Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal
y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa
A short tour along the history of linear algebra and some of its applications to
economics
Ana M. Mart´ın-Caraballo (ammarcar@upo.es)
Concepci´on Paralera-Morales (cparmor@upo.es)
´
Angel F. Tenorio (aftenvil@upo.es)
Depto. de Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e Historia Econ´omica
Universidad Pablo de Olavide
Sevilla - Espa˜na
Resumen
En el presente art´ıculo trataremos diversos opicos del ´algebra lineal (y as concreta-
mente del ´algebra matricial) tanto desde una perspectiva hist´orica en la que se mostrar´a
la evoluci´on de diversos conceptos como desde su aplicaci´on a la resoluci´on de problemas
econ´omicos. En relaci´on al recorrido hist´orico del ´algebra lineal, expondremos los inicios de
la misma y los principales hitos alcanzados en relaci´on al estudio de las matrices, aunque
no seremos exhaustivos por motivo de extensi´on. Con respecto al uso del ´algebra lineal para
resolver cuestiones econ´omicas, mostraremos algunas de las aplicaciones as habituales y
tradicionales a este respecto, haciendo especial ´enfasis en el an´alisis input-output y la teor´ıa
de juegos para la toma de decisiones.
Palabras y frases clave: ´algebra matricial; aplicaciones a la econom´ıa; an´alisis input-
ouput; teor´ıa de juegos; introducci´on hist´orica.
Abstract
This article deals with several topics in the field of Linear Algebra (and more concretely
Matrix Algebra), by considering both its application to solving economic problems and a
historic approach showing the evolution of such concepts. Regarding the historic tour of
Linear Algebra, we explain the first steps and the main milestones in the classical research
on matrices, although we are not being exhaustive due to reasons of length. With respect to
the use of Linear Algebra to solve economic questions, we show some of the most traditional
and usual applications, emphasizing Input-Output Analysis and Game Theory, the latter for
Decision Making, as its most characteristic examples.
Key words and phrases: matrix algebra; applications to economics; input-output
analysis; game theory; historic introduction.
Recibido 11/03/21. Revisado 26/03/21. Aceptado 13/06/21.
MSC (2010): Primary 15-03; Secondary 01A50; 01A55.
Autor de correspondencia:
´
Angel F. Tenorio
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1 Introducci´on
Al adentrarnos en el ´ambito de la aplicaci´on de las matem´aticas a otras ciencias, podemos encon-
trarnos con situaciones cuya modelizaci´on consiste en la resoluci´on de ecuaciones e inecuaciones
de primer grado o lineales. Es entonces cuando el ´algebra lineal se convierte en una herramienta
que facilita y permite dar respuesta al problema matem´atico asociado a la situaci´on del mundo
real. La validez del ´algebra lineal para tratar estas cuestiones se basa en que los sistemas de
ecuaciones lineales son expresables matricialmente y, gracias a esta conversi´on, pueden aplicarse
posteriormente ultiples procedimientos. En consecuencia, el tratamiento y resoluci´on de sis-
temas lineales, matrices y determinantes (que se obtienen de ellos) se convierte en pieza clave
para la resoluci´on de problemas (por ejemplo, aquellos de tipo num´erico o relativos a ecuaciones
diferenciales) que modelizan situaciones del mundo real que nos rodea.
En el presente art´ıculo, mostraremos c´omo el inter´es y (nos atrever´ıamos a decir) la necesidad
de resolver problemas algebraicos basados en ecuaciones lineales aparece ya en los albores de
nuestra historia, pudi´endose encontrar m´ultiples ejemplos de su uso en los textos matem´aticos
as antiguos existentes. Como indican Kline [44] y Joseph [42], las tablillas cuneiformes de la
Antigua Babilonia (que datan del a˜no 3000 a.C.), los papiros Rhind y moscovita (entre el a˜no
2000 y el 1500 a.C.) o los Nueve Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas (hacia el s. X a.C.)
contienen m´ultiples ejemplos de resoluci´on de problemas pr´acticos de ´algebra lineal para resolver
cuestiones que interesaban en esta cultura, especialmente cuestiones con un fuerte componente
econ´omico.
A este respecto, Fedriani et al. [23] realizaron un estudio sobre omo los sistemas de nu-
meraci´on hab´ıan ido apareciendo a lo largo de la historia en base a las necesidades econ´omicas
existentes en cada civilizaci´on y omo dichas necesidades generaron diferencias significativas en
sus respectivos sistemas como pueden ser la aparici´on de diferentes conceptos num´ericos y de
distintos niveles de representaci´on num´erica entre otras.
Pero el ´algebra lineal no solo permite modelizar situaciones de ´ındole econ´omico, sino que
much´ısimas situaciones de otras ramas del conocimiento pueden ser modelizadas y tratadas me-
diante los objetos y resultados propios de este campo. Sin remontarnos al pasado y tocando
temas de mayor actualidad, como son las cuestiones relacionadas con la inform´atica, cualquier
lenguaje de programaci´on trata los datos como ‘arrays’ o, lo que es lo mismo, como tablas con un
determinado n´umero de filas y columnas; y que, por tanto, son modelizables matem´aticamente
por medio de vectores o matrices (seg´un tengan as de una fila y una columna). Del mismo
modo, cualquier matriz puede verse como una transformaci´on que permite codificar y decodificar
la informaci´on que se env´ıa por un canal de comunicaci´on. Estar´ıamos hablando de la teor´ıa de
odigos lineales, en la que incluso se podr´ıan detectar y corregir los errores que se cometen al
transmitir la informaci´on anterior por dicho canal por medio de unas matrices especiales llamadas
de Hadamard. La detecci´on y correcci´on de errores en la informaci´on transmitida es esencial para
la transmisi´on de im´agenes y documentos por Internet.
Un tercer ejemplo as geom´etrico (y con m´ultiples aplicaciones tanto al tratamiento de imagen
por ordenador como a la rob´otica) se basa en el hecho que todos los movimientos en el espacio
n-dimensional pueden representarse (y por tanto traducirse) como matrices cuadradas invertibles.
Ya que el ´algebra lineal es una disciplina matem´atica que abarca un considerable umero de
nociones y resultados, el presente art´ıculo va a centrarse en la parcela correspondiente al ´algebra
matricial. as concretamente, comenzaremos exponiendo omo se origina el concepto de matriz
y omo van apareciendo sus operaciones esenciales; para continuar, en una segunda etapa, con el
estudio de sus aplicaciones a diversos problemas de ´ındole econ´omica. Por tanto, nuestro objetivo
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es doble: por un lado, recorrer la evoluci´on hist´orica del ´algebra matricial desde sus or´ıgenes; y por
el otro, explicar algunos de los opicos econ´omicos que pueden tratarse con el ´algebra matricial.
Finalizaremos el art´ıculo indicando algunas conclusiones sobre la aplicaci´on del ´algebra matricial
al estudio de problemas econ´omicos tanto desde un punto de vista investigador como docente.
2 Evoluci´on hist´orica
En esta secci´on expondremos omo fueron surgiendo las distintas nociones pertenecientes al
´algebra matricial en su correspondiente contexto hist´orico. as concretamente, primero veremos
su aparici´on en base al tratamiento matem´atico que se ven´ıa realizando en algunas de las culturas
cl´asicas antiguas (como por ejemplo la Antigua India o China) y, hecho esto, comentaremos
omo se trabajaron y formalizaron dichos conceptos en las denominadas matem´aticas modernas,
procurando mostrar que dicha formalizaci´on requiri´o de un trayecto que dur´o varios siglos hasta
su culminaci´on a finales del s. XIX.
2.1 Matem´aticas antiguas
El uso de las matrices (aunque sin usar esa terminolog´ıa que aparecer´a a mediados del s. XIX) en
diversas civilizaciones cl´asicas de la antigedad puede encontrarse en la resoluci´on y tratamiento de
algunos de los problemas cl´asicos que se expon´ıan en los documentos de esa ´epoca. No obstante,
debe tenerse en cuenta que en ninguno de ellos se hace un desarrollo matem´atico formal de las
nociones tratadas, sino que se expon´ıan procedimientos aplicados a un problema concreto como
gu´ıa para resolver problemas similares. Debe tenerse en cuenta que la primera aproximaci´on a
un cuerpo matem´atico cerrado con axiomas, definiciones y proposiciones no tendr´a lugar hasta
que Euclides elabore su Elementos hacia el no 300 a.C., aunque no aparecen ni conceptos ni
resultados relativos al ´algebra lineal, sino geom´etricos o pertenecientes a la teor´ıa de n´umeros.
2.1.1 India
El matem´atico ´arabe Halayudha realiz´o un comentario en el siglo X en relaci´on a la obra de otro
matem´atico indio llamado Pingala, que vivi´o en la zona que actualmente conforma el estado de
Kerala. Aunque se ha situado a Pingala en el siglo VII a.C., la tradici´on hind´u afirmaba que ´el
era el hermano menor del gran gram´atico indio Panini que vivi´o en el s. V a.C., siendo este el
siglo en el que finalmente se le ubic´o.
Pingala fue qui´en formul´o la primera descripci´on conocida de un sistema de numeraci´on
binario, describiendo este sistema en base a la lista de etricas v´edicas y las s´ılabas cortas y largas.
En su obra tambi´en pueden encontrarse las ideas asicas del atr¯a-meru (que posteriormente se
denominar´a sucesi´on de Fibonacci) y el meru-pr¯ast¯ara (el conocid´ısimo tri´angulo de Pascal o de
Tartaglia). Pero eso no es todo, ya que como puede verse en Joseph [42], dar´ıa una descripci´on
de omo formar una matriz.
Debe tenerse en cuenta que, para la Antigua India, el ´algebra consist´ıa en las actividades
aritm´eticas y computacionales, no en la detecci´on de patrones deductivos o procedimientos t´ecni-
cos. En relaci´on al ´algebra lineal, se dispon´ıan de reglas para resolver las ecuaciones lineales y
cuadr´aticas y los sistemas de las primeras. Solo se denominaba inc´ognita a la primera en la
ecuaci´on, recibiendo las restantes nombres de colores (negro, azul, amarillo, etc.) y us´andose
iniciales de palabras como s´ımbolos. Esto llevaba a disponer de una simbolog´ıa poco extensa
pero muy clarificadora. Aunque los problemas y sus resoluciones se expresaban usando un estilo
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quasi-simolico e indicando los pasos que se iban realizando, hay que indicar que se carec´ıa de
cualquier tipo de justificaci´on sobre la validez de los m´etodos de resoluci´on empleados.
En el no 628, Brahmagupta (598–665) escribi´o el Brahma-sphuta-siddhanta (que traducido
vendr´ıa a ser La ciencia perfeccionada de Brahma). El decimoctavo libro de esta obra estaba
dedicado al
´
Algebra y a la resoluci´on de ecuaciones indeterminadas. Posteriormente Bhaskara
(1114–1185) escribir´ıa un libro titulado Siddh¯anta Shiromani (que podr´ıa traducirse como Corona
o Joya de los Tratados) cuya segunda parte se denominaba Bijaganita (cuya traducci´on ser´ıa
Matem´aticas por medio de semillas o algoritmos) y estaba centrado en la aplicaci´on de algoritmos
de resoluci´on para ecuaciones lineales y cuadr´aticas y de sus sistemas.
2.1.2 China
En esta civilizaci´on tampoco aparecer´ıa el nombre de matriz, pero s´ı su concepto tal y como
atestiguar´ıa la aparici´on de un cuadrado agico 3 × 3 hacia el a˜no 650 a.C.
La obra clave de las matem´aticas en la Antigua China es el Jiu Zhang Suan Shu (o los Nueve
Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas). Era un texto que recopilaba todo el conocimiento
matem´atico existente en China entre los siglos X y I a.C., aunque la primera versi´on conservada
del texto data del a˜no 179 d.C. Desafortunadamente, ni su autor´ıa ni su fecha de composici´on son
conocidas, existiendo teor´ıas que los sit´uan en la ´ultima dinast´ıa Chin o en la primera dinast´ıa
Han (s. I a.C.). El libro se estructuraba como sigue: tras plantearse el enunciado de un problema,
se enunciaba la soluci´on del mismo seguida de una explicaci´on sobre el etodo de resoluci´on
empleado. Dicho m´etodo podr´ıa ir desde una regla general hasta una secuencia de operaciones
sin justificaci´on alguna. En el a˜no 263 d.C., el matem´atico y fil´osofo Liu Hui (circa 220–circa 280)
realiz´o una serie de comentarios a las explicaciones que se recog´ıan en el libro y que tienen tanto
valor como la obra original comentada. En los 246 problemas que se recogen en los nueve cap´ıtulos
de los que se compone la obra, se recoge todo el conocimiento matem´atico chino de la ´epoca,
incluidos los relativos a la resoluci´on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Concretamente, el
cap´ıtulo octavo, titulado Fang Cheng (que puede traducirse como M´etodo de las Tablas), contiene
18 problemas de resoluci´on de sistemas de ecuaciones simult´aneas con dos o tres inc´ognitas e
incluye el primer texto en el que se hace uso de las matrices para resolver sistemas lineales.
El etodo mostrado para resolver sistemas de ecuaciones lineales es esencialmente el que
Gauss desarrollar´ıa mil quinientos nos despu´es y que nosotros utilizamos actualmente. Usando
la notaci´on matricial del sistema A · x = b, se realizaban transformaciones por columnas para
obtener otro equivalente D · x = b, con D una matriz triangular superior. Hay que destacar que
el uso de estas transformaciones obligaron a la introducci´on del concepto de n´umero negativo y
de la regla cheng-fu (m´as-menos) para operar con ellos.
El cap´ıtulo s´eptimo, titulado Ying Buzu (que vendr´ıa a significar demasiado y no suficiente),
consiste en 19 problemas cuya resoluci´on resulta ser un caso especial de la regla de Cramer para
dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Es decir, la cultura china introdujo el concepto de determinante
en la historia y lo hizo unos dos mil a˜nos antes de su descubrimiento por el matem´atico japon´es
Seki Kowa (circa 1639–1708) en su obra Kai Fukudai no o (cuya traducci´on ser´ıa etodo
de resoluci´on de problemas disimulados) de 1683. No ser´ıa hasta diez nos despu´es, en 1693,
que el matem´atico y fil´osofo alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716) llegara tambi´en a
definir el concepto de determinante en la matem´atica europea y se le atribuyese hist´oricamente
su descubrimiento.
Volviendo a las matem´aticas chinas y avanzando hasta la Edad Media, Zhu Shijie (circa 1260–
circa 1320) introdujo una serie de etodos algebraicos generales y perfeccion´o la simbolog´ıa
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empleada, usando la exclusi´on sucesiva de inc´ognitas en su obra Siyuan Yujian (que significa
El espejo de jade para los cuatro elementos) fechada en 1303. En su obra, las inc´ognitas se
simbolizaban mediante los cuatro elementos de la cultura china: cielo, tierra, hombre y objeto.
Su m´etodo se basaba en el uso del tian yuan (o etodo de la inc´ognita celeste), que simplemente
consist´ıa en la Regla de Ruffini para resolver ecuaciones; regla que ser´ıa introducida por Horner
(1786–1837) en las matem´aticas europeas medio siglo despu´es de la obra antes referida.
2.2 Matem´aticas modernas
Durante los siglos XVIII y XIX, buena parte de los principales matem´aticos europeos tomaron
parte en el desarrollo y formalizaci´on de los determinantes y sus propiedades. En el contexto de
las matem´aticas modernas, se considera mayoritariamente que la teor´ıa de los determinantes se
origin´o con el matem´atico alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716), que utiliz´o los deter-
minantes (aunque llam´andolos resultantes) en 1693 [51] para resolver los sistemas de ecuaciones
lineales. Como se indic´o anteriormente, el matem´atico japon´es Seki Kowa hab´ıa introducido en
el wasan (nombre de las matem´aticas en Jap´on durante el periodo Tokugawa) gracias a su obra
de 1683, no solo m´etodos basados en tablas como en la matem´atica china que ya hemos comen-
tado, sino que tambi´en introdujo el concepto y los etodos generales de alculo de la noci´on de
‘determinante’. Concretamente, trabao con determinantes de orden menor o igual que 5 y los
utiliz´o para la resoluci´on de ecuaciones, aunque no para sistemas de ecuaciones lineales.
Ser´ıa en 1748 cuando un matem´atico escoc´es, disc´ıpulo de Newton, llamado Colin Maclaurin
(1698–1746) publicar´ıa su libro Treatise of Algebra [55] y, en el cap´ıtulo XI, aparecer´ıa la resoluci´on
habitual de las ecuaciones lineales simult´aneas mediante el m´etodo de eliminaci´on de inc´ognitas.
En esta misma obra, pero en su cap´ıtulo XII, Maclaurin describir´ıa la soluci´on alternativa de
estos sistemas mediante determinantes y que consiste en la denominada Regla de Cramer, a
quien Maclaurin atribuy´o la regla que reproduc´ıa en su libro y de la que posiblemente se tendr´ıa
conocimiento desde 1730. Maclaurin solo prob´o en su obra la regla de Cramer para sistemas
lineales de orden 2 × 2 y 3 × 3, dejando indicado omo habr´ıa que proceder en orden 4 × 4.
Ser´ıa dos a˜nos despu´es, en 1750, cuando el propio Gabriel Cramer (1704–1752) publicar´ıa este
m´etodo de resoluci´on para sistemas lineales de orden n × n en el ap´endice de su tratado de
geometr´ıa titulado Introduction `a l’analyse des lignes courbes alg´ebriques [20], aunque sin incluir
prueba alguna del resultado. Con las obras de Maclaurin y Cramer, tiene lugar hist´oricamente
el pistoletazo de salida para la publicaci´on de trabajos sobre determinantes de manera regular y
continuada.
Como curiosidad hay que indicar que en la obra Artis magnae, sive de regulis algebraicis
(m´as conocida como Ars Magna [11]) del humanista italiano Gerolamo Cardano (1501-1576),
publicada en 1545, aparece una regla para la resoluci´on de sistemas lineales de dos ecuaciones con
dos inc´ognitas. Esta regla, que denomin´o regula de modo’, coincide en lo esencial con los c´alculos
correspondientes a la regla de Cramer de la que hemos hablado anteriormente y que aparece
unos dos siglos despu´es. Sin embargo, Cardano no dar´ıa una definici´on formal de determinante
ni introducir´ıa un m´etodo de alculo u objeto que se pueda identificar con dicha noci´on.
En 1764 [3], el matem´atico franc´es
ˆ
Etienne B´ezout (1730–1783) introducir´ıa m´etodos para el
alculo de determinantes al igual que har´ıa el matem´atico franc´es Alexandre-Th´eophile Vander-
monde (1735–1796) en su obra M´emoire sur l’´elimination, fechada en 1772 [79]. No obstante, el
famoso determinante que le debe su nombre solo aparecer´ıa expl´ıcitamente en emoire sur la
r´esolution des ´equations de 1771 [78]. Tambi´en en 1772, el matem´atico, astr´onomo y f´ısico franc´es
Pierre-Simon Laplace (1749–1827) generalizar´ıa los trabajos de B´ezout, Vandermonde y Cramer,
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llegando a afirmar que los etodos introducidos por Cramer y ezout eran impracticables. La
obra en cuesti´on en la que llevar´ıa a cabo esta tarea se denomin´o Recherches sur le calcul integral
et sur le systeme du monde [50], en la que (adem´as de estudiar las ´orbitas de los planetas inte-
riores) discuti´o la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de determinantes
(a los que tambi´en denomin´o resultantes tal y como hab´ıa hecho Leibniz previamente, pero des-
conocedor de su trabajo), aunque sin llegar a realizar los alculos. En esa misma obra, Laplace
tambi´en introdujo el desarrollo general por una fila o columna de un determinante por medio de
la suma ponderada alternada de menores del determinante de partida y que hoy denominamos
desarrollo de Laplace.
Un a˜no despu´es, en 1773 [49], el matem´atico y astr´onomo franc´es Joseph-Louis de Lagrange
(1736–1813) desarroll´o la teor´ıa de las matrices de orden 3 × 3, demostrando muchas de las pro-
piedades de estas matrices. Tambi´en en esta obra se interpret´o por primera vez un determinante
como el volumen de un tetraedro (concretamente el formado por el origen de coordenadas y otros
tres puntos). Hay que tener en cuenta que Lagrange realiz´o su estudio de manera independiente
y que nunca lleg´o a establecer relaci´on entre su investigaci´on y la de Laplace y el resto de los
matem´aticos franceses que fueron coet´aneos suyos y que trabajaron con determinantes y matrices.
Hemos de entrar en el siglo XIX para encontrarnos por primera vez con el ermino ‘deter-
minante’, que ser´ıa introducido por el matem´atico y f´ısico alem´an Johann Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801 [30]. No obstante, el objeto
al que originalmente llam´o determinante no coincide con el que disfruta hoy d´ıa de ese nombre,
sino que se usaba para una expresi´on del discriminante de una forma cuadr´atica expresada en
relaci´on a un cierto odulo y lo denominaba de este modo porque ese objeto ‘determinaba’ las
propiedades de la forma cuadr´atica en cuesti´on. M´as a´un, Gauss tambi´en expres´o en esta obra los
coeficientes de sus formas cuadr´aticas mediante ‘arrays’ rectangulares (i.e. matrices) y describi´o
omo se multiplicaban matrices y se calculaba la inversa de una matriz en el contexto de los
‘arrays’ de coeficientes de formas cuadr´aticas.
Debe tenerse en cuenta que con el ermino ‘array’ que hemos empleado, queremos referirnos
a una distribuci´on en formato tabular de datos expresados en filas y columnas. Este t´ermino es
empleado como sin´onimo del t´ermino ‘matriz’ en Computaci´on e Inform´atica, pero eliminando
las connotaciones matem´aticas que el segundo t´ermino tiene en relaci´on a tener definida una
estructura algebraica (de espacio vectorial en general y de anillo en el caso de matrices cuadradas
de un determinado orden). Este era adem´as el sentido en el que usaba Gauss las matrices ya que
no lleg´o a tener conciencia de la noci´on de ´algebra matricial, puesto que para ´el, el producto de
matrices era simplemente un alculo para obtener la composici´on de formas cuadr´aticas.
Ya hemos indicado que Gauss emple´o el ermino determinante por primera vez en la matem´ati-
ca europea, pero refiri´endose a otro objeto matem´atico distinto al que hoy en d´ıa asociamos a
ese t´ermino. Para usar el t´ermino ‘determinante’ en su sentido actual habr´ıa que esperar a que el
matem´atico franc´es Augustin Louis Cauchy (1789–1857) leyera su Essai sur les fonctions sym´etri-
ques en la Acad´emie des Sciences del Institute de France y que publicar´ıa bajo el t´ıtulo M´emoire
sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs ´egales et de signes contraires par suite
des transpositions op´er´ees entre les variables qu’elles renferment en 1815 [12]. Esta obra conver-
tir´ıa a Cauchy en el autor as prol´ıfico de su ´epoca en relaci´on a la teor´ıa de determinantes y
ser´ıa la obra m´as completa de su tiempo. De hecho, en ella aparecen las demostraciones de todos
los resultados obtenidos hasta la fecha (ya que Cauchy no consideraba correctas algunas de las
pruebas ya existentes) y un considerable n´umero de resultados nuevos sobre menores y adjun-
tos, destacando el teorema de multiplicaci´on de determinantes. Este teorema permite expresar
el determinante de un producto como producto de determinantes y es com´unmente conocido co-
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mo la ormula de Cauchy-Binet para dos matrices rectangulares de ´ordenes transpuestos. Como
curiosidad, indicar que el matem´atico y f´ısico franc´es Jacques-Philippe-Marie Binet (1786–1856)
lleg´o de manera independiente al mismo resultado en su emoire sur un systeme de formules
analytiques, et leur applications `a des considerations g´eom´etriques [4], que present´o a la Acad´emie
des Sciences en la misma sesi´on que Cauchy en 1812.
Posteriormente, saldr´ıa a la luz la obra Sur l’´equation `a l’aide de laquelle on etermine les
in´egalit´es eculaires des mouvements des plan`etes en 1829 [13], tambi´en escrita por Cauchy. En
ella se emplear´ıa por primera vez el ermino ‘tableau’ al referirse a la matriz de coeficientes
asociada a una forma cuadr´atica en n variables. En esa obra, se calculaban los autovalores de
dicha matriz (cuadrada y definida) y aparec´ıan los primeros resultados sobre diagonalizaci´on de
matrices al expresar una forma cuadr´atica como suma de cuadrados. Tambi´en se inclu´ıa en esta
obra la noci´on de matrices similares, aunque sin dar nombre a dicha relaci´on de equivalencia y
demostrando el resultado principal para matrices similares en relaci´on a la diagonalizaci´on de
matrices y alculo de autovalores: dos matrices similares tienen la misma ecuaci´on caracter´ıstica,
los mismos autovalores con la misma multiplicidad y, por ende, una es diagonalizable si y solo
si lo es la otra. Otra propiedad asica de la diagonalizaci´on de matrices incluida en el trabajo
comentado era la de que toda matriz sim´etrica real es diagonalizable.
El siguiente autor del que hablaremos en relaci´on a los determinantes es el matem´atico alem´an
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), quien publicar´ıa tres trabajos sobre determinantes en el
Crelle’s Journal durante el a˜no 1841 [37, 38, 39]. En ellos, dio la primera formalizaci´on algor´ıtmi-
ca de la definici´on de determinante, admitiendo que los erminos de un determinante pudiesen
ser n´umeros o funciones. El trabajo de Jacobi fue esencial para la noci´on de determinante ya
que dotaron al concepto de tal relevancia que se hizo ampliamente conocido. Ese mismo a˜no, el
matem´atico ingl´es Arthur Cayley (1821–1895) publicar´ıa su art´ıculo sobre la geometr´ıa de la posi-
ci´on [14] y ´esta ser´ıa la primera aportaci´on de la matem´atica inglesa a la teor´ıa de determinantes.
La importancia de esta publicaci´on reside en que este trabajo introdujo la notaci´on empleada en
la actualidad para los determinantes: la estructura tabular o ‘array’ de datos delimitada por una
l´ınea vertical a cada lado del ‘array’.
otese que hemos hablado de la aparici´on del t´ermino ‘determinante’ pero no del t´ermino
‘matriz’, el cual aparecer´ıa casi cuatro ecadas despu´es de que Cauchy usase por primera vez
el t´ermino ‘determinante’. No obstante, antes de que se llegase a darle el nombre de ‘matriz’ al
objeto que hoy conocemos como tal, muchos matem´aticos europeos estuvieron trabajando con
este objeto de forma directa o indirecta (esto ´ultimo al resolver sistemas de ecuaciones linea-
les). Al hablar de la evoluci´on hist´orica del ‘determinante’ ya hemos comentado algunos de estos
casos, pero no podemos pasar por alto en este trabajo uno de los opicos principales al hablar de
matrices: la denominada eliminaci´on gaussiana.
Cuando expusimos en su momento la matem´atica china, ya hicimos referencia a omo se
dispuso de esta t´ecnica para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, pero no hemos
indicado omo apareci´o en la matem´atica europea y lo err´oneo de su nombre. Un magn´ıfico
estudio sobre esta cuesti´on se debe a Grcar [33, 34]. A este respecto, el matem´atico y f´ısico
ingl´es Isaac Newton (1642–1727), cuando estaba revisando entre 1669 y 1670 una versi´on de
un manual sobre ´algebra que el impresor John Collins quer´ıa editar, insert´o una anotaci´on al
margen indicando su preocupaci´on sobre la carencia en todos los manuales de la ´epoca de un
apartado explicando la resoluci´on de sistemas de ecuaciones y su inter´es en completar esa laguna
del conocimiento incluyendo un cap´ıtulo a la obra que se iba a editar. Sin embargo, al no llevarse
a cabo la edici´on de este manual, Newton opt´o por comenzar a escribir un manuscrito que revis´o
repetidas veces y que qued´o inconcluso, datando la ´ultima versi´on de 1684. Esta obra, que iba
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a titularse Arithmeticae Universalis, no lleg´o a publicarse y Newton hizo entrega de sus notas
de clase sobre ´algebra a la Universidad de Cambridge, en la que hab´ıa impartido la atedra
lucasiana de matem´aticas hasta 1702 y que se basaron en los borradores de sus manuscritos. Su
sucesor en la atedra, William Whiston (1667–1752), edit´o las notas de Newton en lat´ın bajo el
t´ıtulo de su obra inconclusa en 1707 [62] tras dejar su vida acad´emica y en la que aparec´ıan sus
explicaciones sobre omo resolver los sistemas de ecuaciones tratando las ecuaciones dos a dos.
No solo se expon´ıa la regla correspondiente al m´etodo de eliminaci´on o reducci´on (al que ´el llam´o
de ‘exterminaci´on’) que es el que nos ocupa en relaci´on a la evoluci´on hist´orica de los conceptos
de ‘matriz’ y ‘determinante’ que estamos considerando en el presente trabajo, sino que tambi´en
inclu´ıa las reglas correspondientes a los m´etodos de igualaci´on y sustituci´on. Todos estos m´etodos
de resoluci´on de sistemas de ecuaciones estaban presentados para aplicar a sistemas de dos o m´as
ecuaciones sin que ´estas necesariamente tuvieran que ser lineales.
Aunque el trabajo de Newton es el primer texto de ´algebra en las matem´aticas europeas que
abord´o la explicitaci´on de unas reglas para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, las ultiples
revisiones de Newton y su reticencia a que se publicasen sus notas (las primeras versiones de
su Arithmeticae Universalis aparecieron sin autor´ıa) llevaron a que se publicase previamente, en
1690, el Trait´e d’Algebre [70] del matem´atico franc´es Michel Rolle (1652–1719). En esta obra
aparecer´ıa la primera descripci´on de la eliminaci´on gaussiana bajo el nombre de m´etodo de susti-
tuci´on y formulado espec´ıficamente para sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, los textos
de ´algebra que surgieron con posterioridad a los de Newton y Rolle tomaron como referencia el
desarrollo hecho por Newton para la resoluci´on de sistemas. De estas obras, caben destacar dos:
el A Treatise of Algebra [71] del matem´atico ingl´es Thomas Simpson (1710–1761), que fue publi-
cada en 1745 y que introdujo la regla de adici´on y sustracci´on de ecuaciones (i.e. combinaciones
lineales de ecuaciones); y la del matem´atico franc´es Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765–1843) de
1804 [48], en la que por primera vez se usa el ermino ‘eliminaci´on’ para referirse a este m´etodo.
En vista de lo anterior, cabr´ıa preguntarse cu´al fue la aportaci´on de Gauss al respecto del
m´etodo de eliminaci´on que lleva su nombre y cuyos or´ıgenes en las matem´aticas modernas se
remontan a Newton y Rolle tal y como acabamos de exponer. Concretamente, la contribuci´on de
Gauss al etodo de eliminaci´on (que ´el denomin´o como eliminationem vulgarem en su obra de
1809 [31]) consisti´o en su uso para la resoluci´on de las ecuaciones normales que llevan a soluciones
aproximadas por m´ınimos cuadrados de sistemas lineales de ecuaciones y en la introducci´on de
una notaci´on y un procedimiento algor´ıtmico para la eliminaci´on sim´etrica que permit´ıa una
sistematizaci´on, simplificaci´on y mayor velocidad en la realizaci´on de los alculos (como puede
verse en [32]), lo cual conllev´o a su uso extendido por parte de todos los calculistas profesionales
en el s. XIX y a la obtenci´on de diferentes variantes algor´ıtmicas del etodo de eliminaci´on para
la simplificaci´on y aumento de velocidad en los alculos. El as conocido de est´as variantes es el
denominado m´etodo de Gauss-Jordan que idearon de manera independiente el geodesista alem´an
Wilhelm Jordan (1842–1899) y el matem´atico luxemburgu´es Bernard-Isidore Clasen (1829–1902)
en 1888 ([41] y [17], respectivamente).
Hecho este inciso en relaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones (lineales), volvemos
a la cuesti´on que nos ocupaba en relaci´on al surgimiento y desarrollo de la noci´on de ‘matriz’,
ya que la aparici´on de la noci´on de matriz y del ´algebra de matrices permiti´o traducir toda la
notaci´on y procedimientos algor´ıtmicos para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, simplificando
y automatizando a´un as los procedimientos y alculos involucrados.
Concretamente, hubo que esperar a 1850 [72] para que el matem´atico ingl´es James Joseph
Sylvester (1814–1897) acu˜nase finalmente el ermino ‘matriz’, que defini´o como una estructura
tabular rectangular de t´erminos de la que se puede obtener diversos determinantes como estruc-
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72 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
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turas tabulares cuadradas almacenadas en su interior. Cayley comprender´ıa casi de inmediato la
relevancia y significado del concepto de matriz que hab´ıa introducido su amigo Sylvester, por lo
que trabao en esta noci´on publicando el art´ıculo titulado Remarques sur la notations de fonctions
alg´ebriques en 1855 [15]. Esta nota introduc´ıa el concepto de inversa de una matriz y el de pro-
ducto de dos matrices, relacionando la estructura matricial con una forma cuadr´atica y bilineal.
Simult´aneamente, en 1853, el matem´atico y f´ısico irland´es William Rowan Hamilton (1805–1865)
escribi´o sus Lectures on Quaternions [35], en la que har´ıa uso del alculo matricial para estudiar
los cuaterniones y obtener para estos objetos varios resultados que ser´ıan formalizados para las
matrices por Cayley en su memoria de 1858 [16].
Esta memoria se titul´o Memoir on the theory of matrices y en ella no solo aparece la primera
definici´on abstracta de matriz (mostrando omo los ‘arrays’ que se hab´ıan estado utilizando
hasta ese momento en matem´aticas eran casos particulares de su concepto), sino que tambi´en
incluye el primer tratamiento formal de las operaciones con matrices y sus principales resultados.
As´ı, Cayley dio la definici´on algebraica de las siguientes operaciones: suma, resta y producto de
matrices, producto de matriz por escalar e inversi´on de matrices. En el caso de la inversa de una
matriz, la construy´o expl´ıcitamente en t´erminos de determinantes. M´as a´un, introdujo la notaci´on
matricial para escribir un sistema de ecuaciones lineales, representando las ecuaciones como filas
y las inc´ognitas como columnas. En la obra comentada, Cayley demostr´o que dada una matriz
de orden 2 × 2, dicha matriz anula a su polinomio caracter´ıstico. Aunque dej´o indicada tambi´en
la prueba para matrices 3 × 3, afirm´o que no dispon´ıa de los requisitos necesarios para demostrar
la propiedad considerando una matriz arbitraria de orden arbitrario n × n. Este resultado se
conoce como Teorema de Cayley-Hamilton porque, previamente al estudio de Cayley, Hamilton
[35] describi´o una demostraci´on de este resultado para orden 4 × 4. No obstante y como veremos
en breve, habr´ıa que esperar al matem´atico alem´an Ferdinand Georg Fobenius (1849–1917) para
disponer del resultado general para matrices de orden n × n.
Aproximadamente una ecada as tarde, en 1870, el matem´atico franc´es Marie Ennemond
Camille Jordan (1838–1922) escribe su Trait´e des substitutions et des ´equations alg´ebriques [40],
en el que aparece descrita por primera vez la forma can´onica que lleva su nombre al trabajar con
las sustituciones lineales sobre un cuerpo finito de orden primo.
En 1878, Fobenius escribe su obra
¨
Uber lineare substitutionen und bilineare formen [40], sin
tener conocimiento del trabajo llevado a cabo por Cayley y que hemos comentado anteriormente.
Esta obra se convertir´ıa en uno de los principales referentes sobre la teor´ıa de matrices. Aun-
que sin emplear el ermino ‘matriz’, Fobenius trabao con coeficientes de formas cuadr´aticas.
Tambi´en incluy´o demostraciones de resultados fundamentales sobre matrices can´onicas como re-
presentaciones de clases de equivalencia de matrices. A este respecto, mencion´o expl´ıcitamente
los trabajos previos de los matem´aticos alemanes Leopold Kr¨onecker (1823–1891) y Karl Theo-
dor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) publicados en 1874 [46] y 1868 [82] respectivamente, pero
indicando que eran casos particulares de los resultados que ´el hab´ıa obtenido. Pero esta obra de
Fobenius no se limit´o solo a las cuestiones ya indicadas, sino que inclu´ıa la demostraci´on general
del Teorema de Cayley-Hamilton, que solo hab´ıa sido demostrada hasta orden 4×4. Adem´as, este
trabajo conten´ıa la primera definici´on formal del rango de una matriz (usada cuando trabajaba
con formas can´onicas) y de matriz ortogonal.
No es hasta 1896 que Fobenius tuvo conocimiento de la obra de Cayley en [16] sobre la
teor´ıa de matrices y es entonces que Fobenius comenz´o a emplear el t´ermino ‘matriz’. De este
modo, su art´ıculo de 1896 [26] inclu´ıa nuevamente una demostraci´on general del Teorema de
Cayley-Hamilton para matrices cuadradas de cualquier orden; atribuyendo el m´erito de dicha
demostraci´on al propio Cayley, que como ya indicamos antes no hab´ıa sido capaz de conseguirla.
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Fobenius tambi´en fue primordial en el estudio de las matrices positivas, puesto que sus
art´ıculos de 1908 [27] y 1909 [28] sobre este tipo de matrices contienen los resultados esenciales
y fundamentales sobre ´estas, incluso a d´ıa de hoy. Es as, la teor´ıa sobre matrices positivas y
matrices no negativas recibe el nombre de Teor´ıa de Perron-Fobenius ya que los dos art´ıculos
anteriores junto con el de 1912 [29] y el previo del matem´atico alem´an Oskar Perron (1880–
1975) publicado en 1907 [66], crean el cuerpo te´orico de los resultados relativos a estos dos
tipos de matrices, siendo el resultado principal el denominado Teorema de Perron-Fobenius. La
demostraci´on para las matrices cuadradas reales de erminos positivos se debe a Perron [66] que
prob´o la existencia de un ´unico autovalor real positivo (llamado ra´ız de Perron) que es mayor
que el odulo de cualquier otro autovalor (incluidos los autovalores complejos) de la matriz y
la existencia de un autovector asociado a este autovalor con todas sus coordenadas positivas.
Posteriormente en 1912, Fobenius [29] extender´ıa el resultado de manera no trivial a cierto
tipo de matrices no negativas: las matrices no negativas irreducibles, concepto que introdujo en
ese trabajo. Debe tenerse en cuenta que los cuatro art´ıculos indicados en el presente arrafo se
consideran igualmente claves para el origen y estudio de los etodos iterativos de las ecuaciones
lineales reales (v´ease Rheinboldt y Vandergraft [69]).
Otro concepto importante dentro del ´algebra lineal es el de nulidad de una matriz de orden
m × n, que hoy en d´ıa podemos identificar con la dimensi´on del ucleo o espacio nulo de dicha
matriz, pero que Sylvester introdujo y defini´o formalmente en 1884 [73] como un valor k tal
que todos los menores de orden n k + 1 de la matriz se anulaban. Este concepto surge al
estudiar propiedades invariantes en las matrices bajo ciertas transformaciones, esencialmente de
tipo lineal. Una de las propiedades demostrada en ese trabajo era la ley de nulidad de Sylvester,
seg´un la cual la nulidad de una matriz est´a acotada superiormente por la nulidad del producto
de esa matriz por cualquier otra por la que se pueda multiplicar y esta segunda nulidad est´a a
su vez acotada superiormente por la suma de las nulidades de las dos matrices multiplicadas.
Con el comienzo del siglo XX debemos volver a tratar la noci´on de determinante. Aunque
existe constancia de la existencia de una definici´on formal y rigurosa de la noci´on de determinante
por parte de Weierstrass y de Kr¨onecker desde mediados de la d´ecada de 1860 y de su uso
en sus respectivas lecciones, la comunidad matem´atica en general tendr´ıa que esperar a 1903
para que dichas definiciones aparecieran en sus obras ostumas. En el caso de Weierstrass, el
determinante se defin´ıa como funci´on homog´enea, lineal y normada tal y como aparecer´ıa en
su Zur Determinantentheorie [84]. Por su parte, la definici´on de Kr¨onecker ser´ıa publicada en
Vorlesungen ¨uber die Theorie der Determinanten [47], como parte de las lecciones que impart´ıa
sobre determinantes, los cuales evaluaba usando la funci´on delta de Kr¨onecker que el cre´o y que
resulta ser el primer tensor utilizado en las matem´aticas. Con las dos publicaciones mencionadas,
se da por lo general como completamente desarrollada la teor´ıa moderna de determinantes. Sin
embargo, la teor´ıa de matrices requerir´ıa de algo as de tiempo para disponer de una teor´ıa
completamente aceptada por la comunidad matem´atica (todo ello pese a que solemos definir los
determinantes a partir de las matrices). En cualquier caso, los trabajos de matem´aticos como
Cayley, Fobenius, Weierstrass y Kr¨onecker fueron claves y esenciales para que los t´erminos
‘matriz’ y ‘determinante’ fuesen de uso y pr´actica com´un en el campo de las matem´aticas.
No queremos concluir el presente apartado sin hacer algunas indicaciones a las obras que
entendemos sustentar´ıan la teor´ıa de matrices en las matem´aticas actuales y la han convertido
en una de las herramientas esenciales para la inmensa totalidad de ramas de las matem´aticas. En
primer lugar, habr´ıa que tener en cuenta la obra Introduction to Higher Algebra del matem´atico
americano Maxime Bˆocher (1867–1918) fechada en 1907 [5]. Posteriormente, aparecer´ıan los tres
textos as influyentes sobre ´algebra matricial en la d´ecada de 1930, dos de ellos escritos por el
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matem´atico ingl´es Herbert Westren Turnbull (1885–1961) en 1928 [75] y 1932 [76] y el tercero
por el matem´atico neozeland´es Alexander Craig Aitken (1895–1967) en 1939 [1]. Estas obras
llevar´ıan al punto culmen de la teor´ıa de matrices: la publicaci´on de An Introduction to Linear
Algebra por el matem´atico ruso Leonid Mirsky (1918–1983) en 1955 [56]. Esta obra mostrar´ıa la
importancia de la teor´ıa de matrices dentro de las matem´aticas y la posicion´o como uno de los
opicos matem´aticos esenciales para estudiantes universitarios de matem´aticas.
2.3 Una visi´on de los “nombres” a lo largo del tiempo
En las Figuras 1 a 3 se pretende dar un apido y breve repaso visual a la evoluci´on hist´orica de
los conceptos citados en el apartado anterior. Adem´as, dicho gr´afico permite observar omo el
auge en el estudio de las matrices y determinantes tuvo lugar durante los siglos XVIII y XIX.
Figura 1: “Visi´on” de los “nombres” hasta 1400.
3 Algunos conceptos econ´omicos que utilizan matrices
En la presente secci´on, nos centraremos en posibles aplicaciones de las matrices en el ´ambito de
la modelizaci´on de problemas econ´omicos. Partiendo del hecho de que dichas aplicaciones pueden
ser m´ultiples y variadas, nuestro objetivo solo es mostrar su utilidad en este campo sin llegar
a ser exhaustivos. En este sentido y a modo de visi´on general previa, debe tenerse en cuenta,
como ya se coment´o en la introducci´on, que el ´algebra matricial y la teor´ıa de matrices pueden
utilizarse en la resoluci´on num´erica tanto de sistemas de ecuaciones lineales como de ecuaciones
diferenciales (ordinarias y en derivadas parciales). Adem´as, las matrices surgen de forma natural
y de manera directa o indirecta en m´ultiples campos de las ciencias experimentales, ecnicas y
sociales. En la presente secci´on expondremos omo la teor´ıa de matrices resulta una herramienta
de gran utilidad para estudiar fen´omenos econ´omicos.
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