Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 2 (2021), pp. 1–9

https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/

DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7487372

(CC BY-NC-SA 4.0)

Autor(es)

e-ISSN 2731-2437

p-ISSN 1315-2068

An´alisis de conﬂicto en sistemas din´amicos de

eventos discretos usando redes de Petri

Analysis of conﬂict on discrete event dynamic systems using Petri nets

Marcia Caicedo (rociomar82@hotmail.com)

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4739-3855

Instituto de Postgrado,

Universidad T´ecnica de Manab´ı

Av. Urbina y Che Guevara, 130103, Ecuador.

Guelvis Mata (gematad2017@gmail.com)

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7147-1422

Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias

Universidad de los ´

Andes

M´erida, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela

Bladismir Ruiz (bladismir@ula.ve)

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7737-3847

Instituto de Ciencias B´asicas

Universidad T´ecnica de Manab´ı

Portoviejo, 130103, Ecuador.

Resumen

Este manuscrito considera al modelo de redes de Petri como una herramienta ´util para el

an´alisis de conﬂ´ıctos en sistemas din´amicos de eventos discretos. Particularmente, tratamos

al conﬂ´ıcto basados en la estructura de la red m´as all´a de su comportamiento din´amico, esta-

bleciendo para ello argumentos te´oricos centrados en la “independencia” entre eventos. Con

mayor precisi´on, la conjugaci´on entre algunas clases de redes tales como las redes seguras,

de libre decisi´on, vivas y de libre escogencia caracterizan la ausencia de conﬂ´ıctos en la clase

de sistemas nombrada arriba.

Palabras y frases clave: Sistemas de eventos discretos, redes de Petri, conﬂicto.

Abstract

This manuscript considers the Petri nets model as a useful tool for conﬂict analysis in

dynamic systems of discrete events. In particular, we treat conﬂict based on the structure of

the network beyond its dynamic behavior, establishing theoretical arguments focused on the

“ independence ” between events. More precisely, the conjugation between some classes of

networks such as secure, free-choice, live, and free-choice networks characterize the absence

of conﬂicts in the class of systems named above.

Key words and phrases: Discrete event systems, Petri nets, conﬂict.

Recibido 12/06/2021. Revisado 28/08/2021. Aceptado 22/11/2021.

MSC (2010): Primary 37N35; Secondary 93C65.

Autor de correspondencia: Gelvis Mata

2 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz

1 Introducci´on

Las Redes de Petri (RP) han sido desde su inicio (1962) de gran inter´es en la teor´ıa y aplicaciones

de redes para la modelaci´on y an´alisis de sistemas concurrentes asincr´onicos, incluyendo ´areas

de aplicaci´on tales como sistemas de computaci´on con programaci´on concurrente y sistemas de

multiprocesadores, protocolos de dise˜nos y veriﬁcaci´on en redes de computaci´on [1, 2, 5].Todos

estos sistemas son caracterizados como Sistemas Din´amicos de Eventos Discretos (SDED) y

constituyen el contexto en el cual estaremos centrados.

Ahora, la complejidad resultante desde la no linealidad inherente y la dimensi´on del espacio de

estados en los SDED conducen a diﬁcultades inusuales tanto en dise˜no como en an´alisis [3, 6, 7].

En efecto, con dise˜nos inapropiados, los SDED pueden ser conducidos a bloqueos y sobreﬂujos

de capacidad,entre otros rasgos indeseables, permitiendo la degradaci´on en la ejecuci´on. Por lo

tanto, es necesario contar con herramientas potenciales para detectar y corregir estos problemas.

Nuestro objetivo consiste en el an´alisis de conﬂ´ıctos usando redes de Petri. Tempranamente, un

conﬂ´ıcto en un SDED toma lugar cuando dos o m´as subsistemas est´an listos para ejecutar eventos

u acciones diferentes cuyas ocurrencias dependen directamente de la utilizaci´on de una entidad

compartida e indivisible; en consecuencia, la ausencia de conﬂ´ıcto expresa que cualquier evento

en la evoluci´on del sistema en el tiempo solo puede ser inhabilitado por su propia ocurrencia.

Convencionalmente, tal como es expuesto en [7, 8], las herramientas para el an´alisis de SDED

usando RP est´an fundamentadas en dos t´ecnicas: el ´arbol de Alcanzabilidad y las Ecuaciones

Matriciales; y ambas son expresadas directamente en t´erminos del comportamiento din´amico de

la red. Sin embargo, la direccionalidad de los argumentos dados aqui para el an´alisis de conﬂicto

est´a relacionada con la estructura propia de la red y no de su din´amica. Los resultados m´as

resaltantes establecen, bajo ciertas condiciones, las relaciones m´as estrictas entre la ausencia de

conﬂicto y la independencia de la ocurrencia de eventos, permitiendo desde un punto de vista

te´orico algunas caracterizaciones bajo estructuras de libre decisi´on, de libre escogencia, seguras

y vivas.

La organizaci´on es como sigue: Comenzamos dando las deﬁniciones b´asicas de la teor´ıa de las

RP e incluiremos su comportamiento din´amico. Luego, expresamos conceptualmente algunas de

sus propiedades; para ﬁnalmente, establecer los resultados te´oricos de an´alisis de conﬂicto.

2 Nociones preliminares

Con el prop´osito de incluir nuestro contexto, comenzamos con la deﬁnici´on formal de una red de

Petri, sus marcaciones y su correspondiente grafo asociado para ﬁnalmente establecer la din´amica

o el comportamiento din´amico de una red.

Una Red de Petri es un cu´adruple R= (L, T, E, S) donde L={l1, l2, . . . , ln}es un conjunto

ﬁnito cuyos elementos ser´an llamados lugares, T={t1, t2, . . . , tk}es un conjunto ﬁnito cuyos

elementos ser´an llamados transiciones, L∩T=∅,E:T−→ L∞es una funci´on de entrada:

para cada t∈T,E(t)∈L∞es llamado multiconjunto de lugares de entrada para T(L∞denota

el conjunto de todos los multiconjuntos sobre Lpara los cuales no hay limitaci´on del n´umero

de ocurrencias de sus elementos); y S:T−→ L∞es una funci´on de salida: para cada t∈T,

S(t)∈L∞es llamado multiconjunto de lugares de salida para t.

El comportamiento din´amico de la red comienza por considerar la representaci´on de estatus

de lugares: asociamos a cada lugar de la red un n´umero natural que expresa el signiﬁcado preciso

de la condici´on o conﬁguraci´on l´ogica del lugar en el tiempo. Formalmente, una RP marcada es

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An´alisis de conﬂ´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 3

un par M= (R, m), donde Res una RP ym:L−→ N,N={0,1,2, . . .}, es una funci´on llamada

funci´on de marcaci´on (o marcaci´on): para cada li∈L, m(li)∈Nes llamado n´umero de ﬁchas en

el lugar li; la cual especiﬁca un vector m= (m1, m2, . . . , mn), n= cardL, mi∈N,i= 1,2, . . . , n

con m(li) = mi[8].

Las RP marcadas pueden ser representadas por grafos dirigidos como sigue: los lugares son

etiquetados por c´ırculos y las transiciones por barras. Si un lugar lies un lugar de entrada para

una transici´on t; es decir li∈E(t), entonces hay |li, E(t)|(n´umero de veces que liest´a en el

multiconjunto de lugares de entrada E(t)) arcos dirigidos del correspondiente c´ırculo a la corres-

pondiente barra. Si un lugar ljes un lugar de salida para la transici´on t; es decir, lj∈S(t),

entonces hay |lj, S(t)|(n´umero de veces que ljest´a en el multiconjunto de lugares de salida S(t))

arcos dirigidos de la correspondiente barra al correspondiente c´ırculo. Finalmente, las ﬁchas son

representadas por puntos en el interior del c´ırculo y, en consecuencia, la funci´on de marcaci´on es

representada por el n´umero de puntos en el interior de cada c´ırculo. Enfatizamos que las RP vis-

tas como una herramienta gr´aﬁca nos proveen de un m´etodo uniﬁcado para representar Sistemas

Din´amicos de Eventos Discretos, permitiendo facilidad para modelar sus caracter´ısticas: asin-

cronizaci´on, secuencialidad, concurrencia, conﬂ´ıcto, exclusion mutual, etc; mostrando excelente

visualizaci´on de las dependencias del sistema y focos de informaci´on local.

En cuanto al comportamiento din´amico de una RP debemos enfatizar que una marcaci´on

representa el estatus de cada uno de los lugares en la red. As´ı, ´esta especiﬁca exactamente el

estado actual del sistema que establece las condiciones l´ogicas para la ocurrencia de eventos;

luego, una vez que ocurra un evento las condiciones del sistema en general var´ıan dando lugar a

una nueva marcaci´on o estado. Para ser m´as precisos, una transici´on t∈Ten una RP marcada

M= (R, m) es llamada habilitada si m(li)≥ |li, E(t)|, para todo lugar li∈L. En este caso

tambi´en diremos que la transici´on tes habilitada por la marcaci´on m. El conjunto de transiciones

habilitadas por la marcaci´on mes dado por E, (m) = {t∈T:m(li)≥ |li, E(t)|,∀li∈L}.

Ahora, si t∈ E (m) entonces la marcaci´on m0dada por m0(li) = m(li)− |li, E(t)|+|li, S(t)|,

i= 1,2, . . . , n;n= card L, es llamada marcaci´on alcanzable desde mpor el disparo de t. Adem´as,

si t0∈ E (m0) y esta es disparada, obtenemos una marcaci´on m00 , y as´ı sucesivamente. Por lo tanto,

se obtiene una funci´on de cambio de marcaciones, la cual puede ser extendida de manera natural;

es decir, si la funci´on de cambio de marcaciones δ:Nn×T→Nn, n = cardL, es dada por

δ(m, t) = m0donde m0(li) = m(li)− |li, E(t)|+|li, S(t)|,i= 1,2, . . . , n; entonces su extensi´on

es la funci´on parcial b

δ:Nn×T∗→Nn, dada por b

δ(m, θ) = myb

δ(m, σt) = δ(b

δ(m, σ), t), m ∈

Nn, t ∈T, σ ∈T∗. Aqu´ı, T∗denota el monoide libre con unidad θ:T∗es el conjunto de todas

las combinaciones ﬁnitas de elementos de T[4]. Finalmente, como b

δes una extensi´on de δno

haremos distinci´on notacional entre ambas.

Note que la funci´on parcial de cambio de marcaciones δest´a deﬁnida en (m, t) s´ı, y solamente

s´ı, t∈ E (m).

Por su parte, en una RP marcada M= (R, m0), una marcaci´on m∈Nn, n = card L, ser´a lla-

mada alcanzable desde m0s´ı existe una sucesi´on de disparos de transiciones σ=tj1tj2. . . tjk∈T∗

tal que δ(m0, σ) = m. Luego, el conjunto de alcanzabilidad de la RP desde la marcaci´on m0es

dado por

A(R, m0) = {m∈N/∃σ∈T∗, δ(m0, σ) = m}.

Ejemplo 2.1. Consideremos la RP marcada dada en la ﬁgura 1. En esta red ε(m) = {t1.t3.t4}.

Disparando t4obtenemos la nueva marcaci´on m0= (1,0,1,3,0). Ahora ε(m0) = {t1.t3}: Disparando

t1obtenemos la marcaci´on m00 = (0,1,2,5,0), en la cual ε(m00 ) = {t2.t3}. Este comportamiento

particular de la RP dada es ilustrado en las ﬁguras 1, 2, 3.

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4 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz

Figura 1: Una RP marcada con m= (1,0,0,2,1) y ε(m) = {t1.t3.t4}

Figura 2: La marcaci´on resultante del disparo de la transici´on t4en la ﬁgura 1.

Figura 3: La marcaci´on resultante del disparo de la transici´on t1en la ﬁgura 2

Como se puede apreciar desde el ejemplo 2.1, el cambio de marcaci´on en una RP es producido

por el disparo de transiciones y estas marcaciones pertenecen a Nn, n =card(L).

Ejemplo 2.2. Sea M= (R, m0)una RP marcada, con L={1,2,· · · , n}y funciones de en-

trada (E)y salida (S)tomando valores en el conjunto potencia de L. Consideremos L={σ∈

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An´alisis de conﬂ´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 5

T∗/δ(m0, σ)est´a deﬁnida}. Entonces,

δ(m, t) = m−X

i∈E(t)

ei+X

j∈S(t)

ej,

donde eidenota la n-upla unitaria con ceros en sus componentes excepto en la i-´esima compo-

nente. Para cada σ∈ L, sea O(σ) = (Ot1(σ),Ot2(σ),· · · ,Otk(σ)), con Otj(σ),j= 1,2,· · · , k,

denotando el n´umero de apariciones de tjen σ, luego

δ(m, σ) = m−X

i∈T

Ot(σ)

X

i∈E(t)

ei−X

j∈S(t)

ej



para todo m∈A(R, m0)y todo σ∈ L.

En efecto, por inducci´on sobre la longitud de la sucesi´on de disparos de transiciones tenemos

que para k=2=|σ|,σ=tj1tj2∈ L.

δ(m, tj1tj2) =δ(δ(m, tj1), tj2)

=δ(m, tj1)−X

i∈E(tj2)

ei−X

j∈S(tj2)

=m−

X

i∈E(tj1)

ei−X

j∈E(tj1)

ej

−

X

i∈E(tj2)

ei−X

j∈E(tj2)

ej



=m−X

t∈T

Ot(tj1tj2)

X

i∈E(t)

ei−X

j∈S(t)

ej



Supongamos que

δ(m, σ) = m−X

t∈T

Ot(σ)

X

i∈E(t)

ei−X

j∈S(t)

ej

,

para k=|σ|>2, as´ı para th∈T,σth∈ L.

δ(m, σth) =δ(δ(m, σ), th) = δ(m, σ)−X

i∈E(th)

ei+X

j∈S(th)

=m−X

t∈T

Ot(σ)

X

i∈E(th)

ei−X

j∈S(th)

ej

−

X

i∈E(th)

ei−X

j∈S(th)

ej



=m−X

t∈T

Ot(σth)

X

i∈E(t)

ei−X

j∈S(t)

ej

.

3 Estructuras de redes

Mostraremos algunas estructuras que garantizan la representaci´on de diversas propiedades fun-

cionalmente correctas en un sistema tales como disponibilidad de recursos, ausencia de conﬂ´ıctos

y no bloqueo.

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6 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz

Particularmente, en t´erminos de conﬂicto, si todo par de eventos diferentes no dependen

simult´aneamente de alguna condici´on com´un para sus ocurrencias ni conducen a una condici´on

com´un luego de sus ocurrencias, entonces esto es apropiado para decir que todo par de eventos

en el sistema son “independientes”.

Deﬁnici´on 3.1. Una RP R= (L, T, E, S) es llamada de libre decisi´on si E(ti)∩E(tj) = ∅y

S(ti)∩S(tj) = ∅, para cualesquiera ti, tj∈T, i 6=j.

Figura 4: Dos fragmentos de redes representando de izquierda a derecha dos transiciones con un lugar de entrada

com´un y con un lugar de salida com´un respectivamente.

Otra propiedad importante, relativa a la estructura de una RP, es la libre escogencia. Tal

propiedad es incluida para representar la ocurrencia de diferentes eventos “dependientes” de la

misma condici´on (ver ﬁgura 4(a)), la cual deﬁnimos como sigue.

Deﬁnici´on 3.2. Una RP R= (L, T, E, S) es llamada de libre escogencia si para todo par

ti, tj∈T, ti6=tj,se tiene que E(ti)∩E(tj) = {l}para alg´un l∈LoE(ti)∩E(tj) = ∅.

Deﬁnici´on 3.3. Un lugar l∈Len una RP marcada M= (R, m0) es llamada k-acotado si existe

k∈Ntal que m(l)≤k, para todo m∈A(R, m0). Si todos los lugares en la red son k-acotados,

entonces la red es llamada k-acotada o simplemente acotada. En particular, si la red es 1-acotada

diremos que la red es segura.

Deﬁnici´on 3.4. Una RP marcada M= (R, m0) es llamada persistente (libre de conﬂictos) si

para todo m∈A(R, m0), y todo par ti, tj∈T;ti6=tj;ti, tj∈ E(m), se tiene que ti∈ E(δ(m, tj)).

Deﬁnici´on 3.5. Una RP marcada M= (R, m0) es llamada viva (no bloqueada) si para to-

da marcaci´on m∈A(R, m0) y toda transici´on ti∈T, existe una marcaci´on m0∈A(R, m0)

alcanzable desde mtal que ti∈ E(m0).

4 Resultados te´oricos

En esta secci´on ser´an dados los argumentos para el an´alisis de RP que caracterizar´an la clase

de redes persistentes mediante la estructura propia de la red, y en consecuencia la ausencia de

conﬂ´ıctos en el sistema.

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An´alisis de conﬂ´ıcto en sistemas din´amicos de eventos discretos usando redes de Petri 7

Proposici´on 4.1. Si R= (L, T, E, S)es una RP de libre decisi´on, entonces M= (R, m0)es

persistente.

Demostraci´on. Sea m∈A(R, m0), y sean t, t0∈ E(m) con t6=t0. Como Res de libre decisi´on,

entonces E(t)∩E(t0) = ∅. Sea δi(m, t) la componente i-´esima de δ(m, t). Si li6∈ E(t), entonces

δi(m, t) = m(li)− |li, E(t)|+|li, S(t)|

=m(li) + |li, S(t)| ≥ m(li)≥ |li, E(t0)|

Finalmente, si li∈E(t) entonces li6∈ E(t0); de donde, |li, E(ti)|= 0. En consecuencia,

δi(m, t)≥0 = |li, E(t0)|= 0. Luego, δi(m, t)≥ |li, E(t0)|para todo li∈L. Por lo tanto,

t0∈ E(δ(m, t)). Luego, Mes persistente.

Teorema 4.1. Si M= (R, m0)es una RP marcada persistente, entonces para toda marcaci´on

m∈A(R, m0)y todo par de transiciones t, t0, con t, t0∈ E(m),t6=t0se tiene la propiedad

lk∈E(t)∩E(t0), lk6∈ S(t)∩S(t0)⇒m(lk)>1.

Demostraci´on. Sea m∈A(R, m0), y sean t, t0∈ E(m), con t6=t0, entonces m(li)≥ |li, E(t)|para

todo li∈L. Sea lk∈E(t)∩E(t0), entonces en particular m(lk)≥ |lk, E(t)| ≥ 1. Supongamos que

lk6∈ S(t)∩S(t0) y m(lk)=1,entonces por la persistencia de M,δk(m, t)>0, as´ı 1 − |lk, E(t)|+

donde |lk, E(t)|= 0 lo cual es contradictorio.

Finalmente, si lk∈S(t) entonces lk6∈ S(t0). Luego, usando el razonamiento previo tenemos

que δk(m, t0)>0, con lo cual llegamos a la contradicci´on |lk, E(t0)|= 0. Por lo tanto, m(lk)>

Corolario 4.1. Dada M= (R, m0)una RP marcada segura. Mes persistente si, y solo si, Res

de libre decisi´on.

Demostraci´on. Inmediato desde el teorema 4.1.

Teorema 4.2. Dada M= (R, m0)una RP segura. Si Mes persistente, entonces para cuales-

quiera m∈A(R, m0);t, t0∈ E(m),t6=t0, se tiene la propiedad siguiente:

l∈E(t)∩E(t0)⇒l∈S(t)∩S(t0).

Demostraci´on. Sea l∈E(t)∩E(t0) y l6∈ S(t)∩S(t0), entonces m(l)>1, lo cual contradice la

seguridad de M.

Corolario 4.2. Dada M= (R, m0)una RP segura, con S(t)∩S(t0) = ∅,∀t6=t0. Entonces, M

es persistente si, y solo si, E(t)∩E(t0) = ∅,∀t6=t0.

Demostraci´on. Desde el teorema 4.2 se sigue que si S(t)∩S(t0) = ∅,∀t6=t0, entonces E(t)∩E(t0) =

∅,∀t6=t0; en consecuencia, se obtiene el resultado.

Teorema 4.3. Dada M= (R, m0)una RP marcada donde EyStienen rango en el conjunto

potencia de L. Supongamos que para toda marcaci´on m∈A(R, m0), todo par t, t0∈ E(m),t6=t0,

y todo lugar lk∈E(t)∩E(t0)se tiene que m(lk)>1, entonces Mes persistente.

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8 Marcia Caicedo - Guelvis Mata - Bladismir Ruiz

Demostraci´on. Sea m∈A(R, m0), y sean t, t0∈ E(m), con t6=t0. Si li∈E(t)∩E(t0), entonces

por hip´otesis m(li)>1; de donde

δi(m, t) = m(li)− |li, E(t)|+|li, S(t)|

≥m(li)−1≥1 = |li, E(t0)|.

Por otro lado, si li6∈ E(t)∩E(t0) entonces consideramos los casos siguientes: li∈E(t) y

li6∈ E(t). As´ı, li∈E(t)⇒li6∈ E(t0)⇒δi(m, t)≥0 = |li, E(t0)|. Finalmente, li6∈ E(t)⇒

δi(m, t) = m(li) + |li, S(t)| ≥ m(li)≥ |li, E(t0)|.

El caso li6∈ E(t) y li6∈ E(t0) es trivial. Luego, δi(m, t)≥ |li, E(t0)|para todo li∈L. Por lo

tanto, t0∈ E(δ(m, t)). Luego, Mes persistente.

Teorema 4.4. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, donde Res de libre escogencia.

Supongamos que las funciones de entrada y salida tienen rango en el conjunto potencia de L.

Entonces, la persistencia de Mimplica que para cualesquiera t, t0∈T, t 6=t0. se tiene la propiedad

l∈E(t)∩E(t0)⇒l∈S(t)∩S(t0).

Demostraci´on. Supongamos que existen transiciones t, t0∈T,t6=t0, y l∈Ltales que l∈

E(t)∩E(t0) y l6∈ S(t)∩S(t0). Como Res de libre escogencia, entonces E(t) = E(t0) = {l}.

La vivencia de Masegura que existe m∈A(R, m0) tal que t0∈ E(m); luego, m(l)>0 y en

consecuencia t∈ E(m).

Sin p´erdida de generalidad, supongamos que l∈S(t0) y sea m0=δ(m, φ), donde φ=tt . . . t,

(m(l)−1)-veces, entonces claramente m0∈A(R, m0); t, t0∈ E(m0) pero t06∈ E(δ(m0, t)).Por lo

tanto Mno es persistente.

Corolario 4.3. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, con Rde libre escogencia tal que

S(t)∩S(t0) = ∅,∀t6=t0. Entonces, Mes persistente s´ı, y solo si, E(t)∩E(t0) = ∅,∀t6=t0.

Demostraci´on. Si S(t)∩S(t0) = ∅,∀t6=t0, entonces desde el teorema 4.3 E(t)∩E(t0) = ∅,∀t6=t0;

de donde se sigue lo requerido.

Corolario 4.4. Dada M= (R, m0)una RP marcada viva, con Rde libre escogencia tal que

S(t)∩S(t0) = ∅,∀t6=t0. Entonces, Mes persistente si, y solo si, Res de libre decisi´on.

Demostraci´on. Inmediato desde el teorema 4.4.

5 Conclusi´on

El modelo RP veriﬁcando los argumentos te´oricos establecidos en la secci´on 4 proporcionan una

estructura para estudiar un amplio rango de SDED, donde la red es conocida. La persistencia de

una RP excluye la existencia de cualquier conﬂ´ıcto. Por lo tanto, en la asignaci´on de recursos

compartidos, un modelo de red persistente implica que no hay conﬂ´ıcto entre procesos. La no

persistencia de una red puede implicar cierto grado de injusticia en la asignaci´on de recursos en

un contexto de sistemas distribuidos, en especial, en un medio ambiente de manufactura.

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