Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487484
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Notas sobre el desempe˜no de los estimadores
fronteras de densidad con n´ucleo localmente
adaptable y con conjunto difuso
Notes on the performance of the boundary locally adaptive kernel and boundary
fuzzy set density estimators
Jes´us A. Fajardo
(jfajardogonzalez@gmail.com;jfajardo@udo.edu.ve)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3762-4824
Departamento de Matem´atica N´ucleo Sucre Universidad de Oriente
Cuman´a 6101, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela
Resumen
Estas notas proporcionan un nuevo resultado relacionado con el problema de estimaci´on
no param´etrica de la funci´on de densidad, no basado en n´ucleos, el cual permite extender
el alcance del m´etodo de estimaci´on de la densidad con conjunto difuso. Para ello y bajo la
presencia del problema frontera en los estimadores de la densidad con n´ucleo y con conjunto
difuso, se considerar´an los estimadores fronteras de la densidad con n´ucleo localmente adap-
table y con conjunto difuso, con el prop´osito de comparar sus desempe˜nos. Cada rendimiento
se obtiene tomando en cuenta cuatro formas de densidades espec´ıficas y dos conjuntos de
datos reales. Los resultados de las extensas simulaciones muestran que el estimador frontera
con conjunto difuso tiene mejor rendimiento en los puntos cercanos a 0, en una dispersi´on
de la vecindad del par´ametro b
n, cuando se compar´o con el rendimiento del estimador fron-
tera localmente adaptable, para las cuatro formas de densidades consideradas. Aqu´ı, b
nes el
ancho de banda del estimador con conjunto difuso.
Palabras y frases clave: Estimador de densidad con conjunto difuso, estimaci´on fron-
tera, estimador de la densidad con n´ucleo adaptable.
Abstract
These notes provide a new result related to the nonparametric density function estima-
tion problem, not based on kernels, which allows to extend the range of the fuzzy set density
estimation method. For this, and under the presence of the boundary problem in the den-
sity estimators with kernel and with fuzzy set, the boundary density estimators with locally
adaptable kernel and with fuzzy set will be considered, with the purpose of comparing their
performances. Each performance is obtained by taking into account four forms of specific
densities and two sets of real data. The results of the extensive simulations show that the
boundary fuzzy set estimator performs best at points close to 0, at a spread from the neigh-
borhood of the parameter b
n, when compared with the performance of the boundary locally
Recibido 20-09-2021. Revisado 28-11-2021. Aceptado 30/08/2022.
MSC (2010): Primary 62G07; Secondary 62G05.
Autor de correspondencia: Jes´us Fajardo.
Esta investigaci´on ha sido apoyada por una subvenci´on de la Academia de Ciencias de Am´erica Latina-ACAL.
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 49
adaptive estimator, for the four density forms considered. Here, b
nis the bandwidth of the
fuzzy set estimator.
Key words and phrases: Fuzzy set density estimator, boundary estimation, adaptive
kernel density estimator.
1 Introducci´on
Las notas del presente art´ıculo est´an enmarcadas dentro del contexto general de la teor´ıa de
estimaci´on no param´etrica de la funci´on de densidad f, con muestras independientes. No obstante,
estas se desarrollan considerando un aspecto particular de la teor´ıa se˜nalada previamente: la
estimaci´on frontera de fcon estimadores no basados en n´ucleos.
En cada soporte o dominio [0,∞) ´o [0,1] de una densidad f, los puntos fronteras e interiores se
definen a trav´es de un par´ametro de suavizado o ancho de banda p
n,p
n→0 cuando n→ ∞, donde
ambos tienen forma general x=s p
n,s∈[0,1), y z=k p
n,k≥1, respectivamente. Observe que,
cada punto frontera e interior satisface x∈[0, p
n) y z≥p
n. Los intervalos [0, p
n) y [p
n,∞) se llaman
regi´on frontera e interior, respectivamente. Cabe destacar que los t´erminos nyp
nforman parte
de la expresi´on que define al estimador de f, donde nes el tama˜no de la muestra independiente
que se considera para estimar f. La clasificaci´on anterior, para los puntos del soporte de f, se
debe a la presencia del fen´omeno o problema “efectos fronteras” en el estimador de f. En estas
notas, el fen´omeno anterior ser´a rese˜nado como problema frontera y no se tratar´a te´oricamente.
No obstante, se subraya que el problema frontera afecta el desempe˜no general del estimador de
f, ya que este es diferente en los puntos fronteras e interiores. Te´oricamente ocurre lo siguiente,
en los puntos fronteras el sesgo del estimador de ftiene una tasa o velocidad de convergencia
m´as lenta que en los puntos interiores. T´ecnicamente se tiene que, en los puntos fronteras el sesgo
del estimador de ftiene una tasa de convergencia de orden O(pn) en lugar de Op2
n, donde
el orden ´optimo para la tasa de convergencia del sesgo del estimador de fes Op2
n(ver Stone
[17]).
La teor´ıa de estimaci´on no param´etrica de f, con muestras independientes, est´a formada por
dos clases o grupos de estimadores: los tipo n´ucleo y los no basados en n´ucleos. No obstante,
entre los estimadores de ambos grupos s´olo se considerar´an los estimadores cl´asico con n´ucleo
y con conjunto difuso, los cuales se definen a trav´es de una funci´on de n´ucleo K, y una funci´on
atenuante ϕ(ver Reiss [14], Secci´on 2.4) de la siguiente manera
ˆ
f
K(t) = 1
nh
n
n
X
i=1
KXi−t
h
n(1.1)
y
ˆ
ϑ
n(t) = 1
nb
nRϕ(u)du
n
X
i=1
1Ih0,ϕXi−t
b
ni(Vi),(1.2)
donde X1, . . . , Xnes una muestra aleatoria independiente de la variable aleatoria Xcon densi-
dad f,V1, . . . , Vnson variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en [0,1] e
independientes de X1, . . . , Xn,h
nyb
nson los par´ametros de suavizado de cada estimador con
h
n→0 y b
n→0 cuando n→ ∞, y las funciones K:R→[0,∞) y ϕ:R→[0,1] satisfacen las
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
50 Jes´us A. Fajardo
siguientes condiciones:
K(−u) = K(u),ZK(u)du = 1,Zu K(u)du = 0 y 0 6=Zu2K(u)du < ∞,(1.3)
y
0<Zϕ(u)du < ∞,yZϕ(u)du 6= 1 en general.
En cuanto a los or´ıgenes de ambos estimadores, es oportuno puntualizar que el estimador (1.1)
fue introducido hace m´as de medio siglo y de forma independiente por Rosenblatt [15] y Parzen
[13]. En cambio, el estimador (1.2) fue presentado en una fecha m´as reciente, menos de una
d´ecada, por Fajardo, R´ıos y Rodr´ıguez [6]. Por otro lado, la existencia de una amplia referencia
bibliogr´afica donde se discuten en profundidad las caracter´ısticas te´oricas de (1.1), justifica el
hecho de presentar, en lo que sigue, s´olo algunas caracter´ısticas te´oricas puntuales de (1.2) con
funci´on atenuante (c.f.a.) ϕ:
•Es una versi´on o caso particular del estimador introducido por Falk y Liese [7].
•No est´a basado en n´ucleos, ya que la funci´on 1I[0,ϕ(x)] (v) no es una funci´on de n´ucleo.
•El t´ermino “conjunto difuso” fue justificado por Fajardo [4] en la Observaci´on 2, siendo
esta una consecuencia directa de la Observaci´on 1 en Fajardo, R´ıos y Rodr´ıguez [6].
No obstante, entre las caracter´ısticas comunes que comparten los estimadores (1.1) y (1.2) resal-
tan:
•En la pr´actica ambos estimadores dependen de par´ametros de suavizados particulares y de
funciones espec´ıficas, lo que fue caracterizado por Fajardo como un paralelismo entre (1.1)
y (1.2). Es oportuno destacar que las siguientes funciones minimizan el error cuadr´atico
medio integrado ´optimo (ECM I∗) de (1.1) y (1.2), respectivamente:
K
E(x) = 3
4(1 −x2)1I[−1,1](x), ϕ(x) = "1−16x
25 2#1I[−25
16 ,25
16 ](x).
(N´ucleo de Epanechnikov) (Funci´on Atenuante)
Para m´as detalles, ver Epanechnikov [3] y Fajardo [4].
•En Fajardo [4] se demostr´o que (1.2) presenta el mismo comportamiento asint´otico de
(1.1), donde n−1/5yn−4/5son los valores correspondientes para el orden de las tasas de
convergencia ´optimas de ambos par´ametros de suavizados y ambos ECMI∗’s.
•El rol de la funci´on atenuante o funci´on de pertenencia ϕ(ver [6], Observaci´on 1) fue
determinante en los resultados obtenidos por Fajardo, ya que su adecuada definici´on per-
miti´o establecer el siguiente e importante resultado
ECM I∗hˆ
ϑ
ni≤ECM I∗hˆ
f
Ki,
el cual garantiza que el estimador ˆ
ϑ
nproporciona mejores estimaciones que el estimador ˆ
f
K,
para todo n´ucleo K. Destac´andose como una funci´on que le permite al estimador (1.2) se-
leccionar puntos de la muestra con diferentes probabilidades a diferencia de los estimadores
cl´asicos con n´ucleos, los cuales asignan pesos iguales a todos los puntos de la muestra.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 51
Otra caracter´ıstica no deseada, enmarcada en el contexto de estas notas, es la existencia del pro-
blema frontera en (1.1) y (1.2). Los antecedentes bibliogr´aficos se˜nalan que Hominal y Deheuvels
[9] describieron el problema frontera en (1.1) para densidades con soporte compacto. Mientras
que, en un reciente trabajo, Fajardo y Harmath [5] demostraron la presencia del problema fron-
tera en (1.2) para densidades con soporte [0,∞). Es oportuno se˜nalar que s´olo para el caso del
estimador (1.1), el problema frontera han sido estudiado por muchos autores y en la literatura
existe una extensa variedad de m´etodos desarrollados para eliminarlo. Un excelente resumen de
algunos m´etodos muy conocidos son rese˜nados por Karunamuni y Alberts [12].
Estas notas comparan el desempe˜no del estimador frontera de fcon conjunto difuso, que fue
introducido recientemente por Fajardo y Harmath, con el desempe˜no del estimador propuesto
por Karunamuni y Alberts, estimador frontera de fcon n´ucleo localmente adaptable, en puntos
cercanos a 0 en una dispersi´on de la vecindad de b
n. Para ello, se consideraron cuatro formas
de densidades especificas, y en los puntos anteriores se realizaron extensas simulaciones para
comparar el error cuadr´atico medio (ECM) local de los estimadores definidos por Karunamuni-
Alberts y Fajardo-Harmath, observ´andose que el ECM local del estimador propuesto por Fajardo
y Harmath es menor. La reducci´on anterior, muestra que el desempe˜no del estimador propuesto
por Fajardo y Harmath supera el desempe˜no del estimador definido por Karunamuni y Alberts.
Adem´as, es oportuno destacar que el resultado obtenido extiende las propiedades del estimador
de fcon conjunto difuso, proporcionando un nuevo resultado relacionado con los problemas
de estimaci´on no param´etrica de la densidad no basado en n´ucleo. Cabe resaltar que todas
las simulaciones se desarrollaron a trav´es de la plataforma de programaci´on y c´alculo num´erico
conocida como MAT LAB.
La anterior y particular elecci´on se fundament´o, principalmente, en los resultados de las simu-
laciones obtenidas por Karunamuni y Alberts para las cuatro formas de densidades consideradas
en estas notas. Tales simulaciones mostraron que el estimador de Karunamuni y Alberts fun-
cion´o bastante bien para la mayor´ıa de las densidades consideradas, cuando fue comparado con
los estimadores propuestos por Cowling y Hall [2], Jones y Foster [10], Zhang y Karunamuni [18]
y su sencilla modificaci´on que permite obtener el estimador de ajuste lineal local, Zhang, Karuna-
muni y Jones [19], y Hall y Park [8]. Entre otras razones que sustentaron la particular elecci´on, se
destacan los resultados de las recientes simulaciones presentadas por Fajardo y Harmath [5] para
cuatro formas de densidades distintas en su mayor´ıa a las consideradas en est´as notas, pero con
compartimiento an´alogo en 0. Tales simulaciones mostraron que el desempe˜no de su estimador
frontera fue superior al desempe˜no del estimador frontera introducido por Karunamuni y Alberts
[11]. Cabe destacar que los resultados de las simulaciones realizadas por Karunamuni y Alberts
[11] con las cuatro formas de densidades consideradas por Fajardo y Harmath [5], mostraron que
el desempe˜no de su estimador fue superior cuando se compar´o con los estimadores definidos por
Jones y Foster [10], Zhang y Karunamuni [18] y su sencilla modificaci´on que permite obtener el
estimador de ajuste lineal local, Zhang, Karunamuni y Jones [19], y Hall y Park [8]. Adem´as, otra
de las razones que justifican la elecci´on anterior son las propiedades te´oricas que comparten los
estimadores propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo y Harmath [5]: no negatividad,
“continuaci´on frontera natural”, y en cuanto al desempe˜no ambos mejoran el sesgo mientras que
sus varianzas son peque˜nas. Finalmente, es necesario se˜nalar que una revisi´on de la literatura, so-
bre el tema propuesto, revel´o que no hay evidencia de publicaciones con respecto a comparaciones
del desempe˜no de otros estimadores con el desempe˜no del estimador propuesto por Karunamuni
y Alberts [12].
Las notas est´an organizadas de la siguiente manera. La Secci´on 2 incluye los estimadores
propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo y Harmath [5]. Las Secciones 3 y 4 presentan
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52 Jes´us A. Fajardo
los an´alisis de los datos simulados y los datos reales, respectivamente. Las conclusiones en la
Secci´on 5.
2 Estimadores Fronteras de la Densidad
En esta secci´on se presentan los estimadores propuestos por Karunamuni y Alberts [12], y Fajardo
y Harmath [5], considerando s´olo los detalles te´oricos que permitieron su construcci´on como
estimadores sin problema frontera. Adem´as, se resaltan algunas observaciones ´unicas, as´ı como las
caracter´ısticas particulares comunes entre tales estimadores. Es oportuno destacar la importancia
de realizar un estudio te´orico formal para detectar la presencia o no del problema frontera en el
estimador de cualquier funci´on, ya que no es obvio que el comportamiento de un estimador sea
el mismo en los puntos fronteras e interiores.
3 Referencias cruzadas, numeraci´on y entorno de teorema
Todos los teoremas, proposiciones, lemas, corolarios, definiciones, etc. deben tener sus propias
etiquetas para hacer referencias cruzadas internas; esto se hace usando las instrucciones \label
y\ref. La numeraci´on de todos estos elementos se refiere a cada apartado del art´ıculo, que ya ha
sido establecido en el entorno teorema. Cada uno numerado se debe hacer referencia a la ecuaci´on
usando la instrucci´on \eqref.
3.1 Estimador Frontera con N´ucleo Localmente Adaptable
Sea Xuna variable aleatoria con funci´on de densidad f, tal que ftiene soporte [0,∞). Para una
muestra aleatoria independiente X1, . . . , Xnde la variable aleatoria Xy para cada c∈[0,∞),
Karunamuni y Alberts inician la construcci´on de su estimador frontera considerando la siguiente
transformaci´on de la muestra original g(X1), . . . , g (Xn), donde g: [0,∞)→[0,∞) es una funci´on
continua y mon´otona creciente. A partir de los datos transformados y para r=c h
n, con c≥0,
definen el siguiente estimador adaptable
ˆ
fn(r) = 1
n h
n
n
X
i=1
Kr−g(Xi)
h
n/Zc
−1
K(u)du, (3.1)
donde h
nsatisface h
n→0 cuando n→ ∞, y las condiciones sobre Kse dan en (1.3). Adem´as,
calcularon las expresiones para el sesgo y la varianza del estimador (3.1), las cuales se describen
en el siguiente teorema. A lo largo de estas notas, se denotar´a por q(i)la i-´esima derivada de toda
funci´on arbitraria q.
Teorema 3.1 (Lema 2.1 en [12]).Sean fygfunciones cuyas segundas derivadas existen y son
continuas en [0,∞). Adem´as, suponga que g(0) = 0 yg(1)(0) = 1. Entonces las expresiones para
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Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 53
el sesgo y la varianza del estimador (3.1) en los puntos r=c h
ncon c∈[0,1], son las siguientes
Ehˆ
fn(r)−f(r)i=−h
n
Rc
−1K(u)du(f(0) g(2)(0) Zc
−1
(c−u)K(u)du +f(1)(0) Zc
−1
u K(u)du)
+h2
n
2Rc
−1K(u)du(−f(2)(0) c2Zc
−1
K(u)du +Zc
−1
(c−u)2K(u)du hf(2)(0)
−f(0) g(3)(0) −3g(2)(0) f(1)(0) −f(0) g(2)(0)i)+oh2
n,(3.2)
y
V ar hˆ
fn(r)i=f(0)
n h
nRc
−1K(u)du2Zc
−1
K2(u)du +o1
n h
n
=f(r)
n h
nRc
−1K(u)du2Zc
−1
K2(u)du +o1
n h
n.(3.3)
Adem´as, en su trabajo se˜nalaron las siguientes propiedades:
•El t´ermino principal de (3.3) no est´a afectado por la transformaci´on g.
•Cuando c= 1, V ar hˆ
fn(r)i=V ar hˆ
f
K(r)i. Es decir, en el punto interior r=h
nla varianza
del estimador (3.1) se reduce a la varianza del estimador (1.1).
No obstante, es oportuno se˜nalar que el estimador (3.1) presenta el problema frontera. En efecto,
de la expresi´on (3.2) se desprende que la tasa de convergencia del sesgo del estimador (3.1) es de
orden O(h
n), en cada punto de la regi´on frontera [0, h
n) y en el punto interior h
n.
El siguiente paso que Karunamuni y Alberts tomaron para definir su estimador frontera, se
baso en construir una funci´on de transformaci´on gcon la siguiente propiedad
g(2)(0) = −f(1)(0) Zc
−1
u K(u)du/f(0) Zc
−1
(c−u)K(u)du, (3.4)
siempre que f(0) 6= 0. Observe que tomando adecuadamente una funci´on gcon la propiedad
anterior, desaparecer´a el problema frontera en (3.1). No obstante, el hecho que (3.4) dependa
de cpermiti´o que Karunamuni y Alberts se˜nalaran que tal funci´on gdepender´ıa del punto de
estimaci´on dentro de la regi´on frontera [0, h
n), y a esa propiedad la llamaron adaptabilidad local.
Adem´as, en su trabajo modificaron la notaci´on reemplazando gpor gc, 0 ≤c≤1, para resaltar
tal dependencia local. A continuaci´on, se sintetizan las condiciones que Karunamuni y Alberts
imponen a la funci´on gcpara cada c, 0 ≤c≤1:
(i)gc: [0,∞)→[0,∞), gces continua y mon´otona creciente, y existe g(i)
cpara cada i= 1,2,3,
(ii)gc(0) = 0 y g(1)
c(0) = 1,
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54 Jes´us A. Fajardo
(iii) la segunda derivada de gces
g(2)
c(0) = −f(1)(0) Zc
−1
u K(u)du/f(0) Zc
−1
(c−u)K(u)du.
Bajo las condiciones sobre gc, (i), (ii) y (iii), Karunamuni y Alberts construyen e implementan
la siguiente funci´on de transformaci´on para definir su estimador frontera
gc(y) = y+d
2lcy2+d2l2
cy3,(3.5)
donde
lc=−Zc
−1
u K(u)du/Zc
−1
(c−u)K(u)du (3.6)
y
d=f(1)(0)/f(0).(3.7)
Para la aplicaci´on pr´actica de la transformaci´on (3.5), Karunamuni y Alberts implementan la
idea de Zhang, Karunamuni y Jones [19], y reemplazan (3.7) por la estimaci´on piloto de tipo
n´ucleo definida por
ˆ
d=log f∗
n(h1)−log f∗
n(0)/h1,(3.8)
donde
f∗
n(h1) = 1
n h1
n
X
i=1
Kh1−Xi
h1+1
n2
y
f∗
n(0) = m´ax (1
n h0
n
X
i=1
K(0) −Xi
h0,1
n2),
con h1=o(hn), h
nyKson dadas en (3.1), y K(0) es el llamado n´ucleo de orden dos con punto
extremo inferior, el cual satisface las siguientes condiciones
Z0
−1
K(0) (u)du = 1,Z0
−1
u K(0) (u)du = 0,y 0 <Z0
−1
u2K(0) (u)du < ∞,
yh0=b(0) h1, con b(0) dado por
b(0) =
R1
−1u2K(u)du2R0
−1K2
(0) (u)du
R0
−1u2K(0) (u)du2R1
−1K2(u)du
1/5
.(3.9)
Para cada c∈[0,1], Karunamuni y Alberts definen el estimador de la funci´on de transformaci´on
(3.5) como
ˆgc(y) = y+ˆ
d
2lcy2+ˆ
d2l2
cy3,(3.10)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 55
donde ˆ
dviene dado por (3.8). Ellos destacaron que ˆgcyˆ
ddependen de n, tal dependencia no la
resaltaron para simplificar la notaci´on. Finalmente, Karunamuni y Alberts definen el estimador
frontera de fcon n´ucleo localmente adaptable de la siguiente manera
˜
fn(r) = 1
n h
n
n
X
i=1
Kr−ˆgc(Xi)
h
n/Zc
−1
K(u)du, (3.11)
donde r∈[0,∞), 0 ≤c≤1, ˆgcviene dada por (3.10), h
nyKcomo en (3.1). Observe que en
cada punto interior r∈[h
n,∞), c= 1, se tiene que ˆg1(Xi) = Xi,i= 1, . . . , n. Es decir, en cada
punto interior el estimador (3.11) se reduce al estimador (1.1). Como la propiedad anterior se
cumple en particular para h
ny tomando en cuenta que la regi´on frontera del estimador (3.11)
es [0, h
n), tal comportamiento lo interpretaron de la siguiente manera: el estimador (3.11) es una
continuaci´on frontera natural del estimador (1.1). Adem´as, las expresiones para el sesgo y la
varianza del estimador (3.11) que obtuvieron, se describen en el siguiente teorema.
Teorema 3.2 (Teorema 2.1 en [12]).Sea ˜
fn(r)definida por (3.11) con funci´on de n´ucleo Kdada
en (3.1) y con par´ametro de suavizado h
n=On−1/5. Suponga que h1en (3.8) es de la forma
h1=On−1/4. Adem´as, asuma que K(1) existe y es continua en [−1,1],f(0) >0, y que existe
f(2) y es continua en una vecindad de 0. Entonces para r=c h
n,0≤c≤1, se tiene que
Eh˜
fn(r)−f(r)i=h2
n
2Rc
−1K(u)du(f(2)(0) Zc
−1
(u2−2uc)K(u)du
+ 6 f(1)(0)2
f(0) l2
c+lcZc
−1
(u−c)2K(u)du)+oh2
n,(3.12)
donde lces dada en (3.6), y
V ar h˜
fn(r)i=f(0)
n h
nRc
−1K(u)du2Zc
−1
K2(u)du +o1
n h
n
De la expresi´on (3.12) se desprende que el estimador (3.11) no presenta el problema frontera, ya
que su sesgo tiene una tasa de convergencia de orden Oh2
nen los puntos fronteras r∈[0, h
n)
y en el punto interior h
n. Los autores Karunamuni y Alberts atribuyen ese importante ajuste
en el estimador (3.11) a la transformaci´on adaptativa local (3.10), ya que transforma los datos
dependiendo del punto de estimaci´on.
3.2 Estimador Frontera con Conjunto Difuso
Sean X1, . . . , Xnuna muestra aleatoria independiente de la variable aleatoria Xcon densidad f,
yV1, . . . , Vnuna muestra aleatoria independiente uniformemente distribuida en [0,1] e indepen-
diente de X1, . . . , Xn. Para ambas muestras, Fajardo y Harmath [5] inician la construcci´on de su
estimador frontera imponiendo las siguientes condiciones:
C1 La funci´on de densidad ftiene soporte [0,∞), y es al menos dos veces continuamente
diferenciable en una vecindad de z∈[0,∞).
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56 Jes´us A. Fajardo
C2 El par´ametro b
nsatisface: b
n→0 y nb
n→ ∞,cuando n→ ∞.
C3 La funci´on atenuante ϕes sim´etrica con respecto al cero, tiene soporte compacto [−B, B],
B > 0, ϕ(u)∈[0,1] y es continua en 0 con ϕ(0) >0.
Seguidamente los autores establecen los siguientes resultados, en los cuales describen el compor-
tamiento del estimador (1.2) en los puntos 0 y x∈(0, b
n]. Adem´as, para simplificar la notaci´on
definen
ψ(u) = ϕ(u)
Rϕ(u)du yx=s b
n,0< s ≤1.
Teorema 3.3 (Teoremas 1 y 2 en [5]).Bajo las condiciones (C1)-(C3), se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(0) −f(0)i=b2
n
2f(2)(0) Zu2ψ(u)du +ob2
n.
y
Ehˆ
ϑ
n(x)−f(0)i=−f(0) + f(0) ZB
−s
ψ(u)du +b
nf(1)(0) ZB
−s
u ψ(u)du
+b2
n
2f(2) (0) ZB
−s
u2ψ(u)du +ob2
n,(3.13)
donde 0< s ≤1.
A trav´es de los resultados anteriores, Fajardo y Harmath garantizaron que el estimador (1.2) no
presenta el problema frontera en el punto interior 0, ya que su sesgo tiene una tasa de convergencia
de orden Ob2
nen 0. En cambio, con la sutil modificaci´on introducida en (3.13) con respecto a
la versi´on original, el lector podr´a apreciar, con mayor facilidad, que el estimador (1.2) presenta
el problema frontera en cada x∈(0, b
n]. En efecto, su sesgo tiene una tasa de convergencia de
orden O(b
n) en cada x.
El siguiente paso que Fajardo y Harmath tomaron para definir su estimador frontera, fue
construir una funci´on atenuante ϕcon la siguiente propiedad:
ZB
−s
u ϕ(u)du = 0,para cada s∈(0,1].(3.14)
Para tal fin, formalizan la Observaci´on 4 introducida por Fajardo [4] reescribi´endola como el
pr´oximo teorema, con el cual controlar´an adecuadamente las constantes que definen el sesgo del
estimador (1.2) y justificar´an una condici´on en el criterio que les permitir´a obtener una funci´on
atenuante ϕque satisface la condici´on (3.14).
Teorema 3.4 (Teorema 3 en [4]).Bajo la condici´on (C3), se tiene que para M>0existe B0>0
tal que
v=ZB0
−B0
u2ψ(u)du ≤M.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 57
La combinaci´on de (C3) y el Teorema 3.4, les permiti´o garantizar que
v=ZB0
−B0
u2ψ(u)du =Zu2ψ(u)du ≤M,con B0> B,
y as´ı redefinir ψcomo
ψ(u) = ϕ(u)
Rϕ(u)du 1I[−B0,B0](u),con B0≤B. (3.15)
El criterio propuesto por Fajardo y Harmath para eliminar el t´ermino con coeficiente b
nen (3.13),
haciendo que RB
−su ϕ(u)du = 0 para cada s∈(0,1], se bas´o en deducir una funci´on atenuante ϕ
como soluci´on del siguiente problema variacional:
Maximizar : Zϕ(u)du.
Sujeto a : Zϕ2(u)du =k, Zu ϕ(u)du = 0,Zu2−vϕ(u)du = 0, k > 0,(PV)
ϕ(u) = 0 para u∈(−B, B)c, ϕ(0) >0, ϕ(u)∈[0,1],yv∈(0,M].
Es importante puntualizar que el criterio anterior generaliza el criterio propuesto por Fajardo [4],
el cual implent´o para obtener una funci´on ϕque minimiza el ECMI∗del estimador (1.2) (ver
Fajardo [4], p´agina 307). El siguiente teorema garantiza la soluci´on de (PV).
Teorema 3.5 (Teorema 4 en [5]).La soluci´on de (PV )viene dado por
ϕ
k(u) = "1−16
15 k2
u2#1I[−15
16 k, 15
16 k](u), k > 0.(20)
En particular, para s∈(0,1] se tiene que
ϕ
s(u) = "1−16
15 s2
u2#1I[−15
16 s, 15
16 s](u).(21)
Las siguientes observaciones fueron establecidas por Fajardo y Harmath:
•A partir de (1.2) c.f.a. ϕ
sy (3.13), se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(x)−f(0)i=b2
n
2f(2)(0) ZB0
−B0
u2ψ
s(u)du +ob2
n,(22)
donde 0 < s ≤1, B0≤15
16 s,ψ
sviene dada por (3.15) c.f.a. ϕ
syϕ
sviene dada por (21). As´ı,
el estimador (1.2) no presenta el problema frontera en xcuando la funci´on atenuante es ϕ
s.
•Combinando el Teorema 3.3 con el Teorema 4 en Fajardo [4], se tiene que
Ehˆ
ϑ
n(z)−f(z)i=b2
n
2f(2)(z)ZB0
−B0
u2ψk(u)du +ob2
n,(23)
para cada k > 1 y z∈ {0} ∪ (b
n,∞), donde B0≤15
16 k,ψ
kviene dada por (3.15) c.f.a.
ϕ
k, y ϕ
kviene dada por (20). As´ı, el estimador (1.2) no presenta el problema frontera en
z∈ {0} ∪ (b
n,∞) cuando la funci´on atenuante es ϕ
k, para cada k > 1.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
58 Jes´us A. Fajardo
•Denotando el n´ucleo Epanechnikov por K
E, y sustituyendo en (PV) kpor 5
3yMpor
ME=Ru2KE(u)du, se tiene que el estimador (1.2) c.f.a. ϕ5
3
es el estimador propuesto
por Fajardo [4]. Adem´as, el resultado alcanzado en Fajardo [4] permite garantizar que la
funci´on atenuante ϕ
kminimiza ECM hˆ
ϑ
n(z)i, para cada k > 1 y cada z∈ {0} ∪ (b
n,∞).
Apoyados en (22) y (23), Fajardo y Harmath definen su estimador frontera de fcon conjunto
difuso de la siguiente manera
˜
ϑ
n(x) = 1
n a
n
n
X
i=1
1Ih0, ϕ
sXi−x
b
ni(Vi),(24)
donde 0 < s ≤1, a
n=b
nRϕ
s(u)du, y ϕ
sviene dada por (21). Ellos se˜nalaron que, para z≥bn,
s= 1, el estimador (24) se reduce al estimador (1.2) c.f.a. ϕ
1. As´ı, el estimador (24) es la
continuaci´on frontera natural del estimador (1.2) c.f.a. ϕ
1. Adem´as, resaltaron que los resultados
obtenidos por Fajardo [4] permiten garantizar que la funci´on atenuante ϕ
sminimiza localmente
aECM [˜
ϑ
n(x)] para cada s∈(0,1]. Por otro lado, las expresiones para el sesgo y la varianza del
estimador (24) que obtuvieron, se describen en el siguiente teorema.
Teorema 3.6 (Lema 1 en [5]).Bajo las condiciones (C1)-(C3), se tiene que
Eh˜
ϑ
n(x)−f(0)i=b2
n
2f(2)(0) ZB0
−B0
u2ψs(u)du +ob2
n(25)
y
V ar h˜
ϑ
n(x)i=f(0)
n b
nZϕ
s(u)du−1
+o1
n b
n,
donde 0< s ≤1,0< B0≤15
16 s,ψsviene dada por (3.15) c.f.a. ϕ
syϕ
sviene dada por (21).
Finalmente se˜nalaron que (25) garantiza que el estimador (3.11) no presenta el problema frontera,
ya que su sesgo tiene una tasa de convergencia de orden Ob2
n, en los puntos fronteras x∈(0, b
n)
y en el punto interior b
n.
4 An´alisis de Datos Simulados
En esta secci´on se presentan los resultados sobre los datos simulados, los cuales fueron dise˜nados
para comparar el desempe˜no entre los estimadores ˜
fn(t) y ˜
ϑ
n(x) en puntos cercanos a 0 en una
dispersi´on de la vecindad de b
n.
Cada estimador se prob´o usando cuatro densidades espec´ıficas, con comportamiento variado
en 0. La densidad 1 trata el caso f(0) = 0, mientras que las densidades 2, 3 y 4 describen lo que
sucede cuando f(0) >0 pero f0(0) = 0, f0(0) >0 y f0(0) <0, respectivamente. Adem´as, se im-
plementaron los siguientes anchos de banda globales ´optimos como los par´ametros de suavizados
de ˜
fn(t) y ˜
ϑ
n(x), respectivamente:
h
n="RK2
E(u)du
Ru2KE(u)du2Rf(2)(u)2du #1/5
n−1/5(1)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 59
y
b
n="1
Rϕ1(u)du Ru2ψ1(u)du2Rf(2)(u)2du #1/5
n−1/5.(2)
Para m´as detalles sobre (1) y (2), ver Silverman [16], p´aginas 39 −40, y Fajardo [4], respectiva-
mente. Es oportuno destacar que la raz´on que motiv´o la implementaci´on de (1) y (2) como los
par´ametros de suavizados se debi´o al hecho que, las comparaciones basadas en los par´ametros de
suavizados ´optimos son m´as convincentes que las comparaciones basadas en los par´ametros de
suavizados aproximados, ya que debido a la calidad o no del m´etodo de selecci´on del par´ametro de
suavizado estas podr´ıan ser enga˜nosas. Adem´as, se hace una elecci´on del par´ametro de suavizado
global en lugar de uno local, porque es mucho m´as probable que se utilicen en aplicaciones.
En todas las simulaciones, se utiliz´o una muestra de tama˜no n= 200. Adem´as, para cada
densidad se calcul´o el sesgo (valor estimado menos el valor verdadero), la varianza y ECM
de ambos estimadores en los puntos r=c h
n, 0 ≤c≤1, y x=s b
n, 0 < s ≤1, donde
c∈ { k
25 :k= 1,4,7,9,12},s= (h
n/b
n)c, y los par´ametros h
nyb
nson dados por (1) y
(2), respectivamente. Asimismo, para estimar dse eligi´o, como en Karunamuni y Alberts [12],
h1=h
nn−1/20 yK(0)(t) = 12 (1 + t)t+1
21I[−1,0] (t).
Todos los resultados se promediaron a trav´es de 1000 pruebas y se muestran en las Tablas 1 a
4. Simult´aneamente, basado en los resultados obtenidos, tambi´en se representan gr´aficamente el
desempe˜no de cada estimador, junto con cada densidad fsobre sus respectivas regiones fronteras.
Tales desempe˜nos se muestran en las Figuras 1 a 4. Una minuciosa revision de las Tablas 1 a
4 permite afirmar que, para todas las formas de densidades, el estimador ˜
ϑ
ntiene un mejor
desempe˜no que el estimador ˜
fn, ya que ECM [˜
ϑ
n(x)] ≤ECM [˜
fn(x)] para cada x∈(0, h
n).
Adem´as, se observa que ambos estimadores mejoran el sesgo mientras que sus varianzas son
peque˜nas. Sin embargo, la comparaci´on del desempe˜no de los estimadores ˜
fny˜
ϑ
na trav´es del
error cuadr´atico medio integrado (ECM I) no es conveniente, ya que para todas las formas de
densidades se tiene que (0, h
n]⊂(0, b
n]. Finalmente, es oportuno enfatizar que a pesar de existir
una significativa diferencia entre los ECM de ambos estimadores en cada una de las Tablas 1 a
4, esta se manifiesta en la Tabla 2 con menor magnitud cuando tales diferencias se compraran
con las reportadas en las otras tablas. El lector podr´a verificar la afirmaci´on anterior, al observar
en la Figura 2 la forma como se ajustan los estimadores ˜
ϑ
ny˜
fnen torno a f, y al observar que
para ˜
fntal ajuste se distorsiona en las otras figuras.
0 0.2 0.4 0.6 hn 1.2
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
bn
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 1: Estimaciones de f(z) = 1
2z2e−z, densidad 1, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=1
4ME,
n= 200, h
n= 0,832551 y b
n= 1,535404.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
60 Jes´us A. Fajardo
Tabla 1: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 ≤c≤1 y 0 < s ≤1, para f(z) = 1
2z2e−z, densidad 1, donde v=1
4ME,n= 200,
y ´optimos globales h
n= 0,832551 y b
n= 1,535404.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×10−5sSesgo Var ECM ×10−5
0,0400 0,0015 0,0000 0,2258 0,0217 0,0001 0,0000 0,00031
0,1600 −0,0045 0,0000 2,0659 0,0868 0,0010 0,0000 0,09458
0,2800 −0,0167 0,0000 30,000 0,1518 0,0017 0,0000 0,30495
0,3600 −0,0268 0,0000 70,000 0,1952 0,0024 0,0000 0,59692
0,4800 −0,0430 0,0000 190,00 0,2603 0,0025 0,0000 0,61875
Tabla 2: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 ≤c≤1 y 0 < s ≤1, para f(z) = q2
πe−z2
2, densidad 2, donde v=1
6ME,n= 200,
y ´optimos globales h
n= 0,707481 y b
n= 1,534486.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×10−4sSesgo Var ECM ×10−4
0,0400 −0,0189 0,0000 4 0,0184 0,0049 0,0000 0,23612
0,1600 −0,0247 0,0000 6 0,0738 −0,0027 0,0000 0,07275
0,2800 −0,0287 0,0000 8 0,1291 −0,0026 0,0000 0,06517
0,3600 −0,0304 0,0000 9 0,1660 −0,0040 0,0000 0,15860
0,4800 −0,0316 0,0000 10 0,2213 −0,0089 0,0000 0,79334
5 An´alisis de Datos Reales
En esta secci´on se pondr´an a prueba los estimadores ˜
fny˜
ϑ
nen dos conjuntos de datos reales
conocidos, con el prop´osito de mostrar su utilidad pr´actica. S´olo para la estimaci´on de la densidad
con ˜
ϑ
nse realizaron 1000 pruebas, donde para cada muestra fija X1, . . . , Xnse tom´o una muestra
independiente V(d)
1, . . . , V (d)
n, 1 ≤d≤1000, distribuida uniformemente en [0,1]. Por otro lado,
el par´ametro h
nutilizado fue implementado por otros autores en sus simulaciones, para cada
conjunto de datos propuesto. No obstante, cada b
nse obtendr´a combinando (2) con el valor
aproximado de R[f00 (u)]2du, valor que se calcular´a a trav´es de (1) para cada h
nconsiderado.
Es oportuno se˜nalar que, h
nyb
nse reflejar´an en cada gr´afica y haciendo uso de la propiedad
de “continuaci´on frontera natural” de los estimadores ˜
fny˜
ϑ
n, se “abusar´a” de la notaci´on para
mostrar s´olo dos curvas en la representaci´on gr´afica asociada a cada conjunto de datos, teniendo
en cuenta que a la derecha de h
nyb
nlas gr´aficas mostradas representan las gr´aficas de (1.1),
y (1.2) c.f.a. ϕ1, respectivamente. En concreto, se identificar´a la estimaci´on con n´ucleo y con
conjunto difuso con l´ıneas discontinuas - - - - y.-.-.-.-., respectivamente.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 61
Tabla 3: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 ≤c≤1 y 0 < s ≤1, para f(z) = z2+ 2z+1
2e−2x, densidad 3, donde v=1
4ME,
n= 200, y ´optimos globales h
n= 0,467044 y b
n= 0,861329.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×10−5sSesgo Var ECM ×10−5
0,0400 0,0393 0,0000 154,2479 0,0217 0,0014 0,0000 0,2088
0,1600 0,0065 0,0000 4,1782 0,0868 0,0003 0,0000 0,0088
0,2800 −0,0159 0,0000 25,2148 0,1518 −0,0061 0,0000 3,6991
0,3600 −0,0259 0,0000 67,1897 0,1952 −0,0079 0,0000 6,2911
0,4800 −0,0351 0,0000 123,0843 0,2603 −0,0118 0,0000 13,9596
Tabla 4: Sesgo, varianza y ECM de las estimaciones indicadas, a trav´es de un promedio de 1000 pruebas en los
puntos r=c h
nyx=s b
n, 0 ≤c≤1y0< s ≤1, para f(z)=2e−2z, densidad 4, donde v=1
2ME,n= 200, y
´optimos globales h
n= 0,342128 y b
n= 0,478176.
˜
fn(r)˜
ϑ
n(x)
cSesgo Var ECM ×10−5sSesgo Var ECM ×10−5
0,0400 −0,3717 0,0000 13810 0,0286 0,0132 0,0000 17,4451
0,1600 −0,2494 0,0000 6220 0,1145 −0,0016 0,0000 0,2562
0,2800 −0,1522 0,0000 2320 0,2003 0,0005 0,0000 0,0227
0,3600 −0,1003 0,0000 1010 0,2576 0,0050 0,0000 2,4650
0,4800 −0,0409 0,0000 170 0,3434 0,0093 0,0000 8,6437
0 0.5 hn 1 bn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 2: Estimaciones de f(z) = q2
πe−z2
2, densidad 2, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=
1
6ME,n= 200, h
n= 0,707481 y b
n= 1,534486.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
62 Jes´us A. Fajardo
0 0.2 hn 0.6 bn
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 3: Estimaciones de f(z) = z2+ 2z+1
2e−2x, densidad 3, en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde
v=1
4ME,n= 200, h
n= 0,467044 y b
n= 0,861329.
0 0.1 0.2 hn bn
0
0.5
1
1.5
2
—— fppppppppp ˜
ϑ
n- - - - ˜
fn
Figura 4: Estimaciones de f(z)=2e−2x, densidad 4,en la regiones fronteras (0, h
n] y (0, b
n], donde v=1
2ME,
n= 200, h
n= 0,342128 y b
n= 0,478176.
El primer conjunto de datos reales consta de 35 mediciones correspondientes a la precipitaci´on
promedio durante el mes de diciembre en Des Moines-Iowa-EUA, desde 1961 hasta 1995. Para este
conjunto de datos, Karunamuni y Alberts [12] usan h
n= 0,4250, obtenido a trav´es de validaci´on
cruzada (ver Bowman y Azzalini [1]), el cual permite obtener un valor para b
n= 0,4502. En la
Figura 5 se puede apreciar una marcada similitud entre la estimaci´on con n´ucleo y con conjunto
difuso en los puntos interiores y en la mayor parte de los puntos fronteras. En cambio, ˜
fnno
reconoce que la densidad es cero para valores muy cercanos a 0 por su derecha, tal cual lo se˜nala
el histograma de los datos al pie de la gr´afica. Mientras que el estimador ˜
ϑ
nsi lo reconoce sin
importarle la curvatura.
El segundo conjunto de datos reales son los famosos datos sobre suicidios que se encuentran
en Silverman [16], Tabla 2.1. Estos corresponden a los per´ıodos de duraci´on de 86 tratamientos
psiqui´atricos aplicado a los pacientes utilizados como controles en un estudio sobre riesgos de
suicidio, y es un ejemplo cl´asico de un conjunto de datos donde el estimador (1.1) falla en la
regi´on frontera. Tambi´en se mostr´o, en el reciente trabajo de Fajardo y Harmath, que el estimador
(1.2) c.f.a. ϕ
1falla en la regi´on frontera. Para este conjunto de datos, Karunamuni y Alberts [11]
eligen subjetivamente h
n= 60, el cual permite obtener un valor para b
n= 83,8593. La Figura 6
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
Estimaciones fronteras con n´ucleo localmente adaptable y con conjunto difuso 63
0 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
bn
hn
- - - - Estimaci´on con N´ucleo .-.-.-.-.-.- Estimaci´on con Conjunto Difuso
Figura 5: Estimaciones de las densidades para 35 mediciones correspondientes a la precipitaci´on promedio en
el mes de diciembre en Des Moines-Iowa-EUA desde 1961 hasta 1965, mostradas en el piso de la gr´afica, donde
v=ME,h
n= 0,4250, b
n= 0,4502 y h1=h
nn−1/20.
muestra el comportamiento de las estimaciones con n´ucleo y con conjunto difuso. Se aprecia que
el valor de la densidad en 0 es capturado de forma efectiva por el estimador ˜
ϑ
ncon una apreciable
curvatura, tomando en cuenta que la densidad es 0 como lo indica el histograma al pie de la
gr´afica. No obstante, el estimador ˜
fnno reconoce el comportamiento anterior de la densidad y
decide truncarla en 0 asign´andole el valor 0,008.
0 hn bn 200 400 600 800
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
- - - - Estimaci´on con N´ucleo .-.-.-.-.-.- Estimaci´on con Conjunto Difuso
Figura 6: Estimaciones de las densidades para 86 mediciones correspondientes a los tratamientos psiqui´atricos
aplicado a los pacientes utilizados como controles en un estudio sobre riesgos de suicidio, mostradas en el piso de
la gr´afica, donde v=1
2ME,h
n= 60, b
n= 83,8593 y h1=h
nn−1/20.
6 Conclusiones
Es claro que ning´un estimador existente en la literatura domina al resto de los estimadores para
todas las formas de densidades. Adem´as, cada estimador tiene ciertas ventajas y funciona bien
en determinados momentos. Sin embargo, para las cuatro formas de densidades consideradas en
estas notas el estimador frontera de la densidad con conjunto difuso present´o un rendimiento
superior con respecto al rendimiento del estimador frontera de la densidad con n´ucleo localmente
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 48–65
64 Jes´us A. Fajardo
adaptable, en puntos cercanos a 0 en una dispersi´on de la vecindad del par´ametro de suavizado
b
n. El resultado anterior fue producto de las extensas simulaciones realizadas para comparar los
errores cuadr´aticos medios locales de los estimadores fronteras anteriores y forma parte de una
nueva contribuci´on en el ´area de estimaci´on de la funci´on de densidad no basada en n´ucleo. Un
resultado similar fue presentado en Fajardo y Harmath, donde bajo condiciones an´alogas a las
anteriores el estimador frontera con conjunto difuso present´o un rendimiento superior con respecto
al rendimiento del particular estimador frontera con n´ucleo introducido por Karunamuni y Alberts
[11]. Cabe destacar que el estimador frontera con conjunto difuso y los estimadores fronteras con
n´ucleos considerados en estas notas como en Fajardo y Harmath, presentan estructuras totalmente
diferentes pero comparten propiedades comunes como: no negatividad, “continuaci´on frontera
natural”, y un desempe˜no robusto con respecto a diversas formas de densidades, ya que permiten
importantes reducciones del sesgo mientras que sus varianzas son peque˜nas. Simult´aneamente,
es oportuno resaltar que tales propiedades se obtienen como consecuencia de la influencia de las
funciones atenuante, ϕk, y de transformaci´on, ˆgc, en cada estimador. Finalmente, es importante
recalcar que a trav´es del proceso puntual atenuado que describe el m´etodo de estimaci´on de
densidad con conjunto difuso, el conjunto de observaciones considerada pueden describirse en
una vecindad del punto de estimaci´on, donde las funciones indicadoras que definen al estimador
de densidad con conjunto difuso deciden si la observaci´on pertenece o no a la vecindad del punto
de estimaci´on, y las funciones atenuantes que definen a cada funci´on indicadora se utilizan para
seleccionar los puntos de la muestra con diferentes probabilidades, en contraste con los estimadores
con n´ucleo que asignan el mismo peso a todos los puntos de la muestra.
7 Agradecimientos
El autor agradece a los ´arbitros an´onimos por sus oportunos comentarios y ´utiles sugerencias, que
mejoraron en gran medida la presentaci´on de los resultados. El autor tambi´en desea agradecer
al Licenciado Pedro Luis Bossio, Jefe del Departamento de Admisi´on y Control de Estudios del
N´ucleo Sucre de la Universidad de Oriente, por su apoyo con el equipo de computaci´on, el cual
fue utilizado para la transcripci´on de estas notas y la realizaci´on de las simulaciones presentadas.
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