Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 66–75
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487520
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Divulgaci´on de algunos teoremas de la geometr´ıa
moderna entre los siglos XVII y XIX
Divulgation of some theorems of modern geometry between the XVII and XIX
centuries
Eduardo Orellana (chileeduardo@gmail.com)
Departamento Matem´atica
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educaci´on
Santiago, Chile
Tob´ıas Rosas Soto (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matem´atica, Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia
Maracaibo, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Resumen
Se establecen demostraciones alternativas y directas de algunos teoremas de la geometr´ıa
moderna eucl´ıdea entre los siglos XVII y XIX como lo son el teorema de Vecten, el teorema
de Dostor, teorema de Blanchet y el teorema de Viviani.
Palabras y frases clave: Geometr´ıa moderna, teorema de Vecten, teorema de Dostor,
teorema de Balnchet, teorema de Viviani, demostraciones.
Abstract
Alternative and direct proofs of some theorems of euclidean modern geometry between
the XVII and XIX centuries are established such as Vecten theorem, the Dostor theorem, of
Blanchet and the theorem Viviani.
Key words and phrases: Modern geometry, Vecten’s theorem, Dostor’s theorem,
Balnchet’s theorem, Viviani’s theorem, proofs.
1 Introducci´on
La demostraci´on de los teoremas que se tratan bajo razonamiento cl´asico (deductivo), como lo son
los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y Viviani en el espacio eucl´ıdeo simple Ω, fue obtenida
por Legendre en [7], Dostor en [4] y Viviani en [12]. En este trabajo, se muestran cuatro resultados:
las pruebas de cuatro teoremas de los siglos XVII al XIX y es bajo razonamientos cl´asicos, en
esencia, bajo los teoremas de Ceva (ver [2]) y Thales, de congruencia y semejanza de tri´angulos.
Recibido 20/09/2021. Revisado 18/10/2022. Aceptado 21/03/2022.
MSC (2010): Primary 51-XX; Secondary 51-03.
Autor de correspondencia: Eduardo Orellana
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Se presenta la divulgaci´on de dichas pruebas, dadas tambi´en por generaciones actuales como lo
hace Orellana en [10], con figuras ilustrativas y de forma detallada para hacer m´as comprensible
las ideas que se presenten.
2 Preliminares
A continuaci´on se presenta una lista de la simbolog´ıa que se usa en el trabajo:
Ω plano eucl´ıdeo
Ai, Bi, Ci, ... puntos en Ω, para i∈N
{i, j, k}={1,2,3}significa que i, j, k ∈ {1,2,3}con i, j, k distintos entre si.
←→
AE recta que pasa por los puntos A, E ∈Ω.
Lrecta en Ω
AB segmento entre los puntos A, B ∈Ω.
−−→
AB rayo que inicia en By pasa por B.
4ABC tri´angulo de v´ertices A, B, C ∈Ω
4ABC ∼ 4DEF semejanza entre los tri´angulos 4ABC y4DEF
X∼
=Ycongruencia entre las estructuras XeY(segmentos, ´angulos, tri´angulos)
ABCD cuadrado de v´ertices A, B, C, D ∈Ω.
∠ABC ´angulo de v´ertice en B, con lados BA yBC.
m(X) medida de la estructura X(´angulo, segmento).
a (4ABC) ´area del tri´angulo 4ABC.
Ahora se presentan los teoremas que servir´an de pilares fundamentales para el desarrollo de
las demostraciones de los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y Viviani.
Teorema 2.1 (Teorema de Thales).(ver [8]). Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas
paralelas, los segmentos que se determinan en una de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra recta.
Teorema 2.2 (Primer Criterio de Semejanza).Dos tri´angulos son semejantes si tienen dos pares
de ´angulos respectivamente iguales.
Teorema 2.3 (Teorema de Pit´agora).(ver [1]). El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de
un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Teorema 2.4 (Teorema de Ceva).(ver [6]). Dado un tri´angulo cualquiera 4A1A2A3, si Ekes un
punto interior del segmento AiAj, para {i, j, k}={1,2,3}, entonces los segmentos EiAi(para
i= 1,2,3) son concurrentes si, y solo si, se cumple que
mA1E3
mE3A2·mA2E1
mE1A3·mA3E2
mE2A1= 1
Teorema 2.5 (Teorema de Euclides).(ver [1]). Sea el tri´angulo rect´angulo 4ABC con ´angulo
recto en el v´ertice By sea BD la altura desde Bal lado AC, entonces
[m(BD)]2=m(AD)·m(DC)
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Teorema 2.6 (ver [5]).Dado el tri´angulo 4A1A2A3yMiel punto medio del segmento AjAk
para {i, j, k}={1,2,3}, entonces se cumple que:
1. El tri´angulo 4MiMjAkes congruente con el ti´angulo 4M1M2M3, para {i, j, k}={1,2,3}.
2. El segmento mAiAj= 2mMiMj, para {i, j}⊂{1,2,3}, es decir, m(AiMk) = m(MiMj)
para {i, j, k}={1,2,3}
3 Algunos teoremas de la geometr´ıa euclidea entre los si-
glos XVII y XIX
En esta secci´on se establecen demostraciones de los teoremas de Vecten, Dostor, Blanchet y
Viviani.
Teorema 3.1 (Teorema del punto de Vecten).Sea el tri´angulo 4A1A2A3⊂ΩyAiAjBkCkel
cuadrado construido sobre los lados AiAj, para {i, j, k}={1,2,3}respectivamente. Adem´as, sea
el punto Pkcentro del cuadrado AiAjBkCkpara {i, j, k}={1,2,3}. Entonces, si Aies opuesto
aPi, los segmentos AiPison concurrentes en un ´unico punto vllamado punto de Vecten, para
i∈ {1,2,3}.
Demostraci´on. Consid´erese el tri´angulo 4A1A2A3y el punto medio M3del lado A1A2. Como
P3es el centro del cuadrado A1A2B3C3, se tiene que M3P3cumple que A1A2⊥M3P3de
manera que m(A1M3) = m(A2M3) = m(P3M3), y as´ı 4A1M3P3∼
=4A2M3P3por el criterio de
congruencia (L.A.L.) (ver Figura 1-(a)). En efecto: ∠P3M3A1=π
2=∠P3M3A2, pues A1A2⊥
M3P3; el segmento P3M3es lado com´un de loa tri´angulos 4P3M3A1y4P3M3A2; y m(M3A1) =
m(M3A2) pues M3es el punto medio del lado A1A2.
(a) Congruencias de tri´angulos 4A1M3P3y
4A2M3P3.
(b) Perpendicularidad de los segmentos P1M3y
P2M3.
Figura 1: Teorema de Vecten
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Notemos que el segmento A2M1∼
=M3M2, por el Teorema 2.6 (ver Figura 1-(b)). Como
A2M1∼
=P1M1, entonces M3M2∼
=P1M1. Por un razonamiento similar se obtiene que M3M1∼
=
A1M2∼
=M2P2. Como 4A2M1M3∼
=4A1M3M2, se tiene que ∠A2M1M3∼
=∠M3M2A1, por el
Teorema 2.6, y como ∠A2M1P1= 90◦=∠A1M2P2, entonces ∠M3M1P1∼
=∠M3M2P2. As´ı se
tiene que 4M3P1M1∼
=4M3M2P2, y por tanto lo segmentos M3P1yM3P2son congruentes.
Luego, dado que ∠M3M2A2+∠M2P2M3+∠P2M3M2= 90◦,∠M1M3M2∼
=∠M3M2A1y
∠M2P2M3∼
=∠P1M3M1, entonces ∠M1M3P1+∠M2M3M1+∠P2M3M2= 90◦. De manera que
el ∠P2M3P1es recto en M3ya que P1M3⊥P2M3. Pero como el ∠P1M3P2y el ∠A1M3P3son
rectos, y el ∠P2M3A1es adyacente a ambos ´angulos, entonces ∠A1M3P1∼
=∠P3M3P2. Luego,
tomando en cuenta que m(A1M3) = m(P1M3) se tiene que A1M3∼
=P1M3, de manera que
4A1M3P1∼
=4P1M3P2por el criterio de congruencia (L.A.L.) (ver (a) en Figura 2). De esto
´ultimo se obtiene que P2P3∼
=A1P1.
Por otro lado, como la suma de los ´angulos internos del tri´angulo 4AP1P2suman 180◦, y
tomando en cuenta que: ∠M3P1A∼
=∠M3P2A;∠AP1P2=∠M3P1P2−∠M3P1A; y ∠P1P2A=
∠M3P2A+∠M3P2P1se obtiene que P2P3⊥A1P1(ver (a) en Figura 2).
(a) 4A1M3P1∼
=4P3M3P2(b)
3
\
i=1
AiPi=O
Figura 2: Representaci´on del Teorema del punto de Vecten.
En forma an´aloga se obtiene que P1P2∼
=A3P3yP3P1∼
=A2P2de donde se deduce que
P1P2⊥A3P3yP3P1⊥A2P2, respectivamente. Por tanto, en el tri´angulo 4P1P2P3se tiene que
AiPicontiene a la altura del lado PjPkpara {i, j, k}={1,2,3}. Luego, como el ortocentro Odel
tri´angulo 4P1P2P3est´a dado por la intersecci´on de sus alturas, se tiene que
{O}=A1P1∩A2P2∩A3P3
y por tanto lo segmentos AiPison concurrentes en el punto V=O(ver (b) en Figura 2), para
i∈ {1,2,3}.
Teorema 3.2 (Teorema de Dostor).En todo tri´angulo rect´angulo al trazar una perpendicular
desde el punto medio de uno de sus catetos sobre la hipotenua, entonces la medida del otro cateto
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al cuadrado es la diferencia de las medidas de los segmentos al cuadrado determinados por el pie
de la perpendicular trazada sobre la hipotenusa.
Demostraci´on. Sea el tri´angulo 4A1A2A3rect´angulo en el v´ertice A2. Consid´erense el punto
medio Mdel cateto A2A3; la perpendicular MD1trazada desde Msobre la hip´otenusa A1A3; y
la perpendicular A2D2trazada desde el v´ertice A2sobre la hip´otenusa A1A3, entonces
MD1∩A1A3={D1}yA2D2∩A1A3={D2}
m(A2M) = m(MA3) (3.1)
de manera que los puntos A1, D2, D1, A3colineales (ver Figura 3) y
mD2A3=mD2D1+mD1A3(3.2)
De igual forma, tomando el segmento A1A3, se tiene
mA1D1+mD1A3=mA1A3=mA1D2+mD2A3.(3.3)
(a) Tri´angulo 4A1A2A3
(b) Tri´angulo 4A3D2A2(c) Tri´angulo 4A3D1M
Figura 3: Representaci´on para el Teorema de Dostor.
Las perpendiculares A2D2yMD1determinan respectivamente los tri´angulos 4D2A3A2y
4D1A3M, y as´ı se tiene que: ∠A2D2A3∼
=∠MD1A3pues ambos son ´agulos rectos en D2yD1,
respectivamente; ∠A1A3A2∼
=∠A1A3A2por ser ´angulo com´un; y ∠D2A2A3∼
=∠D1MA3por
ser ´angulos correspondientes entre paralelas. As´ı, por el Teorema 2.2 se tiene que 4D2A3A2∼
4D1A3M, y por tanto
mD1A3
mA3M=mD2A3
mA2A3.(3.4)
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Tomando en cuenta la ecuaci´on (3.1) se tiene que
mA2A3= 2 mA2M= 2 mM A3,
y sustituyendo en la ecuaci´on (3.4) se obtiene
mD2A3= 2 mD1A3(3.5)
De manera que, usando la ecuaci´on (3.2), se tiene
mD1A3=mD2D1(3.6)
y por tanto D1A3∼
=D2D1.
Tambi´en, tomando en cuenta las ecuaciones (3.2) y (3.3), se tiene que
mA1D1=mA1D2+mD1A3
y entonces
mA1D2=mA1D1−mD2D1(3.7)
Ahora, aplicando el Teorema 2.5 al tri´angulo 4A1A2A3, se tiene que
mA2D22=mA1D2·mD2A3
y usando las ecuaciones (3.5), (3.6) y (3.7) se obtiene que
mA2D22=mA1D1−mD2D1 ·2mD2D1
y as´ı
mA2D22=2mA1D1·mD2D1 −2mD2D12.(3.8)
Por otro lado, aplicando el Teorema 2.3 al tri´angulo 4A1D2A2y usando la ecuaci´on (3.7), se
tiene que
mA1A22=mA2D22+mA1D1−mD2D12,
Desarrollando cuadrados y tomando en cuenta la ecuaci´on (3.8) se tiene que
mA1A22=mA1D12−mD2D12
y por la ecuaci´on (3.6) se finalmente que
mA1A22=mA1D12−mA3D12
Observaci´on 3.1.Podemos probar directamente tambi´en para la ´ultima parte por congruencia
de tri´angulos, osea que 4A1A2D2∼
=4A2A2A3y esto llevar´a a que
mA1A2
mA1D1−mD2D1 =mA1D1+mD1A3
mA1A2.
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Teorema 3.3 (Teorema de Blanchet).Sean el tri´angulo 4A1A2A3yDk∈AiAjpara {i, j, k}=
{1,2,3}. Si alg´un AiDies altura del lado AjAkpara {i, j, k}={1,2,3}yP∈AiDipara
i= 1,2,3, entonces ∠DjDiAi∼
=∠DkDiAipara {i, j, k}={1,2,3}
Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad sea A3D3la altura del lado A1A2en el tri´angulo
4A1A2A3. Adem´as, sean D1yD2puntos sobre los lados respectivos A2A3yA1A3tales que,
A1A2∩A3D3={D3}A2A3∩A1D1={D1}A1A3∩A2D2={D2}
Como se tiene que P∈AiDipara i= 1,2,3 entonces
A1D2∩A2D3∩A3D1={P}
Trazando la recta Lparalela al lado A1A2del 4A1A2A3, tal que
L∩4A1A2A3={A3}.
y prol´ongando los segmentos D3D2yD3D1hasta los puntos E1yE2, respectivamente (ver
Figura 4), se tiene que
−−−→
D3D2∩ L ={E1}y−−−→
D3D1∩ L ={E2}.
(a) Segmentos, rectas y extensiones (b) Tri´angulos relevantes
(c) ´
Angulos iguales
Figura 4: Representaci´on para el Teorema de Blanchet.
Dado que D3A3es la altura de A1A2entonces ∠P D3A2es recto, y como A1A2k←−−→
E1E2
entonces ∠P A3E2es recto. Se busca probar que el tri´angulo 4E1D3E2con base E1E2es is´osceles.
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N´otese que se cumple lo siguiente: ∠D1A3E2∼
=∠D1A2D3y∠D1E2A3∼
=∠D1D3A2por ser
´angulos alternos internos entre paralelas; y ∠E2D1A3∼
=∠D3D1A2por ser ´angulos opuestos por
el v´ertice. De manera que, por el Teorema 2.2, se tiene que 4D1D3A2∼ 4D1E2A3y por tanto
mD1A2
mA2D3=mD1A3
mA3E2(3.9)
Por otra parte se tiene que: ∠D2A3E1∼
=∠D2A1D3y∠D2E1A3∼
=∠D2D3A1por ser ´angulos
alternos internos entre paralelas; y ∠A3D2E1∼
=∠D3D2A1por ser ´angulos opuestos por el v´ertice.
De manera que 4D2A3E1∼ 4D2A1D3y por tanto
mD3A1
mA1D2=mE1A3
mA3D2(3.10)
Ahora, como las cevianas A1D1,A2D2,A3D3en el tri´angulo 4A1A2A3son concurrentes en
el punto P(ver [2]), y aplicando el Teorema 2.4, se tiene que
mA1D3
mD3A2·mA2D1
mD1A3·mA3D2
mD2A1= 1.(3.11)
Al multiplicar las ecuaciones (3.9) y (3.10) se tiene que,
mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2=mD1A3
mA3E2·mE1A3
mA3D2
y por tanto
mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2·mA3E2
mD1A3·mA3D2
mE1A3= 1 (3.12)
Ahora, aplicando transitividad en las ecuaciones (3.11) y (3.12), se obtiene que
mA1D3
mD3A2·mA2D1
mD1A3·mA3D2
mD2A1=mD1A2
mA2D3·mD3A1
mA1D2·mA3E2
mD1A3·mA3D2
mE1A3
de manera que cancelando t´erminos se obtiene que
mA3E2
mE1A3= 1
As´ı, aplicando el Teorema 2.3 a los tri´angulos 4E2A3D3y4E1A3D3se obtiene que E2D3∼
=
E1D3lo que implca que α=∠D1D3A3∼
=∠D2D3A3=β.
Teorema 3.4 (Teorema de Viviani).Sean un tri´angulo equil´atero 4A1A2A3yPes un punto
interior cualquiera al tri´angulo. Si Dk∈AiAjtal que P Dk⊥AiAjpara {i, j, k}={1,2,3},
entonces la medida de la altura del tri´angulo es igual a
mP D1+mP D2+mP D3.
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Demostraci´on. Sea el tri´angulo 4A1A2A3equil´atero de lados con medidas
mA1A2=mA2A3=mA1A3=kcon k∈R(3.13)
Como Pes un punto interior al tri´angulo y P Dk⊥AiAj(Dk∈AiAjtal que) para {i, j, k}=
{1,2,3}, entonces se obtiene que: P D2es altura del 4A1P A3;P D3es altura del 4A1P A2; y
P D1es altura del 4A2A3.
Calculando el ´area de los tri´angulos determinados se tiene que
a(4A1A3) = k·mP D2
2a(4A1P A2) = k·mP D3
2
a(4A2P A3) = k·mP D1
2.
(3.14)
Sin perdida de generalidad, t´omese la altura A3Dsobre el lado A1A2del 4A1A2A3, as´ı se
obtiene que
a(4A1A2A3) = mA1A2·mA3D
2=k·mA3D
2.
Figura 5: Representaci´on para el Teorema de Viviani.
Luego, en t´erminos de ´areas equivalentes ocurre que (ver Figura 5),
a(4A1A2A3) = a(4A1P A3) + a(4A1A2) + a(4A1P A3).
y por tanto
k·mP D2
2+k·mP D3
2+k·mP D1
2=k·mA3D
2.
lo que implica que
k
2mPiD2+mPiD3+mPiD1 =k
2·mA3D,
teniendo as´ı que
mP D2+mP D3+mP D1=mA3D
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Observaci´on 3.2.En concreto, podemos decir que la suma de las distancias desde un punto
cualquiera del interior del tri´angulo equil´atero hasta los lados de este, no depende del punto P.
Esto es v´alido generalizando para pol´ıgonos regulares de n∈N,(n > 2) lados. Considerando la
altura del 4A1A2A3con medida mA3Digual a mA1A2
2√3, se tendr´a un resultado an´alogo.
Referencias
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1659.
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