de x, respectivamente.
Los siguientes son conocidos resultados sobre los conjuntos ya definidos.
Lema 2.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal y x ∈ X, entonces ker(x) es el m´ınimo abierto de X
que contiene a x.
Como resultado inmediato de este lema, se tiene que la colecci´on de kernels de todo elemento
de un espacio primal forma una base para la topolog´ıa primal.
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46 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
Lema 2.2. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces ker(x) es un subconjunto conexo de (X, τ
f
)
si x es un punto fijo.
Demostraci´on. Supongamos que ker(x) = A∪B donde A∩B = ∅, A y B 6= ∅ y adem´as A∩B = ∅,
A ∩ B = ∅. Supongamos que x ∈ A, entonces x /∈ B as´ı x ∈ B
C
. Por lo tanto, ker(x) ⊂ B
C
y as´ı
ker(x) ∩ B = ∅, una contradicci´on.
Nota 2.1. En futuras secciones, se usar´a tambi´en la notaci´on ker(x), para representar la m´ınima
vecindad abierta que contiene al punto x de un espacio topol´ogico X no necesariamente primal.
Lema 2.3. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces Orb(x) es el m´ınimo cerrado que contiene a
x.
El siguiente resultado aparece en [9].
Lema 2.4. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Si A es conexo, entonces
A es conexo.
Lema 2.5. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces Orb(x) es un subconjunto conexo de (X, τ
f
).
Demostraci´on. Es claro que {x} es conexo, y como {x} es conexo por el lema anterior, se tiene
que {x} = Orb(x) es conexo.
El siguiente resultado es mostrado en [10] en el Teorema 2.1.
Lema 2.6. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Dos puntos p, q ∈ X est´an en la misma componente
conexa si existen enteros no negativos n, m tales que f
n
(p) = f
m
(q).
3 Topolog´ıas primales en T op(X)
En esta secci´on se mostrar´an algunos resultados sobre una topolog´ıa primal definida para T op(X),
el conjunto de todas las topolog´ıas definidas para un conjunto no vac´ıo X. Se muestran, antes de
ello, algunas definiciones fundamentales.
Definici´on 3.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Un punto x ∈ X se dice punto fijo de X si
f(x) = x. Un punto y ∈ X se dice punto peri´odico de X si existe un entero n ≥ 1 tal que
f
n
(y) = y.
Ejemplo 3.1. Sea R
n
y f : R
n
→ R
n
una transformaci´on lineal, entonces 0
R
n
es un punto fijo
de R
n
.
Ejemplo 3.2. Sea N y α : N → N la funci´on de Collatz, definida como:
f(n) =
(
n
2
si n es par
3n + 1 si n es impar
entonces 1, 2, 4 son puntos peri´odicos de N que no son fijos.
Definici´on 3.2. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y A ⊂ X; denotemos por C
τ
(A) a la familia
de cerrados que contienen a A. Como A ⊂ X y X es un cerrado, entonces C
τ
(A) es no vac´ıo.
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T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 47
Definici´on 3.3. Llamaremos clausura de A o adherencia de A en X al conjunto:
¯
A :=
\
C
T
(A)
Los elementos de la clausura de A en X, se llaman puntos adherentes a A en X o simplemente
puntos adherentes a A si el espacio topol´ogico se da por sobreentendido [4].
De manera alternativa, se usar´a cl(A) para denotar tambi´en la clausura de A. Los siguientes
son interesantes resultados mostrado por Uzc´ategui y Vielma en [12].
Teorema 3.1. Sea τ una topolog´ıa sobre X, la clausura ¯τ de τ en 2
X
(i.e. {0, 1}
X
con la topolog´ıa
producto y 2 = {0, 1} con la topolog´ıa discreta) es una topolog´ıa.
Teorema 3.2. Sea τ una topolog´ıa sobre X. Entonces los siguientes son equivalentes:
1. τ es una topolog´ıa Alexandroff.
2. τ ⊆ 2
X
es cerrada.
De esta manera, la clausura τ de τ en 2
X
es la topolog´ıa Alexandroff m´as peque˜na que contiene
a τ . Sea T op(X) el conjunto de todas las topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X. Se define la
funci´on ψ : T op(X) → T op(X) de la siguiente manera:
ψ(τ) = ¯τ
donde ¯τ es la clausura topol´ogica de τ en 2
X
(con la topolog´ıa producto). La buena definici´on de
esta funci´on se obtiene de la unicidad de la clausura topol´ogica de un conjunto y por el Teorema
3.1. Esta funci´on adem´as, induce una topolog´ıa primal τ
ψ
en T op(X). Denotemos adem´as por
A(X) al conjunto de todas las topolog´ıas Alexandroff sobre X y P er(T op(X)) al conjunto de
puntos peri´odicos de ψ en T op(X).
El siguiente resultado fue mostrado por Echi en [5].
Lema 3.1. Sea (X, τ ) un espacio primal, entonces X es T
0
si y solo si el conjunto de puntos
peri´odicos es igual al conjunto de puntos fijos de X.
Teorema 3.3. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
0
.
Demostraci´on. Es claro que todo punto fijo es un punto peri´odico. Se ver´a que en (T op(X), τ
ψ
)
adem´as, todo punto peri´odico corresponde a un punto fijo. Si τ ∈ T op(X) y es Alexandroff,
entonces por el Teorema 3.2 se tiene que ψ(τ) = τ por lo que τ es un punto peri´odico. Por lo
tanto A(X) es un conjunto de puntos peri´odicos. Asumamos que existe un punto τ ∈ T op(X)
tal que m´ın{n ∈ N : ψ
n
(τ) = τ } ≥ 2, es decir, τ es un punto peri´odico no fijo. Es evidente
que, debido a que ψ(τ ) = ¯τ 6= τ entonces τ no es Alexandroff. Adem´as, por ser peri´odico, existe
τ
p
= ψ
−1
(τ) ∈ T op(X) por lo que τ es la imagen por ψ de una topolog´ıa, y por el Teorema
3.2 se tiene que τ es Alexandroff, una contradicci´on. De esta manera, no pueden existir puntos
peri´odicos no fijos.
El siguiente es un resultado mostrado por Echi en [5].
Lema 3.2. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Entonces las siguientes son equivalentes:
1. (X, τ
f
) es un espacio T
1
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
48 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
2. (X, τ
f
) es un espacio T
2
3. f = id
X
Teorema 3.4. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
1
si y solo si X es finito.
Demostraci´on. Si asumimos que X no es finito entonces la topologia del complemento finito
ρ ∈ T op(X) es una topologia no Alexandroff T
1
. Por el Teorema 3.2 se tiene que ¯ρ es una
topolog´ıa Alexandroff tal que ker(¯ρ) = {¯ρ, ρ} con ρ 6= ¯ρ, por lo que ψ 6= id
T op(X)
y por el Lema
3.2 se tiene que (T op(X), τ
ψ
) no puede ser T
1
.
Por otro lado, si asumimos que X es finito, entonces toda toplogia τ definida en X es Ale-
xandroff. Por lo tanto Orb(τ) = {τ } = ker(τ ) y as´ı τ
ψ
es discreta por lo que T op(X) es T
1
.
Definici´on 3.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. Se denotar´a por τ
∗
a la cotopolog´ıa sobre X,
el conjunto formado por los subconjutos cerrados de (X, τ).
Definici´on 3.5. Un subconjunto A de un espacio topol´ogico (X, τ) es denso en X si para cada
x ∈ X, toda vecindad U de x intersecta a A.
Teorema 3.5. Sea X un conjunto no vac´ıo. El conjunto A(X) es denso en (T op(X), τ
∗
ψ
) pero
no es denso en (T op(X), τ
ψ
).
Demostraci´on. Se prueba que A(X) no es denso en (T op(X), τ
ψ
) mostrando que existe un ele-
mento de Top(X), y una vecindad abierta en τ
ψ
de tal punto, que no intersecta a A(X). Si τ no es
Alexandroff, entonces ker(τ ) = {τ}, por lo que ker(τ)∩A(X) = ∅ y as´ı A(X) no es τ
ψ
denso. Por
otro lado, si τ no es Alexandroff, entonces Orb(τ) = {τ, ¯τ} por lo que Orb(τ ) ∩ A(X) 6= ∅, y por
ser Orb(τ) el m´ınimo abierto de τ en τ
∗
ψ
se tiene que toda vecindad abierta de τ ∈ (T op(X), τ
∗
ψ
)
intersecta A(X), y as´ı A(X) es τ
∗
ψ
denso.
Ejemplo 3.3. Sea X un conjunto infinito. La topolog´ıa del complemento finito ρ ∈ T op(X) es
una topolog´ıa no Alexandroff, por lo que ρ es una topolog´ıa Alexandroff tal que ker(ρ) = {ρ, ρ}
con ρ 6= ρ. As´ı, ρ es un elemento de T op(X) con una vecindad abierta ker(ρ) = {ρ} que no
intersecta a A(X), por lo que A(X) no es denso en (T op(X), τ
ψ
).
Teorema 3.6. (T op(X), τ
ψ
) es compacto si y solo si X es finito
Demostraci´on. Si X es finito, T op(X) es finito y entonces compacto. Si (T op(X), τ
ψ
) es compacto
entonces A(X) = P er(T op(X)) es un conjunto finito y ademas para todo τ /∈ A(X) se cumple
que ¯τ es peri´odico y adem´as ¯τ ∈ A(X) y ker(τ ) = {τ }. Por lo tanto T op(X) =
S
τ∈A(X)
ker(τ)
es un conjunto finito y entonces X es finito
Lema 3.3. A(X) es un conjunto cerrado de (T op(x), τ
ψ
).
Demostraci´on. Sea τ ∈ A(X), entonces Orb(τ) = {τ }. Por lo tanto, A(X) =
S
τ∈A(X)
{τ} y as´ı
A(X) es cerrado.
Definici´on 3.6. Un espacio topol´ogico se dice que es T
1
2
si cada conjunto unitario o es abierto
o es cerrado [11].
Teorema 3.7. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
1
2
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 49
Demostraci´on. Sea τ ∈ T op(x). Si τ es Alexandroff, entonces por el Teorema 3.2, se tiene que
τ ⊆ 2
X
es cerrada y Orb(τ ) = {τ }. Si τ no es Alexandroff, entonces por los Teoremas 3.2 y 3.1,
se tiene que ker(τ) = {τ } por lo tanto {τ} ∈ τ
ψ
.
Definici´on 3.7. Una propiedad se dice que es te´orica en el orden si por cada espacio topol´ogico
(X, τ) que satisface P tambi´en se cumple que (X, ¯τ ) satisface P y viceversa (Un ejemplo est´a dado
en el Lema 3.4).
Teorema 3.8. Una propiedad P es te´orica en el orden si y solo si δ = {τ ∈ T op(X) : (X, τ)
satisface la propiedad P} es un subconjunto cerrado de (T op(X), τ
ψ
)
Demostraci´on. Sea τ ∈ δ y P una propiedad te´orica en el orden, entonces ψ(τ) = ¯τ ∈ δ. Por lo
tanto ψ(δ) ⊆ δ y δ es cerrado. Por otro lado, si δ es cerrado, entonces ψ(τ ) = τ ∈ δ para todo
τ ∈ δ. Por lo tanto (X, τ ) satisface la propiedad P y P es te´orica en el orden.
El siguiente resultado es mostrado por Uzc´ategui y Vielma en [12]
Lema 3.4. Sea τ una topolog´ıa sobre X, entonces:
• τ es T
0
si y solo si ¯τ es T
0
• τ es T
1
si y solo si ¯τ es denso en 2
X
.
Definici´on 3.8. Un espacio topol´ogico (X, τ) se dice que satisface el axioma de separaci´on T
1/4
si {x} es cerrado o {x} =
T
A∈τ
A para todo x ∈ X [3].
Corolario 3.1. Los subconjuntos de Top(X): σ
0
, σ
1
, σ
1/4
, donde σ
i
= {τ ∈ T op(X) : (X, τ ) es T
i
}
son cerrados en (Top(X), τ
ψ
).
Teorema 3.9. El conjunto σ
1
= {τ ∈ T op(x) : (X, τ) es T
1
} es un subconjunto conexo de
T op(X) y es la componente conexa de cada uno de sus puntos.
Demostraci´on. Sea τ ∈ σ
1
, entonces por el Teorema 3.2 y el Lema 3.4 se tiene que ¯τ es la topolog´ıa
discreta τ
d
. Por lo tanto, Orb(τ) = {τ, τ
d
} para todo τ ∈ σ
1
. Entonces ker(τ
d
) = σ
1
y por el
Lema 2.2, se tiene que σ
1
es conexo.
Teorema 3.10. El conjunto σ
1
= {τ ∈ Top(x) : (X, τ) es T
1
} es un subconjunto compacto de
(T op(X), τ
ψ
)
Demostraci´on. Sea β una colecci´on de subconjuntos abiertos de T op(X) que cubre σ
1
. Existe al
menos un A ∈ β tal que τ
d
∈ A. Entonces ker(τ
d
) ⊂ A pero ker(τ
d
) = σ
1
, con lo cual σ
1
⊂ A
y el conjunto formado ´unicamente por A es un subcubrimiento finito de β y por lo tanto σ
1
es
compacto.
La siguiente definici´on es dada por Barr´ıa et al. en [2].
Definici´on 3.9. Un semianillo es una estructura algebraica (R, +, ., 0, 1, ) donde R es un conjunto
con 0 y 1 elementos de R, y + y . son operaciones binarias internas sobre R llamadas suma y
multiplicaci´on respectivamente que satisfacen lo siguiente:
1. (R, +, 0) es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0.
2. (R, ·, 1) es un monoide con elemento de identidad 1.
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50 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
3. La multiplicaci´on es distributiva respecto a la adici´on.
4. 0 es el elemento absorbente de la multiplicaci´on.
Teorema 3.11. Sea τ ∈ T op(x) y φ(τ) = {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A}, entonces φ(τ) es un ideal maximal
si y solo si τ es una topolog´ıa Alexandroff.
Demostraci´on. Asumamos que τ no es Alexandroff. Por el Teorema 3.2, se tiene que ker(τ) = {τ}.
Adem´as, puesto que τ ∈ ker(τ) y τ ∈ ker(¯τ) se tiene que ker(τ) y ker(¯τ) 6∈ φ(τ ). Entonces
I = φ(τ ) ∪ ker(τ) es un ideal propio de τ
ψ
que contiene propiamente a φ(τ), y φ(τ) no puede ser
maximal.
Por otro lado, si φ(τ) no es maximal, entonces existe un ideal I de τ
ψ
tal que φ(τ ) ⊂ I.
Entonces existe A ∈ I tal que A 6∈ φ(τ), y τ ∈ A. Como τ es Alexandroff, por el Teorema 3.2, se
tiene que cl(τ) = {τ } por lo que Top(X) \ {τ} es un abierto que pertenece a φ(τ ). Por lo tanto
(Top(X) \ {τ }) ∪ A = Top(X) ∈ I, y τ
ψ
= I. De aqu´ı que φ(τ ) es un ideal maximal de τ
ψ
.
Los siguientes resultados son mostrados por Barria en [2].
Lema 3.5. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. Todo ideal finitamente generado de τ es un ideal
principal.
Lema 3.6. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Si I es un ideal de τ , entonces I ⊂ h
S
{a : a ∈ I}i.
Se tiene entonces el siguiente resultado.
Teorema 3.12. Todo ideal maximal M de τ
ψ
tal que
S
{A : A ∈ M } 6= T op(X) es un ideal
principal.
Demostraci´on. Si
S
{A : A ∈ M} 6= T op(X), entonces h
S
{A : A ∈ M}i 6= τ
ψ
. Por el Lema 3.6,
se tiene que M ⊂ h
S
{A : A ∈ M}i y puesto que M es maximal, entonces se tiene M = h
S
{A :
A ∈ M}i.
4 Topolog´ıas primales en el espectro primo de un semiani-
llo
En esta secci´on se estudian algunas de las propiedades de una topolog´ıa primal definida para
Spec(R) con R un semianillo Gelfand. Se estudian adem´as la relaci´on de las propiedades de este
espacio con aquellas del espacio (Spec(R), τ
z
) con τ
z
la topolog´ıa Zariski. La siguiente definici´on
es mostrada en [2].
Definici´on 4.1. Sea R un semianillo con identidad no nula. Denotemos por Spec(R) al conjunto
de los ideales primos de R. Se define la topolog´ıa de Zariski τ
z
en Spec(R) como aquella cuyos
cerrados son de la forma:
(I)
z
= {P ∈ Spec(R) : I ⊆ P, I es un ideal de R}
En [2] se muestran los cuatro siguientes resultados.
Lema 4.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico, entonces para todo x ∈ X se tiene:
1. ker
¯τ
(x) es el menor ¯τ-abierto que contiene a x.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 51
2. cl
τ
({x}) = cl
¯τ
({x})
3. ker
τ
(x) = ker
¯τ
(x)
Corolario 4.1. Consid´erese los espacios (Spec(R), τ
z
) y (Spec(R), τ
z
), y P ∈ Spec(R), entonces:
1. (P )
z
= cl
τ
z
({P }) = cl
τ
z
({P })
2. ker
τ
z
({P }) = ker
τ
z
({P })
Lema 4.2. Considere el espacio (Spec(R), τ
z
). Si M ∈ Max(R), entonces P ∈ ker
τ
z
(M) si y
solo si P ⊆ M.
Definici´on 4.2. Sea R un semianillo con identidad no nula y Spec(R) el conjunto de los ideales
primos de R. Se dice que R es Gelfand si cada ideal primo est´a contenido en un ´unico ideal
maximal. Se dice semilocal si tiene una cantidad finita de ideales maximales y se dice local si
tiene un solo ideal maximal.
Teorema 4.1. Un semianillo R es Gelfand si y solo si para todo M ∈ M ax(R), ker(M) es τ
z
clopen.
Demostraci´on. Sean P ∈ ker(M) y Q ∈ (P )
z
. Por el Lema 4.2, se tiene P ⊆ M. Como P ⊆ Q
y R es un semianillo Gelfand, si M
Q
es el ´unico ideal maximal que contiene a Q, entonces
M
Q
= M. Puesto que Q ⊆ M, por el Lema 4.2, Q ∈ ker(M ). Luego, (P )
z
⊆ ker(M ) y as´ı
S
{(P )
z
: P ∈ ker(M)} = ker(M). Por el Corolario 4.1, ker(M ) es τ
z
cerrado.
Por otro lado, sean P un ideal primo y M
1
, M
2
ideales maximales que contienen a P. Por
el Lema 4.2, P ∈ ker(M
1
) y P ∈ ker(M
2
). Por el Corolario 4.1 e hip´otesis, (P )
z
= cl
τ
z
(P ) ⊆
ker(M
2
). Adem´as, como M
1
∈ (P )
z
, por el Lema 4.2, M
1
∈ ker(M
2
), por lo que M
1
= M
2
. Por
lo tanto, R es un semianillo Gelfand.
Consideremos a R como un semianillo Gelfand y φ : Spec(R) → Spec(R) definida como
φ(P ) = M
p
donde M
p
es el ´unico ideal maximal que contiene a P . Esta funci´on induce una topolog´ıa primal
τ
φ
en Spec(R).
Lema 4.3. Sea M ax(R) el conjunto de los ideales maximales de R, entonces {ker(M ) : M ∈
Max(R)} es un cubrimiento de τ
z
abierto de Spec(R).
Demostraci´on. Por el Lema 4.1, se tiene que ker(M) es τ
z
abierto para todo M ∈ Max(R). Sea
P ∈ Spec(R), por ser R un semianillo Gelfand, entonces existe un ´unico ideal maximal M que
contiene a P, adem´as P ∈ ker(M ). Es claro entonces que la colecci´on {ker(M) : M ∈ Max(R)}
es un cubrimiento de τ
z
abierto de Spec(R).
Teorema 4.2. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo, entonces los siguientes son equivalentes:
1. (Spec(R), τ
φ
) es compacto
2. R es semilocal
3. (Spec(R), ¯τ
z
) compacto
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
52 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
Demostraci´on. (1 → 2) Sea {M
α
} una colecci´on de ideales maximales de R. Por ser R un semi-
anillo Gelfand, entonces cada ideal primo P de R est´a contenido en alg´un M
α
y as´ı Spec(R) =
S
M
α
∈Spec(R)
ker(M
α
). Si (Spec(R), τ
φ
) es compacto, entonces existe una subcolecci´on finita
{M
n
} tal que Spec(R) =
S
M
n
∈Spec(R)
ker(M
n
). Es claro entonces que R contiene una canti-
dad finita de ideales maximales y as´ı es semilocal.
(2 → 1) Sea {A
α
} una colecci´on de abiertos de (Spec(R), τ
φ
) tales que Spec(R) =
S
A
α
∈Spec(R)
A
α
.
Dado que cada abierto A
α
puede ser escrito como A
α
=
S
M
i
∈A
α
ker(M
i
) con M
i
los ideales
maximales de R en A
α
entonces Spec(R) =
S
M
j
∈Spec(R)
ker(M
j
). Dado que R es semilocal,
entonces existe una colecci´on finita {M
n
} de ideales maximales de R y entonces Spec(R) =
S
M
n
∈Spec(R)
ker(M
n
), donde M
n
∈ A
α
n
y as´ı (Spec(R), τ
φ
) es compacto.
(2 → 3) Si R es semilocal, entonces R tiene una cantidad finita de ideales maximales M
i
con i = 1, 2, . . . , n. Sea {U
α
: α ∈ J} un cubrimiento de τ
z
abiertos de Spec(R). Para todo
M
i
∈ Spec(R) existe α
i
tal que M
i
∈ U
α
i
, y de aqu´ı ker(M
i
) ⊆ U
α
i
. Por el Lema 4.3 se tiene que
{ker(M
i
) : i = 1, 2, . . . , n} es un cubrimiento finito de Spec(R) y as´ı (Spec(R), ¯τ
z
) es compacto.
(3 → 2) De la demostraci´on de la implicaci´on anterior y del Lema 4.3 se deduce f´acilmente.
Teorema 4.3. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo, entonces los siguientes son equivalentes:
1. (Spec(R), τ
φ
) es conexo
2. R es local
3. (Spec(R), ¯τ
z
) conexo
Demostraci´on. (1 → 2) Si R no es local, entonces existen al menos dos ideales maximales M
1
, M
2
de R. Dado que R es un semianillo Gelfand entonces ker(M
1
) ∩ ker(M
2
) = ∅ y ker(M
1
) ∪
ker(M
2
) = Spec(R) y as´ı (Spec(R), τ
φ
) no es conexo.
(2 → 1) Si R es local, entonces existe un ´unico ideal maximal M de R y para todo ideal primo
P de R se tiene φ(P) = M y as´ı (Spec(R), τ
φ
) es conexo.
(2 → 3) Sean U un ¯τ
z
clopen, M el ´unico ideal maximal de R y P ∈ Spec(R). Si P ∈ U,
entonces por el Corolario 4.1 se tiene que (P )
z
= cl
τ
z
(P ) ⊆ U. Por tanto, M ∈ U , por lo que
ker(M) ⊆ U. Por el Lema 4.3 se tiene que ker(M) = Spec(R), por lo que U = Spec(R).
(3 → 2) Sea M un ideal maximal de R. Por el Teorema 4.1 se tiene que ker(M ) es τ
z
clopen,
y dado que ker(M ) 6= ∅ se sigue que Spec(R) = ker(M ). Adem´as, si M
0
es un ideal maximal de
R, entonces M
0
∈ ker(M ) y por el Lema 4.2 se tiene M
0
⊆ M, y de aqu´ı que M es el ´unico ideal
maximal de R.
Teorema 4.4. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo y P ∈ Spec(R), entonces los siguientes
son equivalentes:
1. {P } es τ
z
cerrado
2. {P } es τ
φ
cerrado
3. P es un ideal maximal
Demostraci´on. (1 → 2) Si {P } es τ
z
cerrado, entonces P es el ´unico ideal primo que contiene a I,
un ideal de R. Adem´as, si φ(P) 6= P entonces existe un idelal M ∈ Spec(R) tal que M ∈ Orb(P )
y P ( M. De esta manera I ⊂ P ( M, una contradicci´on.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 53
(2 → 3) Si {P} es τ
φ
cerrado, entonces φ(P ) = P y por la definici´on de la funci´on φ se tiene
que P es maximal.
(3 → 1) Como P es maximal, entonces el ´unico ideal primo de R que contiene a P es s´ı mismo.
De esta manera {P } es τ
z
cerrado.
Teorema 4.5. Max(R) es un subconjunto cerrado y adem´as es τ
∗
φ
denso
Demostraci´on. Del Teorema 4.4, se tiene que si P es maximal entonces {P } es τ
φ
cerrado, es
decir φ(P ) = P . Por lo tanto φ(Max(R)) = Max(R) y as´ı Max(R) es τ
φ
cerrado. Adem´as, si
P ∈ Spec(R) tal que P /∈ Max(R) se tiene que φ(P ) = M
P
∈ M ax(R) con M
P
el ´unico ideal
maximal que contiene a P. Por lo tanto Orb(P ) ∩ Max(R) 6= ∅ y as´ı Max(R) es τ
∗
φ
denso.
Agradecimientos
Se agradece al Mag´ıster Carlos Garc´ıa Mendoza por la gu´ıa brindada en la preparaci´on y edici´on
del art´ıculo.
Referencias
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sidad de Concepci´on, 2016.
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Mathematical Journal, 33(3) (1966), 465-474.
[9] Munkres, J. Topology, Prentice Hall, 2000.
[10] Shirazi, F. and Golestani, N. Functional Alexandroff Spaces, Hacettepe Journal of Mathe-
matics and Statistics, 40(4) (2011), 515 - 522.
[11] Subha, E. and Nagaveni, N. Strong separation axioms of T
1/2
-spaces, International Journal
of Mathematical Analysis, 8(33) (2014), 1723-1732.
[12] Uzc´ategui, C. and Vielma, J. Alexandroff topologies viewed as closed sets in the Cantor cube,
Divulgaciones Matem´aticas, 13(1) (2005), 45 - 53.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
