Divulgaciones Matemáticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 7677
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI:
https://doi.org/10.5281/zenodo.7487668
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Problemas y Soluciones
Problems and Solutions
Editor: Tobías Rosas Soto (
tjrosas@gmail.com
)
ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matemática, Facultad Experimental de Ciencias,
Universidad del Zulia, Maracaibo,
República Bolivariana de Venezuela.
Los problemas apropiados para esta sección son aquellos que puedan ser abordados por un
estudiante de matemática no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos
conocidos no son aceptables. Se preeren problemas originales e interesantes. Las soluciones
y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electrónico, en español o
inglés, a la dirección arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en L
A
T
EX). Las
propuestas deben acompañarse de la solución, o al menos de información suciente que haga
razonable pensar que una solución puede ser hallada.
Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergradu-
ate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable.
Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should
be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as
a L
A
T
EX source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough
information on why a solution is likely.
1 Problemas propuestos
Los dos problemas propuestos a continuación se plantearon en la XXXV Olimpiada Mexicana de
Matemáticas 2021 celebrada virtualmente.
148. Determina todos los conjuntos no vacíos
C1, C2, C3,...,
tales que cada uno de ellos tiene
un número nito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente
propiedad: Para cualesquiera enteros positivos
m
y
n
, la cantidad de enteros positivos en el
conjunto
Cm
más la cantidad de enteros positivos en
Cn
es igual a la suma de los elementos
en el conjunto
Cm+n
.
Nota
: Al denotar con
|Ck|
la cantidad de elementos de
Ck
y con
Sk
la suma de los elementos
de
Ck
, la condición del problema es que para
m, n
enteros positivos se cumple
|Cn|+|Cm|=Sm+n
149. Sea
4ABC
un triángulo acutángulo escaleno con
BAC = 60
y ortocentro
H
. Sea
ωb
la
circunferencia que pasa por
H
y es tangente a
AB
en
B
, y
ωc
la circunferencia que pasa
por
H
y es tangente a
AC
en
C
.
Pruebe que
ωb
y
ωc
solamente tienen a
H
como punto común.
Prueba que la recta que pasa por
H
y el ortocentro
O
de
4ABC
es tangente común
a
ωb
y
ωc
.
Problemas y Soluciones 77
2 Soluciones
Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 2425, 28, 44, 54, 79, 8491, 94
100, 108113, 116, 118123, 126, 128129, 133143 y 145147. Invitamos a los lectores a enviarnos
sus soluciones para esos problemas.
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